一道高考題的多角度思考及推廣

毋曉迪　韓道蘭

摘要：高考數學注重考查學生的解題能力以及邏輯思維推理能力，由于數學學科知識答案的固定性，學生往往會被束縛在特定的解題模式中，這樣會制約學生的解題思路，對于教師來說主要的任務是教會學生掌握解題的思想，能學以致用，觸類旁通，而不是僅僅教會學生能夠解出一道題，下面筆者就針對2016年四川卷第8題的解法進行多角度分析，來談一談高考題一題多解之妙，挖掘其一題多解的內在聯系。

關鍵詞：一題多解；多角度；推廣；教學啟示

一、 解法分析

設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM斜率的最大值為。

A. 33

B. 23

C. 22

D. 1

1. 基本不等式的視角

解法1：由焦點F（p2，0），設點P、M的坐標分別為P（y202p，y0），M（x，y），現就y0>0來討論，由于|PM|=2|MF|，即PM=2MF，解出M（p3+y206p，y03），即kOM=y-0x-0=yx=22py0+y0p≤222=22，當且僅當y20=2p2時，取等號，即kOMmax=22。

2. 方程的視角

解法2：設點P、M的坐標分別為P（x0，y0），M（x，y），由|PM|=2|MF|，得x=13x0+p3，y=13y0，即∴P（3x-p，3y），得到M的軌跡為：9y2=6px-2p2，將OM所在的直線方程為y=kx與M的軌跡方程聯立得：9k2x2-6px+2p2=0，由Δ=（-6p）2-4·9k2·2p2≥0，解得k的取值范圍為：-22≤k≤22，即直線OM斜率的最大值為22。

3. 函數的視角

解法3：由解法4知，當AP與拋物線相切時斜率最大，當然我們可以通過求導去解決，設P（x0，2px0），由y2=2px知y=2px，所以y′=kAP=k=p2px，即k=p2px=2px0-0x0-（-p），解得p=x0，所以直線的斜率為k=p2p2=22，即kOMmax=22。

4. 幾何的視角

解法4：根據|PM|=2|MF|，考慮到中心的性質，可以巧妙構造一個三角形，不妨設B（p，0），使得焦點F為OB的中點，此時M為ΔBOP的重心，此時設點P的坐標為P（x0，y0），所以x0=y202p，由三角形重心坐標得M（x0+p3，y03），kOM=y0x0+p=1y02p+py0≤1212=22，

當且僅當y20=2p2時，等號成立，即kOMmax=22。

二、 替代推廣，巧得性質

該高考題難度適中，題目雖小，有容乃大，不難發現我們得到的答案是一個與解析式中參數p無關的常數，一道好題的價值在于它能產生其他一些好題，因此我們可以大膽做出嘗試，做出假設，利用好題進行適當變形和替換，用λ（λ>0）來替換原題中的數字2可得到如下一般形式：設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=λ|MF|，則直線OM斜率的最大值是一個與p無關的常數。

證明：焦點F（p2，0），點P、M的坐標分別為P（y202p，y0），M（x，y），就y0>0來討論，由于|PM|=λ|MF|，所以PM=λMF，即：（x-y022p，y-y0）=λ（p2-x，-y），解出M（λp2-y202（1+λ）p，y01+λ），∴kOM=y-0x-0=yx=2py0λp2+y20=2y0p+λpy0≤22λ=λλ，當且僅當y20=λp2時，等號，直線OM斜率的最大值為λλ。

得出結論：不難發現，對該題變形后，得到的答案是一個與參數p無關的常數，這個答案很特殊，只與分焦半徑的系數λ有關，為此本試題就得到了一般的推廣的同時，我們可以得到一個與拋物線焦半徑有關的一個性質：O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，M是線段PF上的點，滿足PM=λMF，則直線OM斜率的最大值為1λ。

參考文獻：

[1]司政君，鞏繼忠.一道數學高考題的多種解法[J].數學學習與研究，2012（5）.

[2]教育部考試中心.2016年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明[M].北京：高等教育出版社，2016.

作者簡介：

毋曉迪，韓道蘭，廣西壯族自治區南寧市，廣西民族大學理學院。