橡膠氣球大小與內外壓強差關系

吳 昕，王雪彬

(南京市金陵中學，江蘇 南京 210005)

從物理角度來看：肥皂泡在陽光的照射下，肥皂泡的里外表面反射的光發生干涉引起顏色變化[1]，而色澤的變幻莫測與重力下的液體的分布改變以及表面液體揮發狀態有關． 吹肥皂泡要用力，在肥皂泡的形成過程中做功，根據功能轉化原理，肥皂泡的形成過程有能量的積累[2],肥皂泡積累的能量是表面能，肥皂泡的膜面上存在著支撐肥皂泡的表面張力． 肥皂泡因為很難控制和測量，因此用氣球來作為研究對象． 為了更好地了解實際的氣球內外的壓力差和半徑之間關系，本文進行了相關的實驗和理論定量分析．

1 橡膠氣球連通實驗

因為表面張力的作用，液體球面凹面一側的壓強應大于凸面一側的壓強．在此情況下，液面兩側的壓強差Δp與表面張力系數α成正比，與曲率半徑R成反比，即

Δp=2α/R.

(1)

(1)式是球面膜的拉普拉斯定律[2]． 對于肥皂泡來說，有內外2個液體-空氣界面，都滿足凹面一側的壓強總是大于凸面一側的壓強，因此，肥皂泡內外的壓強差是單個膜面壓強差的2倍，即

Δp=p2-p0=4α/R.

(2)

比較好的演示實驗是一大一小2個氣球，用連通器連在一起，一般想應該是2個球變成一樣大，但實際并非如此． 圖1中2個氣球，紅色大一些的氣球直徑約為16.6 cm，藍色小一些的氣球直徑約為13.8 cm，把它們用硬管和軟管連起來，打開中間的夾子，可以發現，紅色的氣球變大最終直徑約為19.3 cm，藍色的氣球變小最終直徑約為5.6 cm．

(a)連通前

(b)連通后圖1 氣球連通器的實驗

該實驗大致驗證了球面膜的拉普拉斯定律，但是，藍色球也并未完全縮到自然尺寸2.4 cm(該氣球正常狀態下平鋪時中間的長度約為7.5 cm，因此計算出常壓下周長約為15 cm，計算出氣球此時直徑約為2.4 cm)． 而且，并不是所有的實驗都出現大球變大小球變小的情況，在球的直徑較大的情況下，有時沒有發現明顯的球半徑的變化，甚至有時出現大球變小、小球變大的情況．

2 橡膠氣球實際內外壓力差的測量

為了量化得到氣球內外的壓強差Δp和直徑d之間的關系，設計的定量測量實驗裝置如圖2所示．將吹好的氣球連在軟管做成的連通器一端，軟管內注入一定量的滴有墨水的水，方便測量左右軟管中的水柱高度差Δh，得到氣球和外界大氣的壓強差Δp． 1 cm的水柱大約相當于100 Pa．

圖2 實驗裝置示意圖

通過與氣球連接的三通的一端放氣，使得氣球直徑逐漸減小，在這個過程中同時測量氣球的直徑和連通器兩側的水柱高度差，得到連通器左右液面高度差隨氣球直徑的變化關系，測量數據如圖3所示．

圖3 不同氣球測量得到的壓強差Δp與直徑d關系

氣球1～3的材質相同，為質量稍好的氣球，它們的結果比較一致；而氣球4則質量較差． 通過圖3可以看到氣球內外氣壓差Δp從氣球開始處于未拉升的正常狀態，隨著半徑變大即充氣內外強力差急劇增大(此范圍在實驗中非常難測量，因為很小的直徑變化會造成很大的壓強差升高)． 當直徑增加到一定范圍后壓強差又會逐漸減小，在這一中間范圍(對于氣球1～3大致為7～17 cm)大致滿足球面膜的拉普拉斯定律，而質量較差的氣球4在該區域內隨著直徑增加壓強減小得不明顯． 圖1氣球連通器實驗中所用的質量較好的紅色氣球直徑約為16.6 cm，藍氣球直徑約為13.8 cm，剛好大致滿足球面膜的拉普拉斯定律的直徑范圍內，因此出現了大球變大、小球變小的現象． 但是如果球直徑繼續增加，不再滿足球面膜的拉普拉斯定律，即隨著氣球的增加，內外壓強差會增加，因此對于氣球連通器實驗，當大球吹得更大到達20 cm以上，不一定出現大球變大小球變小的現象，最終的狀態會更加復雜．

3 實驗結果討論與模擬

上述實驗，相對簡單，有些問題沒有考慮，比如：氣球其實是個橢球，但在測量氣球的直徑過程中，只測量了氣球橫向的直徑，作為標準的球；氣球在吹氣口那段無法從理論模型放到結果中去，但通常這一部分的橡膠會隨著氣球的增大，少量地進入到氣球的總體薄膜里面去；氣球的材質是橡膠，拉和縮的性質不一定可逆，在這個過程中可能吹氣到某個直徑或者放氣到某個直徑對應的內外壓強差不同，當然因為橡膠疲勞等原因，第二次測量和第一次也可能不同． 但上述問題不妨礙本實驗作為定性而非準確定量的實驗研究氣球的吹氣問題[3-4]．

假設橡膠氣球是各向同性的球形薄膜，即不考慮氣球的不規則性或者氣球扎口部分的影響． 考慮到形變的氣球的某個過球心的圓切面，球面橡膠形變的彈力提供橡膠薄膜的“表面張力”． 假設均勻橡膠氣球的單位長度的彈力密度為T，該彈力和液面膜的表面張力系數α量綱相同，在某個(如圖4所示)截面，膜面1周對應的彈力密度在該平面的分量為Tsinθ，根據截面的壓力與彈力平衡關系，可以得到：

Tsinθ·2πRsinθ=ΔR·π(Rsinθ)2，

(2)

即

2T=Δp·R.

(3)

圖4 標準球形氣球內外壓強差的計算

(3)式的推導和球面膜的拉普拉斯定律推導過程[2]基本相同，結果在形式上也完全相同． 但是實際上，橡膠氣球薄膜是彈性較大的固體材料，和液體球的表面有很大的區別． 液體的表面張力不牽涉到內部液體的貢獻，僅由液體和空氣接觸的介面個數有關，因此作為單位長度的表面張力——表面張力系數和構成表面的液體厚度理論上沒有關系． 而對于固體彈性薄膜來說，應力σ——分布在單位截面上的彈性力——才是材料受力更基本的量度，而應力和單位長度彈力密度T之間剛好相差厚度δ，即T=σδ． 在氣球直徑變大的過程中，因為氣球膨脹橡膠膜厚度變小，與液體表面張力系數對應的T在橡膠氣球中同時受到應力和厚度的影響，變化關系會非常復雜. 因此實際測量的橡膠氣球內外壓強差和球面(液)膜的拉普拉斯定律不一致是可以理解的．

σ=E(λ-1).

(4)

(5)

(a)

(b)圖5 應力和氣球壓力差隨約化半徑的關系

因此可以斷定，氣球的橡膠一定不滿足胡克定律，即橡膠不是普通的固體材料，應變可以達到自身體積的百倍，楊氏模量數值也非常小即它很容易發生形變． 考慮到橡膠是高分子材料，那么熵彈性可以作為形變應力的主要來源． 在只考慮熵的貢獻和彈性，不考慮黏性和構象能，并在其體積保持不變的情況下，可以基于網鏈交聯的理論[6]得到其應力和約化形變的關系

(6)

當形變量較大時，1/λ2基本可以忽略，因此和(4)式的結果類似． 而實際測量的橡膠材料得到的應力和約化形變的關系非常復雜，如圖5(a)的紅色虛線所示，偏離理論關系的原因可能是大的形變下有無效的松鏈以及應力誘導結晶的存在[6]，使得材料偏離理想網絡的模型． 基于橡膠材料的應力和約化形變的關系，可以得到圖5(b)紅色虛線所示的壓強差和約化半徑的關系，發現該曲線和實驗的結果非常吻合，因此隨著半徑增大，氣球內外壓強差后面又升高的情況是由大形變下氣球橡膠材料的性質所決定． 而質量較差的氣球4，小半徑范圍內半徑增加壓強差減小的情況不明顯，應該和橡膠質量較差有關．

4 結束語

球面液膜的拉普拉斯定律指出，在理想情況下液體氣泡內外壓強差應該和它的半徑成反比． 但是對于橡膠氣球，實驗表明氣球內外壓強差隨著半徑的變化非常復雜，先隨著半徑增加迅速增加，再慢慢降低，再到逐漸增加． 在氣球中，表面張力是由氣球橡膠模的形變產生，所以和液體膜有很大差別，通過對材料形變和彈力的關系的理解，定量理解了氣球的內外壓強差隨直徑變化這一復雜的關系．

致謝：感謝金陵中學“準博士培養站”項目的支持和南京大學楊歡教授提供的幫助！

參考文獻：

[1] 程守洙，江之永． 普通物理(下冊)[M]． 6版. 北京：高等教育出版社，2006：141-148．

[2] 王光昶． 醫學物理學[M]． 北京：清華大學出版社，2011：110-114．

[3] 黃思議，班爾達，陳思聰，等． 氣球的非線性力學特性探究[J]． 高中數理化，2012 (20)：46-47．

[4] 陳理． 大小氣球對接現象的量化解釋[J]． 中學物理教學參考，2013，42(12)：50-52．

[5] 李賓中． 醫學物理學[M]． 北京：科學出版社，2010：29-36.

[6] 華幼卿，金日光． 高分子物理[M]． 4版. 北京：化學工業出版社，2013：168-187．

[7] 高志華，閆妍，申燕． 水流沖不走乒乓球現象的研究[J]． 物理實驗，2017，37(6)：14-18.