改進的雙閾值小波去噪方法

朱慶垚，余諒

（四川大學計算機學院，成都 610065）

0 引言

一般來說，現實中的信號都是帶噪信號，由于干擾噪聲的影響，這些信號很可能產生畸變，甚至可能面目全非，所以，在對信號進行進一步的分析以前，需要把有效的信號提取出來。如何從強噪聲中恢復原始信號的波形，做到信噪分離是很重要的研究課題。小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，能夠通過變換充分反映出信號某些方面的特性，因此被用于信號的去噪。

小波去噪有多種方法，其中，1992年Donoho和Johnstone提出的小波閾值收縮（WaveShrink）方法在最小均方誤差意義下可達到近似最優并且可以取得較好的視覺效果[1]。該方法的兩個關鍵因素是閾值的選取和閾值函數的構造，小波去噪的效果直接受到了這兩種因素的影響。傳統的小波閾值去噪算法分為硬閾值函數去噪法和軟閾值函數去噪法，但是這兩種閾值函數方法都存在相應的缺點[2]。文獻[3-7]都對小波閾值去噪函數進行相應的研究和改進，但是部分還存在著硬閾值函數的不連續性以及軟閾值函數的固定偏差的問題。文獻[6]提出了一種新雙閾值函數下的小波去噪方法，去噪效果相對于軟、硬閾值方法有著很大的提升，但是還是存在固定偏差的問題；因此，本文針對這一問題，對新雙閾值函數進行了改進，保證了函數的連續性并且去除了函數的固定偏差，從信噪比SNR和均方誤差MSE兩項數據來看，改進后的閾值函數效果有著明顯的提升。

1 小波去噪原理

經過小波分解后，信號的能量在小波域集中在一些大的小波系數中；而噪聲的能量卻分布于整個小波域內，可以認為，幅值比較大的小波系數以信號為主，而幅值比較小的系數很大程度上是噪聲。因此，可以選取合適的閾值，將大于閾值的部分作為信號予以保留（硬閾值），或者是以一個固定量向零收縮（軟閾值），而小于閾值的信號視為噪聲予以舍棄從而達到去噪的目的。

假設原始信號為 f(t)，被污染后的噪聲信號為s(t)，那么基本的噪聲模型就可以表示為：

其中e(t)為噪聲，σ為噪聲強度，一般來說可以假設e(t)為高斯白噪聲。對染噪信號進行離散的小波變化可以得到：

其中，ws( j，k) 、wf(j ，k) 、we( j，k)分別為染噪信號、原始信號和噪聲在第j層上的小波系數，分別記為wj,k、uj,k、ej,k，J表示小波變換最大分階層；N表示信號長度。

由上式可知，經過小波變換后，小波系數可以由原始信號小波系數uj,k以及噪聲小波系數ej,k組成。因此，選取合適的閾值λ對小波系數wj,k進行處理，得到處理后的小波系數，最后將處理后的小波系數w?j,k進行重構，就可以得到去噪過后的信號s?j,k，具體的處理過程如下：

圖1 小波去噪算法流程圖

經過上述流程圖和描述可知，閾值的選取和閾值函數的設計對于最終的去噪處理效果有著非常大的影響。

2 閾值函數

2.1 傳統的閾值函數

傳統的閾值函數中，由于結構簡單并且去噪效果良好，軟、硬閾值去噪方法得到比較廣泛的應用。

（1）硬閾值

硬閾值函數將小波系數絕對值大于閾值的小波系數予以保留而小于閾值的小波系數置零。

（2）軟閾值

軟閾值函數將小波系數絕對值大于閾值的小波系數置為它與閾值的差值，而小于閾值的小波系數置零。

軟、硬閾值法雖然應用廣泛，但是它們仍然存在著一些缺點。硬閾值法得到的在±λ處是不連續的，然后利用不連續的重構得到的信號很有可能造成Pseudo-Gibbs現象，導致最終得到的信號在不連續點處以及快速變化處存在震蕩；軟閾值法得到的雖然連續性比較好，并且去噪后的信號相對平滑但是和wj,k總是存在恒定偏差，導致了信號在某些尖峰點處過于光滑，也會丟掉原始信號的某些特征。

2.2 改進的閾值函數

為了克服軟、硬閾值各自的缺點，大量學者或者提出了改進方案，或者提出了新的閾值函數，文獻[5]提出了一種新的閾值函數：

但是該函數在±λ處是不連續的，容易產生Pseudo-Gibbs現象。

文獻[6]提出了一種新的雙閾值法：

其中，λ2為上閾值，λ1為下閾值，滿足 λ1=kλ2，0＜k＜1，該函數在兩個閾值點均連續，并且在的情況下，隨著w變大不斷減小，符合指數衰j,k減特性；但是在的情況下是固定不變的，依然存在差值恒定的問題，所以，針對以上函數存在的問題，本文提出改進的雙閾值函數表達式如下：

其中 λ1=kλ2，0＜k＜1。很容易可以得到，改進后的函數不僅在兩個閾值λ1、λ2處連續，并且在的情況下，函數是逼近于的，因此克服了恒定偏差的問題。

如圖2所示，硬閾值函數在閾值點wj,k=±λ是不連續的，重構的信號容易造成Pseudo-Gibbs現象；軟閾值函數連續性比較好，但是||wj,k≥λ的情況下會有恒定偏差；文獻[6]的連續性好，并且在閾值處的過度光滑，然而隨著 wj,k值的不斷變大，始終與函數存在著差值，不利于信號的重構；本文的函數連續，在閾值點處的過渡區域保持光滑，另外隨著wj,k變大，不斷逼近函數達到近似重合，消除了文獻[6]所存在的差值問題，使得重構后的信號在突變點處的Pseudo-Gibbs現象得到抑制，而且控制了尖銳點處過度平滑的問題，有效的控制了信號的突變和丟失。

圖2 函數圖比較

3 閾值選取

它是根據D.L.Donoho等人所提出的關于閾值估計風險定理確定的閾值。其中σ表示噪聲信號的標準差（度量噪聲的強弱），N表示信號的長度。由于σ在實際環境中是一般是未知的，通常需要進行估計。由于噪聲主要集中在最高分辨集J-1，所以我們可以利用小波

對于閾值函數而言，如果閾值取得過大，就會導致在過濾掉噪聲的同時也把一部分關于信號的信息也過濾掉了，造成去噪后的信號過度平滑；而閾值選取過小，又會保留噪聲，達不到去噪的目的，目前常用的閾值選取方法有[8]：

（1）固定閾值：系數{wj-1,k，k=1,2，…，2J-1}估計噪聲標準差[1]，取

（2）Stein無偏似然估計閾值

（3）啟發式閾值

啟發式閾值是前兩種閾值的綜合，所選擇的是最優預測變量閾值。如果信噪比很小時，選取固定閾值，如果信噪比很大時，選取Stein無偏似然估計閾值。假設sum為N個小波系數的平方和，令 μ=(sum-N)/N，ν=(lbN)3/2×N1/2，則：（4）最小最大準則閾值

最小最大準則閾值也是一種固定的閾值選擇形式，它所產生的是一個最小均方差的極值，而不是無誤差。

4 閾值函數仿真分析

4.1 去噪性能評價標準

為了驗證改進閾值函數的去噪效果，一般來說有兩種方法：主觀評論和客觀評論。主觀評論是人的主觀感受來判斷去噪信號的還原程度。客觀評價是指輸入信號與輸出信號之間誤差來判斷去噪的質量[11]。本文引入信噪比和均方誤差來評價去噪性能。信噪比的公式為：

均方誤差MSE的公式為：

其中信噪比SNR的單位為dB；yi為原始信號為去噪過后的信號；N表示信號的長度。去噪后的信號信噪比越大，說明去噪效果越好。MSE為均方誤差，MSE越小，去噪后的信號能更好地重現原始信號。

4.2 不同閾值函數之間的去噪性能比較

為了檢驗本文與其他閾值函數之間的去噪性能，本文選取小波函數在db2，分解層數為5層，上閾值函數選取改進后的閾值，下閾值系數選取為k=0.5。

為了更有效地比較本文閾值函數與其他閾值函數的性能，本文分別選取blocks信號、bumps信號以及heavy sine信號來進行比較。

首先生成信號長度為1024的blocks信號，然后加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號、加噪信號以及不同閾值函數對blocks加噪信號的處理效果如圖所示：

圖3 blocks加噪信號不同閾值函數去噪比較

其次生成信號長度為1024的bumps信號，加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號、加噪信號以及不同閾值函數對bumps加噪信號的處理效果如圖所示：

圖4 bumps加噪信號不同閾值函數去噪比較

最后生成信號長度為1024的heavy sine信號，加入信噪比為12的高斯白噪聲，原始信號、加噪信號以及不同閾值函數對heavy sine加噪信號的處理效果如圖所示：

圖5 heavy sine加噪信號不同閾值函數去噪比較

由圖 3（c）、圖 4（c）、圖 5（c）可以看出，硬閾值函數方法容易出現明顯的震蕩點，這是由于硬閾值函數不連續造成的；又由圖 3（d）、圖 4（d）、圖 5（d）可以看出，信號整體都非常平滑，并且在尖銳處也過于平滑，這是由于軟閾值函數存在固定偏差所造成的；三圖中的（e）、（f）、（g）分別代表文獻[5]、文獻[6]以及本文的閾值函數去噪結果，可以看出，三者去噪效果都要強于硬閾值函數和軟閾值函數，并且本文的方法相較于其他兩種閾值函數方法也較為優秀，下面從客觀角度，也就是信噪比和均方誤差來考察閾值函數如表1所示。

表1 三種信號在不同閾值函數下的去噪效果分析表

查看表1中的數據可以得到以下的信息，（1）軟閾值函數在blocks信號以及bumps信號中的處理效果明顯的弱于其他的閾值函數，因為blocks信號以及bumps這兩種信號所含的凸點較多，軟閾值函數將大部分凸點處理的過于平滑，這就導致了軟閾值效果較差；（2）文獻[5]所提出的改進方案相對于軟、硬閾值函數來說雖然有一定的提升，但是提升較少，并且不夠穩定，例如blocks信號下，文獻[5]的性能就弱于硬閾值函數；（3）文獻[6]以及本文所提出的改進的閾值函數性能都比較穩定，基本優于其他閾值函數，并且k=0.5的情況下性能明顯優于k=0.7的情況，另外，本文所提出來的改進閾值函數提升效果明顯。

5 結語

首先，本文說明了小波閾值去噪的基本原理，解釋了傳統的軟、硬閾值函數處理方法。針對閾值函數的設計以及閾值的選取對去噪效果的影響，本文以近年來提出的雙閾值方法為基礎，提出了優化改進方案，從數學角度進行驗證，克服了軟、硬閾值的缺點并且彌補了原雙閾值函數的固定偏差的問題。仿真實驗表明，本文所提出的改進的雙閾值函數有效的抑制了Pseudo-Gibbs現象，并且能盡量保持信號的光滑性。從信噪比SNR來看，本文的改進閾值函數有了明顯提升，并且有效地降低了均方誤差MSE，實用性較高。

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