基于蒙特卡洛法的井壁穩定可靠度隨機變量敏感性分析

勝亞楠 管志川 羅鳴 李文拓 巨然

1.中國石油大學（華東）石油工程學院；2.中海石油（中國）有限公司湛江分公司

油氣井工程是一項隱蔽的地下工程，存在著大量的隨機性、模糊性和不確定性，是一項高風險作業，其中，井壁穩定性失效是鉆井工程中主要的復雜情況與事故之一［1-3］。地層坍塌及破裂壓力是保持井壁穩定的安全鉆井液密度窗口的上下限，由于地質環境的復雜性，測井及地震解釋資料的不完備性以及分析模型的區域適用性等，都會導致地層坍塌及破裂壓力計算結果存在著不確定性［4-5］，基于不確定性的預測結果進行鉆井設計，會導致不可預知的風險。在實際井壁穩定性分析中，對于已鉆井來說，可以通過各種測井資料，具備條件時還可以利用巖心室內實驗數據，獲取計算模型中所需要的各種巖石力學參數和地應力結果；對于新井而言，如果是開發井，由于具有了較多相同或者相似構造、區塊上的鄰井，雖然本井的各項巖石參數無法獲取，但是可以根據多口鄰井的測井及巖心實驗數據來估計［6］；如果是探井，由于可參考的鄰井資料較少甚至缺乏，那么對于新井坍塌及破裂壓力的預測就存有較大的不確定性。因此，對坍塌及破裂壓力的計算模型進行不確定性方面的分析，獲取計算模型中最為敏感的因素，從而有助于通過一定的方法和手段提高敏感因素的準確程度，而對于那些不敏感因素，則可以根據井眼或者已鉆井的統計數據估計其范圍，最終減少坍塌及破裂壓力預測結果的不確定范圍，提高井壁穩定可靠度。

1 井壁穩定性可靠度隨機變量敏感性分析

1.1 蒙特卡洛模擬

本文基于Monte-Carlo隨機模擬方法進行井壁穩定性可靠度隨機變量敏感性分析。Monte-Carlo方法是求解工程技術問題近似解的數值計算方法［7-9］，以統計抽樣理論為基礎，利用隨機數進行抽樣實驗或隨機模擬，通過對有關的隨機變量進行統計，以求得統計特征值作為待解問題的數值解。具體求解步驟如下：

（1）結合地質力學參數的概率分布，運用蒙特卡洛模擬方法，將模擬次數設定為4 000，生成4 000個符合地質力學參數概率分布特征的隨機數，并代入地層坍塌壓力和地層破裂壓力計算模型中，得到4000個計算結果；

（2）統計分析計算結果，并基于正態信息擴散原理，分別得到不同地質力學參數概率分布下的坍塌壓力和破裂壓力的概率分布，得到其均值、方差及變異系數；

（3）通過對比分析不同地質力學參數概率分布下得到的坍塌壓力和破裂壓力概率分布的變異系數，討論井壁穩定性可靠度隨機變量的敏感性。

1.2 井壁穩定分析模型

處于地層深處的巖石受上覆地層壓力、水平方向地應力及地層孔隙壓力的作用，鉆開井眼之前，地下巖石處于應力平衡狀態；井眼鉆開以后，井內鉆井液液柱壓力取代了所鉆巖層原先對井壁的支撐作用，破壞了地層的原有應力平衡，引起井眼周圍應力重新分布，導致井壁不穩定。井壁失穩主要有2種表現形式［10］：井壁的剪切坍塌（井壁坍塌）和井壁的張性破裂（井漏）。從力學的角度分析，造成井壁坍塌的主要原因是由于井內液柱壓力太低，使得井壁周圍巖石所受應力超過巖石本身的強度而產生剪切破壞。井漏是一種在鉆井過程中鉆井液或其他工作流體漏失到地層中的現象。當井筒內鉆井液液柱壓力較小時，井壁周圍巖石所受到的周向應力為壓應力，隨著井筒內鉆井液液柱壓力的增大，井壁周圍巖石周向應力變小，當鉆井液液柱壓力增至一定程度，巖石周向應力將變為負值，也就是巖石所受到的周向應力由壓縮變為拉伸，當這種拉伸大到足以克服巖石的抗拉強度時，地層即產生破裂造成井漏。

目前較為常用的地層坍塌壓力計算模型假定地層滲透率非常小，且鉆井液性能優良，基本上與地層不發生滲透流動，根據Mohr-Coulomb強度準則，其坍塌壓力計算公式為［11］

式中，ρc為坍塌壓力，用當量鉆井液密度表示，g/cm3；H為 井 深，m；K=cot（45°-?/2），?為 巖 石 內 摩 擦角，°；C為巖石的黏聚力，MPa；ρp為地層孔隙壓力，用當量鉆井液密度表示，g/cm3；σH為最大水平主應力，用當量鉆井液密度表示，g/cm3；σh為最小水平主應力，用當量鉆井液密度表示，g/cm3；η為應力非線性修正系數，無量綱，文中取0.95；α為有效應力系數，無量綱，文中取0.8。

Mohr-Coulomb強度準則沒有考慮中間主應力的影響，在工程上一般采用Drucker-Prager強度準則，則坍塌壓力的計算公式還可以表達為

地層破裂壓力是由于井內鉆井液密度過大使井壁巖石所受的周向應力超過巖石的拉伸強度而造成的。目前較為常用的地層破裂壓力計算公式為［12］

式中，ρf為地層破裂壓力，用當量鉆井液密度表示，g/cm3；St為巖石抗拉強度，MPa。

通過分析，將井壁穩定性計算模型中的參數劃分為3類：井眼軌跡參數、原始地應力和巖石力學參數。其中，井眼軌跡可以根據鉆井設計或者MWD數據準確獲得；原始地應力和巖石力學參數，通常是根據測井或地震解釋資料，通過間接數學模型計算獲得，因此存在大量的不確定性，這些地質力學參數也是進行敏感性分析的重點考慮的參數。根據井壁穩定性計算公式可知，需要進行敏感性分析的參數有：地層孔隙壓力、最大水平主應力、最小水平主應力、垂直向力、巖石內摩擦角、巖石內聚力和巖石抗拉強度。

地質力學參數的概率分布特征參數見表1。

表1 計算模型各參數分布形式及分布參數Table 1 Distribμtion pattern of each parameter in the compμtation model and distribμtion parameters

根據表中各參數設定的概率分布，基于蒙特卡洛模擬，隨機生成4 000個符合概率分布特征的隨機數，代入公式（1）～（3）計算地層坍塌壓力及破裂壓力。為考慮不同地應力場下參數的敏感性，表1分別對應3種不同原始地應力場情況，即：垂向應力為最大主應力（σv＞σH＞σh）、垂向應力為中間主應力（σH＞σv＞σh）和垂向應力為最小主應力（σH＞σh＞σv）。其中，井深為 1 000 m。

2 結果分析與討論

通過蒙特卡洛模擬，分別得到不同地質力學參數概率分布下的坍塌壓力和破裂壓力的概率分布，得到其均值、標準差及變異系數，結果如表2所示。變異系數越大，表示該地質力學參數對破裂或坍塌壓力計算結果的影響越大。

2.1 不同應力場條件下的敏感性

不同地應力場條件下地質力學參數對坍塌和破裂壓力影響的敏感性分析結果如圖1所示。

2.1.1 垂向應力為最大主應力 從圖1可以看出，不同地質力學參數對地層破裂壓力（FMW）影響敏感性依次為：最小水平地應力＞最大水平地應力＞孔隙壓力＞巖石抗拉強度；不同地質力學參數對基于 Drucker-Prager準則的坍塌壓力（CMW（D-P））影響敏感性依次為：孔隙壓力＞內摩擦角＞內聚力＞垂直主應力＞最大水平地應力＞最小水平地應力；不同地質力學參數對基于Mohr-Coulomb準則的坍塌壓力（CMW（M-C））影響敏感性依次為：最大水平地應力＞孔隙壓力＞內聚力＞內摩擦角＞最小水平地應力。

表2 不同地質力學參數概率分布下的坍塌和破裂壓力概率分布結果Table 2 Probabilistic distribution results of collapse and fracture pressures for the probabilistic distribution of different geomechanical parameters

圖1 不同地應力場條件下基于不同地質力學參數得到的坍塌和破裂壓力計算結果的變異系數Fig.1 Variation coefficient of collapse and fracture pressures calculated based on different geomechanical parameters in different ground stress fields

2.1.2 垂向應力為最小主應力 從圖1中可以看出，不同地質力學參數對地層破裂壓力（FMW）影響敏感性依次為：最小水平地應力＞最大水平地應力＞孔隙壓力＞巖石抗拉強度；不同地質力學參數對基于 Drucker-Prager準則的坍塌壓力（CMW（D-P））影響敏感性依次為：內摩擦角＞孔隙壓力＞垂直主應力＞最大水平地應力＞內聚力＞最小水平地應力；不同地質力學參數對基于Mohr-Coulomb準則的坍塌壓力（CMW（M-C））影響敏感性依次為：最大水平地應力＞內摩擦角＞孔隙壓力＞內聚力＞最小水平地應力。

2.1.3 垂向應力為中間主應力 從圖1中可以看出，不同地質力學參數對地層破裂壓力（FMW）影響敏感性依次為：最小水平地應力＞最大水平地應力＞孔隙壓力＞巖石抗拉強度；不同地質力學參數對基于 Drucker-Prager準則的坍塌壓力（CMW（D-P））影響敏感性依次為：內摩擦角＞孔隙壓力＞垂直主應力＞最大水平地應力＞內聚力＞最小水平地應力；不同地質力學參數對基于Mohr-Coulomb準則的坍塌壓力（CMW（M-C））影響敏感性依次為：最大水平地應力＞內摩擦角＞孔隙壓力＞內聚力＞最小水平地應力。

2.2 不同破壞準則下的敏感性

不同破壞準則下地質力學參數對坍塌和破裂壓力影響的敏感性分析結果如圖2所示。

圖2 不同破壞準則下基于不同地質力學參數得到的坍塌和破裂壓力計算結果的變異系數Fig.2 Variation coefficient of collapse and fracture pressures calculated based on different geomechanical parameters under different failure criteria

2.2.1 基于Mohr-Coulomb準則的坍塌壓力（CMW（M-C）） 從圖2中可以看出，垂向應力為最大主應力應力場下（σv＞σH＞σh），不同地質力學參數對基于Mohr-Coulomb準則的坍塌壓力（CMW（M-C））影響因素敏感性：最大水平地應力＞孔隙壓力＞內聚力＞內摩擦角＞最小水平地應力；垂向應力為中間主應力應力場（σH＞σv＞σh）下，影響因素敏感性：最大水平地應力＞內摩擦角＞孔隙壓力＞內聚力＞最小水平地應力；垂向應力為最小主應力應力場（σH＞σh＞σv）下，影響因素敏感性：最大水平地應力＞內摩擦角＞孔隙壓力＞內聚力＞最小水平地應力。

2.2.2 基于Drucker-Prager準則的坍塌壓力（CMW（D-P）） 從圖2中可以看出，垂向應力為最大主應力應力場下（σv＞σH＞σh），不同地質力學參數對基于Drucker-Prager準則的坍塌壓力（CMW（D-P））影響因素敏感性：孔隙壓力＞內摩擦角＞內聚力＞垂直主應力＞最大水平地應力＞最小水平地應力；垂向應力為中間主應力應力場（σH＞σv＞σh）下，影響因素敏感性：內摩擦角＞孔隙壓力＞垂直主應力＞最大水平地應力＞內聚力＞最小水平地應力；垂向應力為最小主應力應力場（σH＞σh＞σv）下，影響因素敏感性：內摩擦角＞孔隙壓力＞垂直主應力＞最大水平地應力＞內聚力＞最小水平地應力。

2.2.3 地層破裂壓力（FWM） 從圖2中可以看出，垂向應力為最大主應力應力場下（σv＞σH＞σh），不同地質力學參數對地層破裂壓力（FMW）影響因素敏感性：最小水平地應力＞最大水平地應力＞孔隙壓力＞巖石抗拉強度；垂向應力為中間主應力應力場（σH＞σv＞σh）下，影響因素敏感性：最小水平地應力＞最大水平地應力＞孔隙壓力＞巖石抗拉強度；垂向應力為最小主應力應力場（σH＞σh＞σv）下，影響因素敏感性：最小水平地應力＞最大水平地應力＞孔隙壓力＞巖石抗拉強度。

3 結論與建議

（1）基于蒙特卡洛模擬分析了與井壁穩定可靠度相關的隨機變量的敏感性。進行敏感性分析的參數包括：地層孔隙壓力、最大水平主應力、最小水平主應力、垂直向力、巖石內摩擦角、巖石內聚力、和巖石抗拉強度。同時，不同應力場以及不同破壞準則情況下參數的敏感性在本文中也被討論。

（2）基于Mohr-Coulomb準則的坍塌壓力（CMW（M-C））：無論處于哪種地應力場，最為敏感的影響因素都是最大水平地應力；基于Drucker-Prager準則的坍塌壓力（CMW（D-P））：當向應力為最大主應力時，最為敏感的影響因素是孔隙壓力；垂向應力為中間主應力時，最為敏感的影響因素是內摩擦角；垂向應力為最小主應力時，最為敏感的影響因素是內摩擦角。地層破裂壓力（FMW）：無論處于哪種地應力場，最為敏感的影響因素均為最小水平地應力。

（3）通過研究獲取了不同應力場和破壞準則下井壁穩定性計算模型中最為敏感的因素，從而有助通過采取一定的措施提高敏感因素的準確程度，而對于那些不敏感因素，則可以根據井眼或者已鉆井的統計數據估計其范圍，最終減少坍塌及破裂壓力預測結果的不確定性，提高井壁穩定的可靠度。

參考文獻：

［1］陳庭根，管志川.鉆井工程理論與技術［M］.東營：石油大學出版社，2000：51-54.CHEN Tinggen, GUAN Zhichuan.Theory and technology of drilling engineering ［M］.Dongying: Petroleum University Press, 2000: 51-54.

［2］蔣希文.鉆井事故與復雜問題［M］.第2版.北京：石油工業出版社，2006：72-80.JIANG Xiwen.Drilling accidents and complex problems［M］.2nd Edition.Beijing: Petroleum Industry Press,2006: 72-80.

［3］OTTESEN S, ZHENG R H, MCCANN R C.Borehole stability assessment using quantitative risk analysis［R］.SPE 52864, 1999.

［4］柯珂，管志川，周行.深水探井鉆前含可信度的地層孔隙壓力確立方法［J］.中國石油大學學報（自然科學版），2009，33（5）：61-67.KE Ke, GUAN Zhichuan, ZHOU Hang.An approach to determining pre-drilling formation pore pressure with credibility for deep-water exploration well ［J］.Journal of China University of Petroleum （Natural Science Edition）, 2009, 33（5）: 61-67.

［5］MOSTAFAVI V, AADNOY B S, HARELAND G.Model based uncertainty assessment of wellbore stability analyses and downhole pressure estimations ［R］.American Rock Mechanics Association, 2011.

［6］黃榮樽，莊錦江.一種新的地層破裂壓力預測方法［J］.石油鉆采工藝，1986，10（3）：1-14.HUANG Rongzun, ZHUANG Jinjiang.A new method for predicting formation fracture pressure ［J］.Oil Drilling& Production Technology, 1986, 10（3）: 1-14.

［7］宮鳳強，侯尚騫，巖小明.基于正態信息擴散原理的Mohr-Coulomb強度準則參數概率模型推斷方法［J］.巖石力學與工程學報，2013，13（11）：2225-2234.GONG Fengqiang, HOU Shangqian, YAN Xiaoming.Probability model deduction method of Mohr-Coulomb criteria parameters based on normal information diffusion principle ［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2013, 13（11）: 2225-2234.

［8］LI G, BAI M.Parametric sensitivity investigation: analysis of wellbore stability ［R］.International Society for Rock Mechanics and Rock Enginecring, 2011.

［9］UDEGBUNAM J E, AADNOY B S, FJELDE K K.Uncertainty evaluation of wellbore stability model predictions ［J］.Journal of Petroleum Science &Engineering, 2014, 24（5）: 254-263.

［10］PAYTEN W, LAW M.Estimating the plastic collapse of pressure vessels using plasticity contours ［J］.International Journal of Pressure Vessels & Piping, 1998,75（7）: 529-536.

［11］陳勉，金衍，張廣清.石油工程巖石力學［M］.北京：科學出版社，2008：45-53.CHEN Mian, JIN Yan, ZHANG Guangqing.Rock mechanics in petroleum engineering ［M］.Beijing:Science Press, 2008: 45-53.

［12］葛洪魁，王愛國.修正Holbrook地層破裂壓力預測模型［J］.石油鉆探技術，2001，29（3）：20-22.GE Hongkui, WANG Aiguo.Modification of Holbrook’s fracture pressure prediction model ［J］.Petroleum Drilling Technology, 2001, 29（3）: 20-22.