數學歸納法的初探

付向奎

數學歸納法是數學思維方法中最重要、最常用的方法之一，是一種用于證明與自然數有關的命題的數學證明方法，典型的用于確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用于確定一個其他形式在一個無窮序列是成立的，這不僅因為其中大量問題都與自然數有關，更重要的是它貫穿于發現問題和解決問題的全過程。本文對數學歸納法的由來、運用技巧以及需要注意的問題進行較為完整的系統論述。

1.數學歸納法的定義

數學歸納法是數學上證明與自然數N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數有關的數學問題，在高中數學中常用來證明不等式成立和數列通項公式成立。

2.數學歸納法的思想方法

（1）數學歸納法中的歸納思想

對于一個與自然數有關的命題P（n），數學歸納法將命題P（n）理解為一系列問題：P（1），P（2），P（3），…，即P（n）={P（n）|n∈N}。然后有命題P（1），P（2），P（3），…都成立去下決定“命題P（n）成立”，為數學歸納法中的歸納思想。

所謂歸納，是指從特殊到一般，從局部到整體的推理。命題P（n）是一般的、整體的，而命題P（1），P（2），P（3），…中的每一個都是特殊的、局部的，即使從所有命題P（1），P（2），P（3），…都成立去概括得出命題P（n）成立，其思想也是歸納的思想（完全歸納）。

（2）數學歸納法中的遞推思想

在數學歸納法中，除了命題P（1）是直接證明以外，我們通常不直接去證明命題P（2），…成立（除非有必要），而是采取了遞推的思想，

，…如此循環往復遞推，命題P（2），P（3），…都成立.簡單地說就是，由P（1）推得P（2），由P（2）推得P（3），…即P（1），…。這個過程類似于多米諾骨牌，其中歸納遞推：起著至關重要的作用，正因為如此，在用數學歸納法證明命題時，有一點是不可回避的，即找出命題P（k）與命題P（k+1）的聯系。

3.第一數學歸納法

第一數學歸納法可以概括為以下三步：

（1）歸納奠基：證明n=1時命題成立；

（2）歸納假設：假設n=k時命題成立；

（3）歸納遞推：由歸納假設推出n=k+1時命題也成立。

從而就可斷定命題對于從所有正整數都成立。

4.第二數學歸納法

第二數學歸納法與第一數學歸納法是等價的，在有些情況下，由歸納法“假設n=k時命題成立”還不夠，而需要更強的假定，也就是說，對于命題P（n），在證明P（k+1）成立，不僅依賴P（k）成立，而且依賴于前面各步成立。這時一般要選用第二數學歸納法。

第二數學歸納法原理：設有一個與正整數n有關的命題P（n）。如果：

（1）當n=1時命題成立；

在假設命題對于一切正整數n≤k成立時；

若能證明n=k+1時命題也成立，則這個命題對于一切正整數n都成立其證明方法與上述證明方法類似，在這個地方就不重復了。

第二數學歸納法可概括為一下三步：

歸納基礎：證明n=1時命題成立；

（2）歸納假設：假設n≤k時命題成立；

（3）歸納遞推：由歸納假設推出n=k+1時命題也成立。第二數學歸納法與第一數學歸納法基本形式的區別在于歸納假設。

5.反向歸納法

反向歸納法是數學家柯西最先使用的，原理：設有一個與正整數n有關的命題P（n）。如果：

（1）命題P（n）對于無限多個正整數n成立；

（2）假設n=k時命題成立；

（3）若能證明n=k-1時命題也成立，則這個命題對一切正整數n都成立。

6.數學歸納法解決應用問題

（1）代數恒等式

例1數列的第n項，可以用公式表示，這里是它的首項，是公差。

證明：當時，，式成立

假設當時，式成立，那么當時，有：

當時，式也成立

由此可知，對于所有的自然數，式均成立。

（2）幾何方面

例2凸邊形的內角和等于

證明：當時，就是三角形內角和為1800，而

即時，命題成立

假設當時，凸邊形內角和等于成立

因為凸邊形可以添一條對角線而成一個凸k邊形與一個三角形，所以凸邊形內角和為凸k邊形內角與三角形內角的和。

即

也就是說，當時，命題也成立。

（3）排列、組合

例3證明：*

證明：首先，，這是顯然的。如果再能證明當的時候，，那么式子*也就可用數學歸納法來證明。

我們假定有個不同的元素，每次取出個元素的組合里，可以分為兩類，一類含有，一類不含有，含有的組合數，就等于從里取個元素的組合數，它等于；不含有的組合數，就等于從里取個的組合數，它等于；所以，

下面我們證明式子*

因為當n=1的時候，這個定理是正確的；

假設當n=k-1的時候，這個定理是正確的，那么，

（這里）

所以時，這個定理也是正確的；

故，公式是成立的。