數(shù)學反思：學生有效學習的應然追求

錢惠峰

在初三數(shù)學中考專題復習中，教師普遍會讓學生進行大容量訓練，學生深深陷入題海，但中考成績提升卻不明顯。究其原因，很大程度上是因為教師用自己的思維代替了學生的思維，學生缺乏個性化的理解，沒有真正內化為自己的認知。

撰寫數(shù)學小反思，能有效地調動學生學習的興趣，最大程度地激發(fā)學生的思維，以學生思維代替教師思維，變教師習題教學為學生“講題活動”，變教師單向傳授為學生相互傾聽、學生間多向“思維碰撞”。如此，學生的解題思路變得更為開闊，便于尋找最優(yōu)化的解題方法，同時解題能力大大提高，教師也從學生的交流中獲得啟發(fā)，受益匪淺。

一、什么是數(shù)學小反思

這里說的小反思是特指師生在講題活動中，學生記錄對某個解題方法的思考軌跡；或在別人解題思路的基礎上獲得靈感，找到更好的解題方法，并加以歸納總結，提出一般意義的通性通法，給別人以某種程度上的指點和借鑒；或陳述自己解題的心路歷程，以及所走的彎路，讓別人引以為戒。這樣的數(shù)學小反思形式多樣，內容具體真實，目的明確，針對性強，有話則長，無話則短，以文字短小、觀點鮮明、展示思維亮點見長。

二、數(shù)學小反思的意義

寫數(shù)學小反思有利于提高學生解題能力，優(yōu)化學生的思維品質。學生解題能力的提高是教師追求的重要目標，但這一目標在某種程度上說并不是教師“教”出來的，而是學生通過自己的習得—體悟—內化逐步形成的。小反思正是學生吐露解題心聲的平臺，學生把自己的想法真實地記錄下來，并從他人的解法中得到啟發(fā)，進行思路優(yōu)化組合，在比較中逐漸找到最優(yōu)化的解法，這是一個正確、全面認識事物的認知過程，任何人都不能替代。

同時，它還有利于鍛煉學生的文字表達能力，提高寫作素養(yǎng)與探究問題的能力；有利于學生準確表達自己的觀點，捋順思路，為講題作充分的準備；有利于培養(yǎng)學生善于思考、大膽探索的好習慣，增強智力。

以下是一位學生寫的數(shù)學小反思：

【案例1】已知直角ΔOAB三條邊分別為3、4、5（圖1），點P是ΔOAB內一動點，它到三邊的最小距離為1，那么點P運動的軌跡是什么圖形？它的周長為多少？

由題意可知，滿足要求的點圍成的封閉圖形是ΔDEF，即求它的周長，可先找出各個“關鍵點”，此點到ΔAOB各邊的距離為1，可先考慮一邊，若此點到OA的距離為1，則臨界點在與OB、AB距離為1的地方，可知在∠AOB和∠OAB的平分線上。同理，∠OBA的平分線也有一點，如此便化無形為有形，又顯而易見它與ΔAOB相似，故只需求得任意一邊長便能算出其余的長，可謂“萬事俱備，只欠東風”。先將DE雙向延長，出其不意，將DE牢牢地與已知三角形綁定，明眼人一下就能看出EH還未知底細，可作EI⊥AB，對其行“十面埋伏”之計，由于ΔEIH∽ΔBOA，求得GH，鑒于GH、GD、EH皆已求出，DE便不攻自破，繼而DF、EF也可求出，周長也不在話下。

【點評】小作者的文筆優(yōu)美，引經據(jù)典，表達簡潔扼要，解題路清晰有條理，是一段不錯的數(shù)學美文。

三、怎樣撰寫數(shù)學小反思

1.師生間對話（含生生對話）中記錄精彩，師生共享

【案例2】如圖2，把一個矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在A'點處，若OB=，tan∠BOC=0.5，求點A'坐標。

求點的坐標，是中考常考的題型，本題求法具有典型性，體現(xiàn)一般的數(shù)學思想和方法，請學生講題是很好的嘗試。

師：如何求點A'坐標？

生：求點的坐標，通常的方法是作垂線，過A'作HI⊥x軸。

師：作垂線是關鍵的一步！

生：接下來就是轉化為求線段HO、A'H的長度，一般可以考慮用勾股定理，求出三角形A'HO三邊的長度。

師：這三邊中有沒有已知線段？

生：A'O=1，OH可設為x，下面的問題就是如何用x表示A'H。

師：說得好，如何表示A'H是解決問題的關鍵！

生：ΔBIA'∽ΔA'HO，A'I=2x，A'H可以用x表示出來！

師：這位學生的思路很開闊，一下子抓住了問題的要害！

生：下面使用勾股定理，建立方程即可，即 。

學生們都會心地點頭。

師：有無其他解法或其他思路？

生：ΔABO翻折至ΔA'OB處，聯(lián)想到翻折中全等三角形，A'Q=CQ，設A'Q=x，在三角形A'OQ中，可先求出x，作A'H'⊥OQ，于是A'H'是三角形A'OQ的高，這是一張經典圖（圖3），求A'H'自然手到擒來。

大多數(shù)學生都點頭認同。

生：由翻折的特征，AJ=A'J，OA=1，且tan∠BOC=tan∠OAJ

=0.5，可求出OJ、AJ，再利用ΔOAJ與ΔAA'H相似，即可求出A'H、OH。（圖4）

師：太精彩了！（大家熱烈鼓掌）該同學抓住翻折的特征，巧妙地把tan∠BOC轉化為，再次用相似知識叩開求線段長度之大門，這種解法具有一般指導意義。

【點評】本題求線段長度單純使用一次相似知識無法完成，單純使用一次勾股定理也無法完成，需要綜合使用相似和勾股定理或使用兩次相似知識，同學們根據(jù)自己的理解，從不同角度很好地解讀了它！請有志于探索研究的同學，把這部分精彩對白記錄下來，并附上自己的反思。

以上是上課時的實錄片段，在這種“對話教學”情景下，師生間、生生間思維火花碰撞連連，產生共鳴，教師與學生陶醉于其中，教學效果令人震撼！雖然比較費時，在復習階段只講一題，但它以一當十，學生可以觸類旁通，實踐證明，復習效率大大提高。

2.問題研究，學生記錄自己思考的心路歷程與同伴分享

在批閱完學生的作業(yè)后，每天留20分鐘的問題研究時間，這段時間是有針對性地指導學生的好機會。所謂問題研究，就是學生對當天所學內容進行消化、反思、吸納，甚至是與教師進行爭辨的學習形式。它不是集體上課，教師要著重傾聽學生的真實想法，并為學生提供個性化的指點，師生一對一的對話、學生間的雙向交流應是它的最大特征。

【案例3】如圖5，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM。那么，當AM+BM+CM的最小值為 +1時，求正方形的邊長。

學生求正方形的邊長時，普遍作EF⊥CF（圖6），在三角形CEF中解決問題，設EF=x，方程為 。

生：以上方程比較煩瑣，我的想法是：連AC，作AI⊥EC（圖7），注意到∠AEC=45。，∠EAC=105。，故∠ACE=30。，且EC=+1，在三角形AEC中，求得AI=1，所以正方形邊長=AE=。

師：作垂線AI還真不容易想到，你是怎么想到的呢？

生：通過觀察，能說明∠BEN=15。，即∠AEC=45。，且∠EAC=105。，所以∠ACE=30。，這樣三角形AEC就不是普通三角形了，并注意到EC=AM+BM+CM=+1，所以作垂線AI。

師：你說得很好！觀察到三角形AEC不是普通三角形是關鍵，這樣作垂線才有意義，分成兩個特殊的直角三角形！你的觀察能力很強，方法簡單，思考得很到位。

筆者及時把她的做法介紹給其他愛動腦的學生，并鼓勵他們結合自己的思路與之作比較，把此解法寫下來，看看解題方法孰優(yōu)孰劣？

3.展示解題中“寶貴”的錯誤資源，不斷修正優(yōu)化，以警示同伴

在中考復習階段，批閱學生的作業(yè)時，大多數(shù)教師只是單純地進行批閱。有些錯誤確實是學生個體的問題，不一定具有代表性，但有些錯誤卻具有典型性，把它拿出來，展示給學生，有警示作用，可以讓學生少走彎路。

【案例4】如圖8，在直角坐標系xoy中，點A的坐標為（12， 8），點B、C在x軸上，tan∠ABC= ，AB=AC，AH⊥BC于H，D為AC邊上一點，BD交AH于點M，且△ADM與△BHM的面積相等。

（1）求點D坐標；（2）求過B、C、D三點的拋物線的解析式，并求出拋物線頂點E的坐標；（3）過點E且平行于AB的直線l交y軸于點G，若將（2）中的拋物線沿直線l平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為E'（點E'在y軸右側）。是否存在這樣的拋物線，使△E'FG為等腰三角形？若存在，請求出此時頂點E'的坐標；若不存在，請說明理由。

（1）（2）解答省略。

筆者把該作業(yè)展示給全班學生評判，學生認為容易想到勾股定理并列出方程，但方程復雜，不易解答，學生普遍有這樣的深刻體會！

師：究其原因，學生普遍愿意使用勾股定理，使用簡單，好理解，但列出方程后卻發(fā)現(xiàn)，解起來并不簡單！這也是中考復習中學生經常碰到的“難題”。

師：在利用GF=GE'時，GF可以直接用F縱坐標減G的縱坐標（用含t的表達式），若GE'直接用t的代數(shù)式表示，就相對簡單些，可通過三角形HE'G與三角形GOK相似（ΔGOK三邊比為3：4：5）來解。（圖9）

生：哦！（豁然開朗）

以下是學生寫的此小題小反思：

反思：勾股定理好想，好用，但由于出現(xiàn)平方，得到的方程比較復雜，當邊是用二次代數(shù)式表示時，有時會出現(xiàn)高次方程，要慎用！

【點評】思考深刻，出現(xiàn)二次再平方時，要慎重，可換個角度試試！

四、關于數(shù)學小反思的兩點思考

數(shù)學小反思的真實性是它的價值所在。數(shù)學小反思應是學生根據(jù)自己的真實意愿記錄的，可以記錄解題的精彩瞬間，也可以描述探索問題的點滴心路歷程和軌跡，甚至可以闡述自己的錯誤主張，只要有思考和研討的成分即可，這樣的小反思就有強大的生命力！

教師指導下的數(shù)學小反思才是活而有用的教學素材。教師針對學生的小反思，取其精華，棄其糟粕，對于具有典型性的解題方法、觸及到重要數(shù)學思想、具有獨特的個性化的理解應給予點評，展示給全體學生，讓師生互相學習，真正實現(xiàn)共同成長。