在幾何公式教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模

摘要：本文通過(guò)筆者執(zhí)教的規(guī)則教學(xué)研討課例《圓柱的體積》，就如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模，在建模中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，提出具體做法和想法。公式教學(xué)建模分三步驟：1、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，體會(huì)建模的必要。2、引導(dǎo)自主探索，體驗(yàn)建模的過(guò)程。3、求解應(yīng)用公式，驗(yàn)證建模的意義。本課例中建立的幾何公式類規(guī)則教學(xué)的模式，可以應(yīng)用到小學(xué)階段其他平面圖形和立體圖形公式的推導(dǎo)的課例。

關(guān)鍵詞：公式教學(xué)；模型思想；實(shí)驗(yàn)演示；公式推導(dǎo)

《2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)模型是根據(jù)特定的研究目的，采取形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型一般是指針對(duì)特定現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或具體實(shí)物對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模就是通過(guò)建立模型的方法求得問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。

筆者在本學(xué)期初，在越秀區(qū)數(shù)學(xué)六年級(jí)教研中，上了一節(jié)規(guī)則教學(xué)研討課例《圓柱的體積》（人教版六年級(jí)下冊(cè)）。以下通過(guò)這節(jié)課的課堂呈現(xiàn)、分析意圖等，就如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模，在建模中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，談?wù)勛约旱木唧w做法和想法。

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，體會(huì)建模的必要。

【課堂回放】在本課例中，要學(xué)生明確推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式的必要性和方向。先復(fù)習(xí)：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高，長(zhǎng)方體和正方體體積的統(tǒng)一公式“底面積×高”，即長(zhǎng)方體的體積=底面積×高），所有的長(zhǎng)方體都可以用這個(gè)公式計(jì)算出體積。引導(dǎo)學(xué)生猜想，圓柱的體積也有這樣的計(jì)算公式嗎？

1、有些圓柱體的物體如硬幣、蘿卜、蛋糕等可以用排水法或用切拼轉(zhuǎn)化的方法，測(cè)量出它的體積。再出示柱子、壓路機(jī)車輪等，提問(wèn)：這些物體能用排水法測(cè)量體積嗎？怎么辦呢？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出如果能有計(jì)算公式就好啦。

2、出示三組圓柱體，第一組是：等高，底面積相差很大，讓學(xué)生可以通過(guò)觀察的方法直接比較得出結(jié)論：等高時(shí)，圓柱的底面積大，體積就大。第二組是：一個(gè)一元銀幣和一疊一元銀幣，讓學(xué)生也可以通過(guò)觀察的方法直接比較得出結(jié)論：等底時(shí)，圓柱的高越大，體積就越大。再出示第三組的兩個(gè)圓柱體：讓學(xué)生觀察，這兩個(gè)圓柱，底面積差不多大，高也差不多高，能通過(guò)直接觀察的方法比較它們的體積大小嗎？生：不能，可以通過(guò)計(jì)算出它們的體積進(jìn)行比較，所以要推導(dǎo)出圓柱的體積計(jì)算公式。

[設(shè)計(jì)意圖]1、復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算方法，為圓柱體積的計(jì)算做準(zhǔn)備。通過(guò)實(shí)物和圖片的展示，提問(wèn)，從生活中分析，有些圓柱物體不能用我們學(xué)過(guò)的排水法等測(cè)量出體積，得出推導(dǎo)公式的必要性，也就是建模的必要性。2、從數(shù)學(xué)的角度比較，當(dāng)不能通過(guò)觀察直接比較體積大小時(shí)，就要推導(dǎo)出公式，利用公式計(jì)算出體積才能比較。再?gòu)臄?shù)學(xué)的角度得出推導(dǎo)公式的必要性。這樣，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，即發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。

二、引導(dǎo)自主探索，體驗(yàn)建模的過(guò)程。

【課堂回放】在本課例中，師提問(wèn)：能不能將圓柱轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的立體圖形長(zhǎng)方體？引導(dǎo)學(xué)生觀察圓柱的底面是個(gè)圓，長(zhǎng)方體的底面是個(gè)長(zhǎng)方形。（生：轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體）可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體嗎？你猜想的依據(jù)是什么？（同桌討論）

提出猜想，引導(dǎo)學(xué)生回想圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，明確實(shí)驗(yàn)方向。根據(jù)圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程來(lái)猜想，可以把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。因?yàn)閳A柱的底面是一個(gè)圓，可以把圓的底面分成很多等份，把圓柱切開(kāi)，就可以拼成長(zhǎng)方體。課件出示：圓轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。復(fù)習(xí)圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程：把圓等分切割，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，找出圓和所拼成的長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，再利用求長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式導(dǎo)出求圓面積的計(jì)算公式。（強(qiáng)化把圓轉(zhuǎn)化為直的思想）。可以把平面圖形的方法類比到立體圖形。大家都認(rèn)為是可以把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體，對(duì)嗎？明確了實(shí)驗(yàn)方向，我們動(dòng)手操作驗(yàn)證一下。

2、實(shí)驗(yàn)演示：先讓學(xué)生用學(xué)具，分小組操作，在操作中思考問(wèn)題，并填好實(shí)驗(yàn)單。用動(dòng)態(tài)課件再演示一次。想象分成無(wú)限多份時(shí)會(huì)怎樣。先課件展示操作過(guò)程：把底面分成許多等份，再拼成圓柱.分4人小組合作（學(xué)生用學(xué)具，準(zhǔn)備8個(gè)學(xué)具）：你們想自己操作試一試嗎？用學(xué)具圓柱體的拼一拼，（注意把小份的放外面拼。）并填寫實(shí)驗(yàn)紙。用課件再展示一次把圓柱拼成長(zhǎng)方體的過(guò)程。

3、對(duì)比分析；（觀察對(duì)比，尋求關(guān)系）學(xué)生展示作品并說(shuō)明自己推導(dǎo)公式的過(guò)程。（要讓學(xué)生拿起學(xué)具說(shuō)，多個(gè)講）。討論：把拼成的長(zhǎng)方體與原來(lái)的圓柱比較，你能發(fā)現(xiàn)什么？討論重點(diǎn)：1、圓柱通過(guò)切、拼后，轉(zhuǎn)化出近似長(zhǎng)方體，什么變了，什么沒(méi)變？ 2、長(zhǎng)方形的底面積等于圓柱的（）？3、長(zhǎng)方體的高等于圓柱（ ）？4、因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積=底面積乘高，你認(rèn)為圓柱的體積怎樣計(jì)算？用課件再展示一次，找出各部分間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4、推導(dǎo)公式：提升認(rèn)識(shí)：通過(guò)觀察，使學(xué)生明確：把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體后，形狀變了，體積不變。長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高就是圓柱的高。（長(zhǎng)方體的體積=底面積×高，所以圓柱的體積=底面積×高，V=Sh）

[設(shè)計(jì)意圖]在學(xué)生探明方向的基礎(chǔ)上，通過(guò)課件演示，學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作后，通過(guò)觀察、對(duì)比等，自主推導(dǎo)出圓柱的體積計(jì)算公式。在建模的過(guò)程，要通過(guò)學(xué)生的觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型。這是建模的最重要環(huán)節(jié)。

三、求解應(yīng)用公式，驗(yàn)證建模的意義。

【課堂回放】。在本課例的教學(xué)中，在推導(dǎo)出圓柱體積計(jì)算公式后，應(yīng)用公式解決問(wèn)題，鞏固新知。出示例1：一根圓柱形木料，底面積為12.56cm?，長(zhǎng)10cm，它的體積是多少？（先簡(jiǎn)單練習(xí)知道底面積和高求體積。）再出示三個(gè)圓柱體，給出不同的條件，應(yīng)用幾種不同變式練習(xí)，再解決實(shí)際的問(wèn)題：柱子是一個(gè)頂天立地的圓柱體，要求它的體積是多少？怎么辦呢？讓學(xué)生說(shuō)思路：用實(shí)際的物體說(shuō)明有時(shí)只能量出圓柱的底面周長(zhǎng)，不能量出半徑或直徑，也就是知道圓柱的底面周長(zhǎng)，求體積的情況。利用公式解決實(shí)際問(wèn)題。再到逆向應(yīng)用公式，即逆向應(yīng)用公式練習(xí)，使學(xué)生會(huì)正向和逆向應(yīng)用計(jì)算公式。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)模型求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義。通過(guò)這節(jié)課例的教學(xué)，圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，可以建立幾何公式規(guī)則教學(xué)的模式，基本流程是：先提出問(wèn)題（即為什么要推導(dǎo)公式，即建模的必要性。）；再建立模型（提出猜想，明確實(shí)驗(yàn)方向；實(shí)驗(yàn)操作演示；觀察對(duì)比分析；利用舊圖形的公式推導(dǎo)出新圖形的公式。）最后要用模型，即求解驗(yàn)證。可以把這教學(xué)模式遷移到其他的幾何圖形的公式推導(dǎo)的教學(xué)。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟可以簡(jiǎn)化為三個(gè)環(huán)節(jié)：1、從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。即發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。2、用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在這步中，現(xiàn)實(shí)要通過(guò)觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型。（這是建模的最重要環(huán)節(jié)。）3、通過(guò)模型求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義。

總之，模型思想需要一線教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟，要經(jīng)歷一個(gè)比較復(fù)雜的過(guò)程，不可能在一兩節(jié)課就可以讓學(xué)生完全感悟深刻的，需要老師在課堂上長(zhǎng)時(shí)間的重視和不斷滲透，針對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生才能經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰的領(lǐng)悟過(guò)程。例如，在本課例中建立的幾何公式類規(guī)則教學(xué)的模式，可以應(yīng)用到小學(xué)階段其他平面圖形和立體圖形公式的推導(dǎo)的課例。讓學(xué)生在這一類的幾何圖形教學(xué)中，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]課程教材研究所.數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)教師教學(xué)用書. [G].人民教育出版社.北京：2016.05

[2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)20111年版解讀》. [G].北京師范大學(xué)出版社.北京：2012.02

[3]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)20111年版》 [S]. 北京： 北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4]徐速.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理研究[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2006：162

[5]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)下。

[6]《新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)》.[G].北京師范大學(xué)出版社.北京：2012.07

作者簡(jiǎn)介：梁石云，1972.7.12，籍貫：廣東云浮市，職稱：一級(jí)教師，學(xué)歷：教育碩士。