飛機EMA行星輪減速器多學科協同優化設計*

夏澤斌，段富海,※，金 霞，安 瑋

行星輪減速器因其體積小，傳動比大，承載能力強和傳動效率高等特點，越來越廣泛應用在航空航天、工程機械、礦山機械、數控設備等各種機械傳動系統中。飛機功率電傳用機電作動器（Electro-Mechanical Actuator，EMA）要求功率重量比大、運行可靠穩定且使用壽命長[1-2]，這對其行星輪減速器的設計提出了很高要求。行星輪減速器的性能是EMA高質量完成工作的關鍵，而體積、強度及剛度等都是衡量行星輪減速器性能優劣的重要指標，這些指標往往是相互沖突的，所需的約束條件又耦合在一起，使得行星輪減速器的設計變得復雜。如何兼顧上述性能目標和質量目標，并求得總體設計的最優解是工程設計人員不斷研究與探討的問題。

一直以來，設計人員常用遺傳算法、罰函數法等對減速器的各參數進行優化。楊奇[3]等人基于遺傳算法對行星輪減速器進行了優化設計，提出了以單參數最大效能體積比來確定最佳短幅系數的方法，并得到了設計結果。西慶坤[4]等人利用MATLAB遺傳工具箱解決了擺線針輪行星減速器傳動效率低，結構不緊湊的問題。于明[5]等人以體積最小為優化目標，對減速器進行了優化設計，但只考慮減速器的外部尺寸，沒有考慮內部結構對減速器的影響。隨著學者們對優化算法的深入研究，人們發現遺傳算法存在對新空間的探索能力有限、計算復雜、難以處理非線性約束、穩定性差等缺點；罰函數法存在起始點難以選擇、罰因子難以確定等缺點。另外對EMA的研究多集中在電機與控制學科，對機械學科的文獻相對較少。為進一步提高行星輪減速器的性能，本文探索利用多學科協同優化設計（Collaborative Optimization，CO）方法來完成行星輪減速器的優化設計。

CO方法充分利用不同學科之間的相互作用以及協同機制，將單個學科的分析與優化同整個系統中互為耦合的其他學科的分析與優化結合起來，能夠將涉及的幾個學科之間的耦合關系分析清楚，可很好地解決不同學科之間的沖突性以及約束的復雜性，從而得到適合條件的全局最優解[6]。利用多學科CO設計方法來完成行星輪減速器優化，可以將復雜的行星輪減速器設計分解為若干簡單子任務，來完成原有的設計任務，這樣可減少原有設計復雜度，更易得到全局優化解。設計空間縮減協同優化算法（Design Space Decrease Collaborative Optimization，DSDCO）是一種改進的協同優化方法[7]，它根據子空間優化結果，刪除不可行求解空間，選取系統級優化解，通過子空間循環迭代優化計算，直至系統級優化解符合收斂條件。

本文以EMA擺線針輪行星輪減速器為研究對象，以符合設計要求的結構尺寸和應力約束條件為基礎，以行星輪減速器體積最小為目標，建立數學模型，使用DSDCO算法對EMA進行多學科協同優化，并對優化結果進行分析。

1 行星輪減速器的數學模型

1.1 確定設計變量

某型飛機EMA所用減速器為擺線針輪行星減速器，其結構如圖1所示。通過分析影響擺線針輪行星減速器的主要參數，同時考慮優化設計的建模，選擇針輪分布圓直徑DZ、針齒套外徑dZ、擺線輪寬度B、轉臂軸承外徑D1和柱銷直徑dp作為設計變量，其他參數均為設計常量，這5個設計變量分別獨立，決定了擺線針輪行星減速器的體積，即擺線針輪行星減速器優化設計的設計變量：

X=[X1X2X3X4X5]T=[DZdZB D1dp]T

圖1 擺線針輪行星減速器結構示意圖Fig.1 Cycloid reducer structure diagram

1.2 建立目標函數

擺線針輪行星減速器優化設計的目標既可以是性能指標，也可以是總體的結構尺寸。本文采用在給定傳動功率和傳動比時，滿足強度及其他幾何尺寸要求條件下擺線輪的體積最小，作為擺線針輪行星減速器設計的目標函數[8-10]，以便使減速器結構緊湊，功重比大。擺線輪的尺寸決定了擺線針輪行星減速器的結構大小。

擺線輪的體積可認為是齒根圓內的圓盤體積加上擺線齒部分的體積，減去轉臂軸承占據的體積和柱銷孔的尺寸，可推得擺線輪體積為：

于是得到擺線針輪行星減速器優化設計的目標函數:

式（2）中：Zb為針輪齒數，其數值為傳動比加1；ZW為柱銷數目；Δ2為柱銷套壁厚；K1為短幅系數。

1.3 建立約束條件方程

1.3.1 擺線輪齒廓不根切條件

為避免齒廓發生根切，針齒套外徑dZ與針輪分布圓直徑DZ的比值應當小于理論齒廓最小曲率

半徑系數amin，即

得約束條件為：

式（3）中：Zg為擺線輪齒數；K1為短幅系數，是擺線針輪行星傳動的重要系數。1.3.2擺線輪厚度的限制條件

擺線輪厚度一般為：

得約束條件為：

1.3.3 擺線輪與針齒的接觸強度條件

1.3.4 針齒銷的彎曲強度條件

對于雙支點針齒銷的彎曲應力為：

式（6）中： MV為輸出軸的阻力矩，

式 （7） 中 ： dz1

針齒銷上最大的彎矩數值為：

式中：δ0為擺線輪與針齒殼側面間的間隙，一般取δ0=4 mm；δ為兩擺線輪間隔環的厚度，δ=B-b，b為軸承的寬度；Δ為針齒殼側面的壁厚，一般為dZ＜Δ＜B。

約束條件為：

1.3.5 針輪分布圓直徑的限制條件

針輪分布圓直徑的設計對減速器結構尺寸和承載能力有很大的影響，一般是根據輸出軸的阻力矩，由經驗來確定和選擇的。其經驗公式為:

1.3.6 柱銷的彎曲強度

臥式結構的柱銷常規設計是懸臂安裝的[11]，其柱銷所受的最大彎曲應力需滿足:

式（9）中：柱銷分布圓半徑RW：

約束條件為：

1.3.7 柱銷套與柱銷孔的接觸強度條件

柱銷套與柱銷孔的接觸應力由赫茲公式，經整理得到，接觸強度條件為:

式（11）中：柱銷套半徑rp=0.5dp+Δ2。

約束條件為：

1.3.8 柱銷孔最大直徑的限制條件

為保證擺線輪有足夠的強度，在兩個柱銷孔之間，柱銷孔與轉臂軸承外徑孔之間，又有一定的厚度Δ0，工程中一般取Δ0=0.03DZ，其限制條件為：

約束條件為：

2 多學科協同設計優化及其算法

2.1 多學科協同設計優化

多學科協同優化（CO）是一種針對復雜系統設計問題的多級式優化方法，它將復雜的系統設計問題分解為一個系統級和并行的幾個子系統級問題，并通過系統級約束條件來協調各子系統之間的共享設計變量和耦合狀態變量[12-13]。CO主要思想是：在子系統優化時可以暫時不考慮其它學科的影響，只需要滿足該子系統級約束，子系統級優化目標是使該子系統優化結果與系統級優化提供的目標差異值達到最小；而各個子系統級優化結果的不一致性由系統級優化來協調，通過系統級優化和子系統級優化之間多次迭代，最終得到一個符合學科間一致性要求的系統最優化設計方案。根據CO思想，減速器的子系統劃分可以按照約束條件所屬學科進行，由減速器優化模型可知，約束條件包含了機械結構以及力學兩個不同的學科。可將減速器優化問題劃分為兩個子系統：機械結構學科和力學學科。在兩個子系統內分別進行優化設計，并把子系統優化結果傳遞到減速器系統級優化。相比于其他優化過程，CO可解決復雜耦合問題并簡化復雜計算過程。

將多學科協同優化應用于減速器，其本身就是考慮滿足不同學科下的約束條件所需目標的最優解，減速器設計也由直覺、經驗設計變為更有效率、更符合使用要求的理性設計。

2.2 DSDCO算法求解思路及其特點

多學科協同優化有多種算法，如ECO、CLA-CO、DSDCO等。金霞[7]等提出的設計空間縮減協同優化算法（DSDCO）適用變量有界的多學科優化問題，具有對起始點無要求、計算時間快、對約束條件凸凹性沒有要求等特點。DSDCO根據子系統優化結果，在原問題的求解空間中去除子系統計算所得的不可行域，將剩余的求解空間作為系統級優化的求解空間進行系統級優化計算。隨著迭代的繼續，求解空間不斷更新系統級變量邊界，在原求解空間中不斷去除不可行域，但始終包含完整的原問題可行域。當系統級優化解滿足收斂條件時，得到原問題的全局最優解。該方法對于原問題約束函數的凸性沒有限制，在系統級優化公式中，用變量邊界代替了傳統協同優化中的一致性等式約束，使系統級優化得到有效的簡化，很好地解決了傳統協同優化設計系統級優化求解困難的問題。但該算法需要在原問題的設計空間內不斷更新優化設計空間，故僅適用于變量有界的多學科設計優化問題[7,14-15]。

某多學科優化問題含有n個系統級設計變量，z個子系統。在k-1次迭代優化時，系統級優化點為，對應的子系統優化空間為OBJ*(k-1)，系統級求解得到的子空間集為L*(k-1)。因子系統個數為z，子系統級優化可得到z個子系 統 優 化 解（i=1,2,…,n）。 定 義為

為去除當前求解子空間L*(k-1)中不可行域，需要沿著各個坐標軸去除不可行域。為最大限度的去除不可行域，每個坐標方向上的上下界限分別為：

將Lknew傳遞到系統級求解子空間并更新系統級求解子空間集Lk。由以上操作得到新的求解空間，進行優化求解過程，循環迭代此過程，直至得到的系統級優化結果滿足收斂條件。但是需要注意的是，Lnew中若出現不符合邏輯的空間，需刪除不符合邏輯的求解空間。比如，在更新得到的求解空間中，如果某變量上界或下界超出L*(k-1)中該變量的上下界，則用L*(k-1)中相應界限值將其代替。

綜合DSDCO特點以及其求解思路，該方法適用于優化擺線針輪行星減速器的結構設計變量，可以綜合考慮不同學科的影響，滿足特殊設計要求以及約束條件，獲得最優設計，有效提高設計質量，降低研制費用，縮短設計周期。

3 結果及分析

3.1 減速器優化過程及結果

擺線針輪行星減速器輸入功率NH=4 kW，許用彎曲應力[σN]=15 000 N/cm2，許用接觸應力為[σj]=85 000 N/cm2[16]，主動軸轉速 nH=1 440 r/min，傳動比為i=29，針齒殼側面的壁厚Δ=14 mm，針齒套壁厚Δ1=2.5 mm，柱銷套壁厚Δ2=5 mm，短幅系數K1=0.69，軸承的寬度b=20 mm。

該設計優化問題可表示為：

DSDCO算法將原問題分解為一個系統級優化問題和兩個子系統級優化問題。子系統1的約束為g1、g2、g3、g7、g8，設計變量為X1、X2、 X3、 X4、 X5；子系統2的約束為 g4、g5、 g6，設計變量為 X1、 X2、 X3、 X4、 X5；系統級設計變量為X1、X2、X3、X4、X5。將減速器體積最小作為目標函數，編寫DSDCO優化程序，運行程序，循環過程中得到部分數據如表1。

表1 循環過程中部分數據Table1 Somedatain thecyclic process

最后得到最優解如表2所示。

表2 擺線針輪行星減速器優化結果Table2 Cycloid reducer optimization results

3.2 優化結果分析

與原設計結果比較可得，由DSDCO計算得到的體積相對減少量為（2.448-2.130）/2.448×100%=12.99%。此優化結果說明采用DSDCO對擺線針輪行星減速器進行優化，能夠在保證減速器接觸強度以及彎曲強度的前提下，使的減速器結構變得更為緊湊。使用該目標函數、約束條件以及DSDCO算法進行的優化設計有效，DSDCO可為減速器優化或其他類似結構的多學科優化提供參考。

4 結論

（1）以擺線針齒行星輪減速器為研究對象，以減速器體積最小為優化目標，以減速器內部機構尺寸關系和各個部位的應力要求為約束條件，建立的減速器優化設計模型，能夠很好地體現減速器內部結構和應力要求，能夠真實地反映減速器的設計情況，切合實際。

（2）采用DSDCO優化設計后減速器的體積明顯減小，得到的設計參數更為科學合理，彌補了當前減速器設計中設計變量主要依據傳統經驗設計方法的不足。因此達到了優化飛機EMA擺線針齒行星輪減速器的目的。

（3）運用DSDCO算法對減速器模型進行優化，很好地解決了包含兩個學科的耦合問題，求解簡單方便，減少設計復雜度，更易得到全局優化解。

（4）本文研究對EMA行星輪減速器的設計具有一定的理論指導和實際應用價值，所用DSDCO算法為解決含有多個學科的耦合優化問題提供了一種新方法，具有一定理論價值。

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