有“跡”可循有“法”可依

摘要：筆者從“運動軌跡是線段”“運動軌跡是圓弧”兩大類型展開對“軌跡類”問題的探究，再依據其特點和性質進行細化，歸納出“軌跡類”問題的一些特點和常用解法；同時提出了幾點對教學的思考，與同行共勉。

關鍵詞：軌跡；圓弧；教學思考

“軌跡類”探究題一直是中考的一類熱點問題，同時也是難點問題。筆者所在的淮安市，在停歇數年后，今年的填空壓軸題又出現了這種“軌跡類”問題。筆者所在學校是市直屬重點學校，仍有大部分學生對這類題型感覺無從下手，可想而知，本題得分率是相當低的。那么，如此看來，初中階段對“軌跡類”問題的研究就非常必要且迫切，筆者經和同事們研究、探索，歸納出以下幾類“軌跡類”問題，歸納出了較為簡單易掌握的解題方法，與同行共勉，供學生參考。

一、 “線段類”軌跡

（2016·海模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E在邊AD上，且AE∶

ED=1∶3。動點P從點A出發，沿AB運動到點B停止。過點E作EF⊥PE，交射線BC于點F，設M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為。

解：法一：如圖1所示：過點M作GH⊥AD。

∵AD∥CB，GH⊥AD，則GH⊥BC。

在△EGM和△FHM中，∠MGE=∠MHF=90°∠GME=∠FMHEM=MF

∴△EGM≌△FHM。∴MG=MH。

∴點M的軌跡是一條平行于BC的線段。

當點P與A重合時，BF1=AE=2，

當點P與點B重合時，∠F2+∠EBF1=90°，∠BEF1+∠EBF1=90°，

∴∠F2=∠EBF1。∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2。

∴BF1EF1=EF1F1F2，即：26=6F1F2，

∴F1F2=18，∵M1M2是△EF1F2的中位線，∴M1M2=12F1F2=9。

法二：建立如圖2所示平面直角坐標系。

過點F作FG⊥AD于點G，設AP=x，∵∠PEF=90°，

∴△APE∽△GEF，∴AEFG=APEG，即26=xEG。

∴EG=3x，則E（2，6），F（2+3x，0）。

∵M是EF中點，可得M（2+32x，3）。

∵M點縱坐標是常數3，

∴M點運動軌跡是平行于BC的線段。

∵0≤x≤6，則起點M1（2，3），終點M2（11，3）∴M點運動軌跡長為9。

【評析】本題主要考查的是點的軌跡問題，方法一主要從幾何的角度入手，涉及了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，探究出動點經過的路徑是解題的關鍵。方法二主要是從代數角度入手，建立平面直角坐標系，通過相似，探索出動點的坐標表示，從而發現動點的運動軌跡，再從變量的取值范圍得到軌跡長。

二、 “圓弧類”軌跡

（2016·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是。

解：如上右圖，為了探究點P到邊AB的距離最小值，首先要找到點P的運動軌跡，由題意知在翻折過程中，點P到點F的距離始終等于2，所以，動點P的運動軌跡是以點F為圓心，2為半徑的圓弧，從而當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小，利用△AFM∽△ABC，得到AFAB=FMBC，所以FE=165，而PF=2，故有PE=65。

【評析】此題表面上看起來是翻折問題，動點問題，其實解決問題的關鍵是得到頂點P的運動軌跡，再結合相似可解決問題。根據很多同學的錯誤想法，值得注意的是，雖然始終有∠FEP=90°，即點P也始終在以FE為直徑的圓上，但是E點是動點，FE始終在變，所以這樣考慮無法解決問題。

三、 對教學的幾點思考

（一） 善于歸納總結，提升思維高度

教師跳入題海，學生才能跳出題海。教師跳入題海的目的是什么呢，就是能把同類型的題目歸納總結，提煉出通法，同時還要會舉一反三，融會貫通。

（二） 重視學生“四基”，提高課堂品質

2011年版《數學課程標準》提出了學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。較之之前的課程要求，新增了基本思想和基本活動經驗。為了體現數學的本質，這就要求課堂教學中要善于引導學生歸納并體會數學中常用的思想方法。

（三） 培養學生“四能”，倡導合作創新

2011年版《數學課程標準》提出“體會數學知識之間……增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”這就要求教學設計環節中要有學生發現和提出問題的平臺；教學探索環節中教師要退居二線，不可包辦、代辦，要突出學生的主體地位，引導學生要有自主思考，合作探究的數學活動意識。

作者簡介：

韓先麗，江蘇省淮安市，江蘇省淮陰中學新城校區。