考慮空間利用和溫度均勻性的烤盤形狀分析

盧勁鍇 秦川 夏子婷

摘 要：烤箱是現代家庭廚房中不可或缺的家用電器之一，如何設計一款既能充分利用烤箱內面積、又能盡可能避免烤糊蛋糕的烤箱及配套的烤盤具有重要意義。本文針對烤盤形狀進行研究，主要解決了不同形狀烤盤上溫度分布的計算問題，考慮了在烤盤個數最大和溫度分布均勻性最大的條件下的分別對應的烤盤形狀。而后綜合考慮烤盤個數與溫度分布均勻性，給出了烤盤綜合得分的計算方法，提出了最優烤盤形狀的設計方案。我們綜合考慮以上兩個目標，通過a-方法確定權數p為0.238。我們定義二者加權后的數值為烤盤綜合得分。在假定烤箱形狀和大小（S=0.2，W/L=0.8）和烤盤面積（A=0.02）后，我們得到最優烤盤的形狀為寬長比為0.87的矩形的最優圓角矩形。

關鍵詞：偏微分方程；有限元；熱傳導

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.08.184

1 烤盤形狀的描述

我們設計的烤盤形狀為矩形和圓角矩形。圓角矩形可以經過原矩形由以下變換得到：令原矩形外接圓半徑為r1，內切于矩形寬的圓的半徑為r2。以矩形的形心為圓心，以r（r1≤r≤r2）為半徑做一個圓，該圓與矩形相交的形狀即為圓角矩形。此模型涵蓋了從扁長矩形到圓形的所有過渡形狀。

2 熱傳導模型的建立

由傅里葉定律得：

（1）

則在Ω域經過一段時間內所產生的熱量變化為：

（2）

由傅里葉定律知，溫度的傳到速率正比與溫度梯度，則通過閉合曲面進入歐米伽的熱量為：

（3）

其中：F表示熱源強度，單位時間單位體積內放出的熱量：

（4）

根據熱量守恒定理：

令，

即得到標準形式的三維偏微分方程

（5）

在熱傳導過程達到穩態時，溫度不在改變，故：

根據牛頓冷卻定律，我們得到邊界條件：

（6）

3 模型的求解——有限元

我們采用有限元法（FEM）來計算熱平衡方程的數值解。借助PDE偏微分方程工具箱，我們將網格劃分為小三角形來初始化網格。通過變分方法，使得每一個節點的誤差函數達到最小值并產生穩定解，因此我們得到每個節點上的溫度值。在烤盤為矩形時，烤盤四角溫度偏高，中心溫度最低，邊緣溫度變化明顯。現保持面積不變，將烤盤形狀由矩形變為圓形，可以得出，圓形烤盤邊緣溫度分布均勻。

4 目標規劃——求解最優烤盤形狀

4.1 空間利用——烤盤個數N

烤箱的寬長比、面積為一個固定的值時，最大烤盤數N隨烤盤（面積為A）的寬長比變化而變化。由于原角矩形為矩形（包括正方形）做切圓角變換得到的，因此圓角矩形的最大烤盤數與其原矩形的最大烤盤數相等。即得到以下關系式：

（7）

4.2 溫度均勻性σ

在某一個寬長比下，我們忽略了切圓角所改變的面積，仍然假定此時圓角矩形的面積與矩形面積相等，為A。而溫度分布的不均勻性隨切割圓的半徑變化而改變。我們定義溫度不均勻系數σ來衡量溫度分布的不均勻性，即：

（8）

4.3 多目標求解

為了得到結果，我們以市面上的一種銷量較大的烤箱作為參考，取烤箱寬長比為0.8，即寬為40cm，長為50cm。由于最后我們還將對烤箱的寬長比做討論，因此這并不妨礙此模型的普遍性。用a-方法來確定權重p 為0.238。

由以上約束條件和目標函數，我們得到最終的基于線性加權法的多目標規劃模型：

（9）

求解得到寬長比為0.87的矩形所對應的最優圓角矩形為最優解。

5 結論

我們通過改變寬長比和權重，得到每種情況下最優形狀烤盤的得分的矩陣，做出等高線圖如圖1。

其中，橫坐標為權重p（0≤p≤1），縱坐標為烤箱W/L（0.2

在給定權重p和W/L的前提下，我們就能通過查表得到最優烤盤形狀——既保證布朗尼的烘烤均勻，又不浪費烤箱空間。例如：當烤箱空間容納量和烤盤溫度分布均勻度同等重要時，即p等于0.5，那么同時烤箱的寬度是長度的一半，即W/L等于0.5時，查表可知，最合適的烤盤形狀應該是一個寬長比為0.8的最優圓角矩形。

作者簡介：盧勁鍇（1997-），男，山東青島人，研究方向：巖土工程。