一次函數中動點問題的解題策略

摘要：一次函數是學生在初中階段學習的第一個函數，它是最基礎的函數，是初中數學中的重要內容之一。而一次函數中的動點問題又是一個難點。在解決動點問題時，首先必須要把握好“動中有靜”的解題思想，通過動中有靜，確定問題中的不變關系，動靜互化，把握運動中的特殊信息，以動制動，建立圖形中變量的函數關系，進而探索出問題的解題策略。

關鍵詞：一次函數;動點問題;解題策略

一次函數與動點問題相結合充分體現了數形結合的思想，運動觀點，方程思想，分類思想，轉化思想蘊合其中。學生在經歷探索一次函數動點問題過程中，需要在動點過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形不同位置的情況，在變化中找到不變的性質。通過畫圖，合情推理與演繹推理相結合，從而有效地解決一次函數的動點問題。下面就從單動點，多動點，單邊，多邊上運動不同情況的例題進行解決問題策略的研究分析。

例1如圖，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點E、F，點E的坐標為（-8，0），點A的坐標為（-6，0）。

（1） 求k的值;

（2） 若點P（x，y）是第二象限內的直線上的一個動點，在點P的運動過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3） 探究：當點P運動到直線EF什么位置時，△OPA的面積為278，并說明理由。

思路分析：（1）由題意可知，E點在直線上，所以我們將E點代入直線可得k=34。

（2）從問題入手，△OPA中有兩個定點O和A點，而P點是動點。再深入閱讀題，看這個動點在位置上的特殊要求，第一在直線EF上，第二在第二象限內。由第一問可得解析式為y=34x+6，所以P（x，34x+6）。由于比較抽象，學生可以畫出大致圖使問題轉化成我們所熟悉的面積問題。∴S△OPA以OA為底的邊上的高是|34x+6|，當點P在第二象限時，|34x+6|=34x+6。∵點A的坐標為（-6，0），∴OA=6。從而△OPA的面積S就可求出。只是一定要注意P點在第二象限這個條件。

（3）對比第二問和第三問最大的區別就是已知面積求動點坐標，但是此刻P點在限制在第二象限，那我們可以考慮到P點在x軸的上方和x軸的下方兩種情況進行分類討論，還是需要畫出示意圖。

剛才在上述題目中，我們講述的是如何去解決一個單動點問題。在一次函數與動點問題相結合的問題中，還會有翻折，旋轉這些動態問題，并且還在一個背景下研究。可以說一次函數的動態問題是學生中學階段解析幾何的開端。

【模型建立】

（1） 如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E。

求證：△BEC≌△CDA;

【模型應用】

（2） ①已知直線l1：y=43x+4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45度至直線l2，如圖2，求直線l2的函數表達式;

②如圖3，長方形ABCO，O為坐標原點，點B的坐標為（8，-6），點A、C分別在坐標軸上，點P是線段BC上的動點，點D是直線y=-2x+6上的動點且在第四象限。若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D的坐標。

分析：可以說本題是一道綜合性比較強的問題，當學生閱讀完題，看到圖1后，能看出K字模型。但看到第2問第1小題，有60%學生都覺得特別茫然，他們也會先看問題結論，如果要寫出l2的函數表達式，待定系數法需要兩個點，

可這里只有一個A點，這里要注意45度角還未使用，這里可以設想在l2上有一個C點。聯系到第一問模型，思路轉向直角，再和45度結合起來看，方向應該確定為等腰直角三角形。既然是動點問題，運用假設，作圖，如圖4過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據△CBD≌△BAO，得出BD=AO=3，CD=OB=4，求得C（-4，7），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式;第2小問是標準的動點問題，閱讀完題還是雙動點問題，根據△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D是直線y=-2x+6上的動點且在第四象限時，這時有兩個動點，設D（x，-2x+6）。而分點兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時（圖5），當點D在矩形AOCB的外部時（圖6），設D（x，-2x+6），分別根據△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據此列出方程進行求解即可。分析完這題，我們不難發現，作圖對動點問題起一個引導作用，此外還要善于從結論出發，根據條件假設。

對于一次函數與動點問題相結合的問題，學生所需要以一次函數的表達式，性質，圖像為基礎采取有效策略。學生可以采取以下幾種有效的方法。通過長期實踐，學生可以試著嘗試以下幾種方法有針對性地解決一次函數的動點問題。首先學生在閱讀完題后需要快速地處理信息，把重要的信息在圖中標識出來，再清晰地找到坐標和距離之間的關系之后，學生有時可以試著用未知數來表示點的坐標，再用點的坐標來表示線段的長度或者距離。當然這也需要學生能找出變量與不變量，自變量與因變量的關系。將已知條件和結論初步建立知識體系。其次這類問題經常涉及函數關系式，其中還會涉及一些幾何面積公式、相似、勾股定理等知識，解決這類問題不可忽視的還有數學模型。比如點P運動到哪個位置使三角形為等腰直角三角形，這時如果聯想到K字模型，這一定會對思路上有了深層次的理解。第三，一般這類一次函數與動點問題相結合的問題一般都要三到四問，這幾小問可能是遞進的關系，第二三問一般以最值問題和存在性問題形式出現。如果這幾問是并列的，那么第一問的解答思路延續到第二三問。

對于動點問題與一次函數相結合的問題，作為教師，也沒有找到固定的教法，只能說通過不斷研究與實踐中，找到一些普遍的規律與方法，有效地解決動點問題與一次函數相結合問題，在教學中總結以下幾個關鍵點：

從動點本身角度上：（1）讓學生充分理解題意，點與點相互牽制引起圖形的變化，有些點在特殊位置，這就是特殊關鍵點，通過特殊關鍵點理解運動過程。（2）找出動點個數，歸納出動點運動方向，運動速度以及運動距離。

從問題本身：（1）既然在一次函數大背景下必然含有常量與變量。自變量與因變量的關系引起位置變化。（2）在理解題意后，學會歸類信息，篩選關鍵有用信息，從而找到解決問題的突破點。（3）動中找靜，動靜互化，以動制動，是解決一次函數的關鍵方法，“靜”就是指不變的量，動中找靜就是在運動過程中找不變的量，動靜互化就是在整個變化過程中抽象出不變的時刻。用方程或函數等代數方法來表達變化過程。

一次函數的動點問題可以說是解析幾何的開端，為今后反比例函數，二次函數與動點問題結合奠定了方法基礎，關于初中數學中動點問題還需要長久研究下去。

參考文獻：

[1]汪元清.淺談初中數學動點問題[J].新課程學習，2015（4）.

[2]王祝榮.2013年中考客觀題中動點函數圖像問題賞析[J].數學學習，2014（03）.

作者簡介：

徐臻，江蘇省常州市，江蘇省常州市新北實驗中學。