2017年上海數學高考第12、20、21題的解答

摘要：2017年上海數學高考第一次不分文理試卷，雖然絕大多數題都不難，但也有幾道難度極高的題，網上已能看到全部試題，不過網上公開的幾道難題的解答均是錯誤的。現將第12、20、21題解答如下，以供同仁們參考指正。

關鍵詞：2017上海數學高考12、20、21題；解答；函數

12. 如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1，P2，P3，P4以及四個標記為“▲”的點在正方形的頂點處，設集合Ω={P1，P2，P3，P4}，點P∈Ω，過P作直線lP，使得不在lP上的“▲”的點分布在lP的兩側。用D1（lP）和D2（lP）分別表示lP一側和另一側的“▲”的點到lP的距離之和。若過P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），則Ω中所有這樣的P為。

建立如圖所示的平面直角坐標系，并如圖標記四個“▲”的點分別為A1，A2，A3，A4。

顯然P1（0，4），P2（3，2），P3（4，2），P4（6，5），A1（1，0），A2（0，3），A3（4，4），A4（7，1）。

為以下書寫方便，記P（m，n），Ai=（xi，yi），i=1，2，3，4。

設過P的直線lP方程為：a（x-m）+b（y-n）=0（a，b不全為零）。

引入點A（x0，y0）到直線l：ax+by+c=0的有向距離：δA=ax0+by0+ca2+b2。

由有向距離的定義，在直線同側的兩點到該直線的有向距離同號，異側的兩點到該直線的有向距離異號，故題設中過P的直線lP滿足D1（lP）=D2（lP），即意味著∑4i=1δAi=0，

即∑4i=1a（xi-m）+b（yi-n）a2+b2=0，亦即a（∑4i=1xi-4m）+b（∑4i=1yi-4n）=0。

將A1（1，0），A2（0，3），A3（4，4），A4（7，1）代入，得a（12-4m）+b（8-4n）=0（1）。

將P1（0，4）代入（1）得12a-8b=0，a∶b=2∶3，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能為

2x+3（y-4）=0，符合題意；

將P2（3，2）代入（1）得0×a-0×b=0，過P2（3，2）的任意一條直線都符合D1（lP）=D2（lP），不符合題意；

將P3（4，2）代入（1）得-4a+0×b=0，a=0，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能為y-2=0，符合題意；

將P4（6，5）代入（1）得-12a-12b=0，a=-b，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能為

（x-6）-（y-5）=0，符合題意。

綜上所述，Ω中所有這樣的P為P1，P3，P4。

20. 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓F：x24+y2=1，A為F的上頂點，P為F上異于上、下頂點的動點，M為x正半軸上的動點。

（3） 若|MA|=|MP|，直線AQ與F交于另一點C，且AQ=2AC，PQ=4PM，求直線AQ的方程。

易得A（0，1），設P（x0，y0）（x0≠0），M（m，0）（m>0），Q（xQ，yQ），C（xC，yC）。

由|MA|=|MP|，得m2+1=（m-x0）2+y20，

兩邊平方，m2+1=m2-2mx0+x20+y20，化簡得-2mx0+x20+y20-1=0（1）。

又由P為F上異于上、下頂點的動點，可知x204+y20=1（x0≠0），

即y20-1=-x204代入（1）式得-2mx0+x20-x204=0，

即-2mx0+3x204=0，又x0≠0得m=38x0，由m>0知x0>0。

因為PQ=4PM，即（xQ-x0，yQ-y0）=4（m-x0，-y0）得

xQ-x0=4（m-x0），

yQ-y0=-4y0，整理得

xQ=4m-3x0=-32x0<0，

yQ=-3y0（2）

由AQ=2AC得點C為AQ中點，xC=xQ2=-34x0，yC=yQ+12=-3y0+12。

因為點P，C都是橢圓上的點，故

x204+y20=1，

-34x024+-3y0+122=1，

即x20+4y20=4，

9x20+16（3y0-1）2=64，

36y20-16（3y0-1）2=36-64，整理得27y20-24y0-3=0，解得y0=-19（因為x0>0，故y0≠1），進而得x0=859，即C（-253，23），又A（0，1），故直線AQ的方程為y=510x+1。

21. 設定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意的x1，x2∈R，當x1

（3） 設f（x）恒大于零，g（x）是定義在R上的恒大于零的周期函數，M是g（x）的最大值。h（x）=f（x）g（x）。證明：“h（x）是周期函數”的充要條件是“f（x）是常值函數”。

證明充分性：略

必要性：設定義在R上的周期函數g（x）的一個正周期為Tg，h（x）的一個正周期為Th。

因為M是g（x）的最大值，故存在實數x0滿足g（x0）=M。

記集合A={x|x=x0+kTg，k∈Z}，顯然對任意的x∈A，均有g（x）=M。

下面采用反證法證明f（x）是常值函數：

假設f（x）不是常值函數，則存在實數x1≠x2，f（x1）≠f（x2）。

不妨假設x1

在集合A中取一個元素a，滿足a>x2，顯然g（a）=M，再取足夠大的正整數n，使得

a-nTh

又h（a-nTh）=h（a），即f（a-nTh）g（a-nTh）=f（a）g（a），而f（x），g（x）都恒大于0，

所以g（a-nTh）>g（a）=M，這與M是g（x）的最大值矛盾，所以f（x）不是常值函數的假設不成立，f（x）是常值函數，必要性證畢。

作者簡介：

俞紅，上海市，上海中學。