一種高斯漸進濾波框架下的目標跟蹤方法

鄭婷婷 楊旭升 張文安 俞立

目標跟蹤在軍事國防、環境監測、城市交通、家庭服務等領域發揮著重要的作用.隨著微電子技術、通信技術的發展,無線傳感器網絡(Wireless sensor networks,WSNs)在移動目標跟蹤或定位中的應用得到了學術界和工業界的廣泛關注[1?5].WSNs利用大量分散節點對移動目標進行協同感知,并提供豐富的環境信息以及準確的定位服務.

在移動目標的跟蹤過程中,通常采用無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman filter,UKF)方法[6?7]來處理系統中存在的非線性濾波問題.然而,由于UKF方法能擬合的階數十分有限,在濾波過程中會引入較大的線性化誤差,從而影響濾波器的性能.文獻[8]提出了迭代無跡卡爾曼濾波(Iterated UKF,IUKF)方法,其通過多次量測迭代可一定程度地減小線性化誤差以提高系統的濾波精度.此外,文獻[9]證明了迭代卡爾曼濾波(Iterated Kalmanfilter,IKF)方法中的量測迭代過程可看作是一種高斯–牛頓迭代過程,因此只有當初始的狀態估計值足夠接近真實值時,才能保證濾波器全局收斂.為減少線性化誤差與數值計算誤差的影響,文獻[10]提出了一種漸進高斯濾波(Progressive Gaussianfilter,PGF)方法,該方法根據貝葉斯法則構造系統狀態的同倫函數,在量測更新過程中,漸進地引入當前觀測信息,進而得到系統的后驗狀態.進一步,文獻[11]將文獻[10]提出的方法推廣至多維情況,采用混合Dirac模型對連續的概率密度函數(Probability density function,PDF)進行離散化.該方法無需假設系統狀態與量測間的聯合概率密度函數服從高斯分布,可取得比線性回歸卡爾曼濾波(Linear regression Kalman filter,LRKF)[12?13]方法精度更高的估計結果.然而,它的濾波性能取決于粒子數目,其時間復雜度與空間復雜度都將隨粒子數目增加而增加.針對高斯濾波問題,通?？梢圆捎么_定性采樣的方式對其進行近似,從而有效地減少系統的計算復雜度.這類濾波方法稱為高斯近似濾波(Gaussian approximate filter,GAF)方法,典型的有無跡卡爾曼濾波方法、容積卡爾曼濾波[14?15]方法等.在高斯漸進濾波框架下,文獻[16]提出了一種漸進高斯近似濾波算法,其估計精度高于現有的IKF方法和GAF方法.盡管通過多次“量測迭代”可一定程度地減小線性化誤差與數值計算誤差的影響,但現有的方法并沒有充分考慮到線性化誤差或數值計算誤差的補償問題,易導致量測迭代的次數過多,進而產生過自信的估計結果.

另一方面,傳感器的故障、失效等情況將引起量測信息缺失.特別地,WSNs環境下的目標跟蹤系統不可避免地存在時延、丟包等通信不確定性問題,這將加劇量測信息的不確定性.針對非線性的目標跟蹤問題,某一采樣時刻的量測信息缺失將使得系統的線性化誤差與數值計算誤差增大,導致濾波器性能下降甚至濾波發散.文獻[17]對擴展卡爾曼濾波算法的局部收斂性進行分析并給出濾波器漸進收斂的充分條件,同時指出合理的量測噪聲協方差設計可擴大其吸引域進而有助于濾波器的收斂.進一步,針對一般的離散時間系統,文獻[18]由李雅普諾夫的遞減條件導出一個線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI),通過選取滿足LMI的過程噪聲協方差以確保濾波器的穩定性.對一類僅狀態模型非線性的系統,文獻[19]提出了一種改進的UKF方法并證明其狀態估計誤差在均方意義下有界,同時指出偏大的過程噪聲協方差有利于濾波器的穩定.然而,在迭代卡爾曼濾波方法中,其量測迭代次數往往很難控制.特別地,過多的量測迭代次數反而破壞濾波器的穩定性.因此,量測迭代過程中濾波器的穩定性或收斂性問題有待進一步地研究.

本文考慮一類WSNs環境中存在量測信息缺失的目標跟蹤問題,提出了一種高斯漸進框架下的目標跟蹤方法.本文的主要工作在于:1)為避免錯誤的量測信息對系統的不利影響,通過假設檢驗[20?21]對量測信息進行有效地篩選;2)分析了高斯漸進濾波框架中的漸進過程,采用MPUKF方法以處理由量測信息缺失引起的線性化誤差、數值計算誤差增大的問題;3)通過對MPUKF方法的穩定性分析,證明其漸進過程中的狀態估計誤差在均方意義下有界.仿真結果表明,相比于IUKF方法與PUKF方法,MPUKF方法具有更好的跟蹤性能.

1 問題描述

考慮一類WSNs環境下的多傳感器協同目標跟蹤問題.如圖1所示,將WSNs應用于目標跟蹤系統,一方面可使得多個傳感器協同工作,彌補了單個傳感器感知范圍有限的缺點,另一方面也帶來了多個傳感器覆蓋范圍切換的問題.如圖2所示,在目標跟蹤過程中,可能會存在傳感器間的相互干擾以及故障等問題.同時,由于WSNs的引入還帶來了時延、丟包等通信不確定性問題.如圖3所示,無論是網絡還是傳感器節點自身所引起的量測不確定性問題,都可能使系統的狀態估計誤差增大,從而加劇線性化誤差.特別地,當線性化誤差超過濾波器承受范圍時,將導致濾波器性能下降甚至濾波發散.

圖1 多傳感器目標跟蹤系統示意圖Fig.1 Diagram of multi-sensor target tracking systems

圖2 多傳感器融合系統結構圖Fig.2 Structure of multiple sensor fusion systems

圖3 量測信息缺失對線性化誤差的影響Fig.3 Linearization error caused by measurement loss

假設移動目標的運動學模型可以描述如下:

假設WSNs中有N個無線傳感器節點,其觀測模型可描述為

其中,表示k時刻傳感器節點i的量測值,即其與移動目標間的距離值.xi為傳感器節點i的位置坐標,分別為其在x軸與y軸上的坐標值.量測噪聲的均值為零,協方差為,并且與過程噪聲wk無關.為干擾信號,用于表示移動目標超出傳感器節點感知范圍以及傳感器故障等情況.α表示發生故障的概率,β表示發生量測信息丟失的概率,其服從0?1伯努利分布,和.

注1.在實際應用中,傳感器的感知范圍往往有限,如超聲波傳感器、激光傳感器等.若移動目標超出傳感器節點的感知范圍,傳感器節點將可能返回無效的量測數據.另一方面,WSNs帶來的時延、丟包等通信不確定性問題易導致量測信息的缺失.為此,在觀測模型中引入隨機變量β、α來描述可能存在的量測信息錯誤、失效以及缺失等情況.

2 MPUKF濾波算法

2.1 高斯漸進濾波方法

在目標跟蹤過程中,考慮存在傳感器故障或相互干擾等情況,采用假設檢驗剔除錯誤的量測信息以提高濾波器的穩定性.記量測新息序列為

其相應的協方差為

并定義馬氏距離的平方γk為

根據新息序列ek的高斯性,馬氏距離的平方γk服從相應維度的卡方分布,即

其中,Pr(·)表示隨機事件發生的概率,α為顯著性水平,為1?α的置信界.當零假設被拒絕或新息序列落在1?α置信界外時,則認為發生傳感器故障等情況.

若當前時刻的量測信息缺失或錯誤信息被拒絕,濾波器僅能根據先驗信息對移動目標的狀態進行估計.在下一個估計周期,二次預測將可能導致系統的狀態估計誤差增大,即.進一步,對量測值進行泰勒展開,即

不難發現,多次迭代預測易引起線性化誤差的增大.同樣地,如圖4所示,這將導致系統的先驗概率密度函數更加偏離似然函數,使其重合部分變小.特別地,若量測噪聲協方差較小,會進一步地減少其重合部分.這樣,僅有少量的采樣粒子對積分過程有作用[10?11],使系統的數值計算誤差增大.為此,引入高斯漸進濾波結構來有效地增加“重合部分”,從而減小數值積分過程中的計算誤差.

根據貝葉斯法則,系統狀態的后驗分布可表示為:

圖4 似然函數與先驗概率密度函數示意圖Fig.4 Diagram of likelihood function and prior probability density function

引入漸進參數λ,由上式構造如下的同倫函數:

當λ從0到1連續變化時,同倫函數定義了從先驗分布(λ=0)到后驗分布(λ=1)變化過程中的概率分布.其漸進過程又可表示成

其中,?=1/N,經過N次迭代之后,最終得到系統的后驗概率分布.如圖5所示,系統通過同倫函數遞推的方式,可漸進地引入量測信息對先驗概率密度函數進行修正,有效地利用中間后驗概率密度函數,從而抑制數值計算誤差的增大.

圖5 同倫函數遞推過程示意圖Fig.5 The homotopy function recursive process diagram

2.2 MPUKF方法設計

MPUKF方法主要由假設檢驗與系統狀態迭代更新兩個部分組成.在狀態迭代更新過程中,系統漸進地引入量測信息對當前狀態進行修正,即通過多次量測迭代得到對應時刻的后驗狀態.為減少迭代過程中的計算量,假設系統的先驗概率密度函數與似然函數服從高斯分布,進而根據貝葉斯法則推導出其后驗概率密度函數服從高斯分布.類似地,在系統量測漸進過程中,同樣假設系統狀態與量測間的聯合概率密度函數服從高斯分布,得到λ+?時刻的聯合高斯分布為

其中,

選取迭代步長?=1/N,用i+1與i分別表示λ+?與λ,并通過狀態迭代更新得到對應時刻的后驗狀態.

然而,系統中增大的線性化誤差與數值計算誤差將引起量測信息的“可信度”降低.特別地,當量測噪聲協方差較小時,線性化誤差與數值計算誤差更易破壞系統的穩定性,從而產生不相容[22?23]的估計結果.因此,為防止出現過估計的情況,引入判定條件

算法1.MPUKF算法

注2.為了便于非線性卡爾曼濾波器的實現,通常假設系統的狀態預測誤差正交于量測噪聲,即E.類似地,在MPUKF方法的漸進過程中,同樣認為系統狀態估計誤差正交于量測噪聲,即.

注3.在非線性濾波過程中,線性化誤差通常是不可避免的.過程噪聲大小、采樣間隔以及非線性強度都將影響線性化誤差的大小.特別地,當某一時刻的量測信息缺失時(可看作采樣間隔增大),將可能造成線性化誤差的增大.MPUKF方法可有效地減小線性化誤差,同時提高系統對不同線性化誤差的自適應能力,進而改善濾波器性能.此外,該方法同樣適用于其他因素引起的線性化誤差過大而導致濾波器性能下降的情況.

2.3 系統穩定性分析

本節將通過李雅普諾夫方法對漸進量測更新過程中的穩定性問題進行分析.在這之前，首先介紹一些重要的變量和等式.將進行泰勒展開,根據UT變換并結合文獻[6]中的式(69)～(78)可得

記第i次量測迭代后的狀態估計誤差為

并由式(3)可得

下面將通過定理1證明量測漸進過程中的估計誤差有界.

定理1.若存在實數,使未知的對角矩陣滿足

同時滿足條件(20),則系統的狀態估計誤差在均方意義下有界.

證明.選取李雅普諾夫函數為

同時,由條件(20)可有

整理上式可得

進而有

由文獻[24]中的定理2可知

并結合式(30)有

進一步,整理上式有

以此類推,最終可得

由式(27)可知

因此,在線性化誤差有界的情況下,條件(20)可保證李雅普諾夫函數單調遞減,使得狀態估計誤差在均方意義下有界,從而證明了漸進量測更新過程的穩定.

3 仿真結果與分析

為驗證MPUKF方法的合理性與有效性,本文通過一個目標跟蹤的仿真實例,在由3個測距傳感器組成的WSNs環境中,對比IUKF,PUKF以及MPUKF方法的濾波效果.考慮在目標跟蹤過程中可能存在傳感器故障、失效以及相互干擾等情況,采用如式(2)的觀測模型并假設移動目標的運動學模型如下

其中,系統的周期采樣時間?t=1s,過程噪聲wk與量測噪聲vk對應的協方差分別為Qk=0.0012I4×4,Rk=2×10?3I3×3. 設初始真實狀態向量及其初始誤差協方差.同時,狀態估計的初始值根據隨機選取并取發生故障的概率Pr{α=1}=0.1和發生量測信息丟失的概率Pr{β=0}=0.2.

為便于仿真結果分析與比較,定義位置與速度的誤差指標(Logarithmic mean square erros,LMSEs)為:

其中,M為仿真次數,xk和yk分別為移動目標在x軸和y軸上的真實值,k|k和k|k為對應的估計值.

圖6、圖7分別給出IUKF,PUKF與MPUKF方法的MC仿真LMSEpos與LMSEvel的誤差分布曲線.顯而易見,MPUKF方法的跟蹤精度高于IUKF,PUKF方法.在目標移動的過程中,增大的估計誤差會引入較大的線性化誤差,從而導致濾波器的性能下降.相比于IUKF方法與PUKF方法,MPUKF方法能夠很好地處理線性化誤差、數值計算誤差增大的問題.因此,隨仿真步數的增加,MPUKF方法的性能明顯優于IUKF方法與PUKF方法.

進一步,表1給出了各個濾波器對應的LMSEs均值,其中MPUKF方法的LMSEs均值最小.此外,將上述算例中的IUKF、PUKF以及MPUKF方法的執行時間進行對比.由表2可知,在相同的迭代次數下,MPUKF方法的耗時明顯小于IUKF方法與PUKF方法,具有更高的計算效率.

表1 各濾波器LMSEpos與LMSEvel的均值Table1 Mean of LMSEposand LMSEvel

圖6 各濾波器MC仿真LMSEpos的誤差分布曲線Fig.6 LMSEposdistribution from Monte Carlo runs

圖7 各濾波器MC仿真LMSEvel的誤差分布曲線Fig.7 LMSEveldistribution from Monte Carlo runs

表2 各濾波器平均執行時間Table 2 Average running time

4 結論

本文提出了一種高斯漸進濾波框架下的目標跟蹤方法.該方法通過假設檢驗對量測信息進行篩選,避免錯誤的量測信息對系統產生不利影響.采用MPUKF方法可有效地減小線性化誤差與數值計算誤差,同時提高系統對不同線性化誤差的自適應能力.另外,通過對濾波器穩定性的分析,證明了在線性化誤差有界的情況下,MPUKF方法可保證漸進過程中的狀態估計誤差有界.