基于導波速度的無縫鋼軌應力檢測方法

王　嶸，余祖俊，朱力強，許西寧

(1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京　100044；2.北京交通大學 載運工具先進制造與測控技術教育部重點實驗室，北京　100044)

因為消除了軌縫，無縫鋼軌在長度方向上不能自由伸縮。當鋼軌溫度發生變化時，其內部會產生巨大的溫度應力，嚴重時會導致脹軌、跑道及斷軌等事故的發生，直接威脅行車安全。所以，在線監測無縫鋼軌內部縱向溫度應力，在應力超過安全門限前及時預警，對于保證軌道結構性能及列車運行安全有著重要意義。現有成熟的鋼軌溫度應力在線監測技術主要利用應變法，在初始應力或鎖定軌溫已知的條件下，可以計算出縱向應力的絕對值。由于鎖定軌溫在鋼軌長期服役過程中是經常發生變化的，這種方法并不可靠。雖然可以利用橫向加力法[1]等其他離線手段定期測量鎖定軌溫，但需要在天窗時間、且滿足一定條件下解除一定長度的扣件約束才能進行，比較繁瑣。為此，目前國內外都在研究能夠準確監測鋼軌溫度應力絕對值的新方法。

相比于巴克豪森法、X射線法、超聲體波法等檢測鋼軌殘余應力的方法，由于超聲導波在鋼軌中傳播時可以覆蓋鋼軌的全部橫截面，受鋼軌表面的殘余應力影響較小，超聲導波法更能準確檢測出鋼軌的縱向溫度應力。與超聲體波法類似，超聲導波法也是基于聲彈性原理，即當波導體應力發生變化時，超聲導波傳播的速度會發生微小變化。例如，Chen[2]針對桿和平板的研究發現，隨著應力增大，導波的相速度增大，群速度減少，通過測量群速度或相速度即可對應力進行檢測。

在實際應用中，群速度的檢測設備相對簡單、換能器體積小，因此目前對應力在線監測技術研究主要通過測量群速度實現。劉增華[3]獲得了鋼絞線低頻率段模態的群速度與拉應力標定曲線，通過測定鋼絞線中該模態的群速度計算出鋼絞線承載應力值。對于鋼軌這類具有復雜截面的波導體，存在較多可以傳播的模態，因而容易發生多模態混疊現象，導致群速度測量不準確。例如，許西寧[4]選取了一種對應力敏感的35 kHz導波模態，獲得了該模態在不同應力下的群速度標定曲線，通過測定鋼軌中該導波的群速度計算出鋼軌溫度應力值。然而由于35 kHz鋼軌導波模態過多，目前能夠實現的群速度檢測精度仍無法滿足實際需求。

目前導波相速度的測量大多用于辨識導波模態，例如Alleyne[5]采用二維傅里葉變換處理信號，將模態分離并計算各模態相速度，通過理論計算與試驗結果對比，辨識模態的類型。由于相速度檢測需要利用相控陣技術，設備相對復雜，換能器體積也較大，目前在應力檢測、監測領域的研究較少。另一方面，應力檢測對相速度測量精度的要求遠遠高于模態識別對相速度測量精度的要求，而利用二維傅里葉變換等現有方法的相速度測量精度受到換能器陣列單元數量的限制，也無法滿足實際需求。

迄今為止，基于導波的鋼軌縱向溫度應力檢測技術仍然處于實驗室研究階段，將其應用到實際工程中還需要解決導波模態選取、目標模態激勵和特征參數計算等一系列關鍵問題。為此，本文借助半解析有限元法，進行基于超聲導波群速度和相速度的鋼軌應力檢測方法研究。

1　基于導波的鋼軌應力檢測原理

由聲彈性原理可知，導波在波導體中傳播的速度會受到傳播路徑上波導體應力狀態的影響而發生變化。因此，可以通過測量導波在鋼軌內部的傳播速度，依據鋼軌的應力—導波傳播速度標定曲線，間接檢測鋼軌的應力。

鋼軌中的導波具有多模態和頻散特性，分析各個導波模態的傳播特性、選取目標模態并設計其速度測量方法是研究基于導波的鋼軌應力檢測技術的基礎。導波在波導體中的傳播特性一般用頻散曲線c-f進行描述，其中f為導波信號的頻率，c為導波相速度cp或群速度cg。對于鋼軌這類具有復雜不規則截面的波導體，頻散曲線無法通過解析式描述，但可借助仿真方法獲得數值解，如半解析有限元法[6-8]。這里以我國高速鐵路廣泛使用的60 kg·m-1鋼軌(CHN60)為例[9]，定義其橫截面為y-z平面，導波沿鋼軌縱向傳播方向為x方向，采用三角形單元對橫截面進行有限元離散，如圖1所示。

在半解析有限元建模中，鋼軌橫截面上每個離散節點在x方向的振動被假設為簡諧振動，因此無限長三維鋼軌模型可以簡化為二維模型。對于任意導波頻率f，可以通過求解半解析有限元模型的特征方程得到一組關于波數ξ的解，其中每一個實數解對應一個可在鋼軌中傳播的導波模態。根據f及ξ，可以進一步獲得此導波模態的理論相速度和群速度。圖2給出了零應力狀態下CHN60鋼軌的導波理論相速度和群速度頻散曲線，其中，鋼軌彈性模量為E=210 GPa，泊松比為ν=0.3，密度ρ=7 800 kg·m-3。由圖2可以看出：在低頻段，鋼軌中主要存在4個導波模態，隨著頻率的增大，在鋼軌中傳播的導波模態的數量也越來越多；鋼軌中的導波具有頻散特性，即對于1個導波模態，頻率變化時，導波的速度也發生變化，這將造成含有多個頻率成分的波形在傳播過程中會不斷發生變化。鋼軌導波的多模態與頻散特性容易引起模態混疊、波形畸變等現象的發生，是制約相速度或群速度測量精度的重要因素。

圖1　CHN60鋼軌半解析有限元模型示意圖

圖2　零應力狀態下CHN60鋼軌頻散曲線

當鋼軌受到拉應力或壓應力時，導波的傳播速度將發生改變。圖3給出了0～1 kHz頻率范圍內， CHN60鋼軌在零應力和100 MPa拉應力作用下導波的相速度和群速度頻散曲線。由圖3中的局部放大曲線可以看出，鋼軌在受到100 MPa拉應力時，相速度和群速度都發生了微小變化。

圖3　零應力和100 MPa拉應力作用下的頻散曲線

表1給出了200 Hz導波在零應力和100 MPa拉應力作用的鋼軌中傳播的相速度和群速度變化對比。由表1可以看出，模態1速度變化率最大，說明在4個模態中模態1對應力最敏感，理論上應該選取此模態檢測應力。但在工程應用中，由于受到換能器安裝位置、可靠性、經濟性等因素的限制，還需要綜合考慮此模態是否便于激勵和接收、是否容易受到其他模態干擾。

表1　200 Hz導波在零應力和100 MPa拉應力作用下的鋼軌中傳播的相速度和群速度對比

2　鋼軌導波群速度與相速度測量方法

2.1　群速度

群速度的測量最少需要3個換能器，其中1個用于激勵，2個用于接收。激勵信號為包含若干周期的單一頻率正弦信號，激勵出的導波信號以波包的形式在鋼軌中傳播，接收信號通常包含多種頻率成分。群速度定義為多頻率合成波包的波峰的傳播速度，因此群速度也可認為是能量和信息傳播的速度。為便于群速度的測量，激勵信號通常經過漢寧窗調制，接收信號經過希爾伯特變換后可求解波包峰值時刻，利用時差法即可求解群速度[10-11]。

假設u(t)為采集到的單一導波模態的振動波形，h(t)為u(t)的希爾伯特變換，則解析信號a(t)為

a(t)=u(t)+jh(t)

(1)

a(t)的包絡線e(t)為

(2)

由包絡線幅值的最大值e(t)max可以推出波峰到達的時刻t。利用上述方法可以分別求解2個接收換能器輸出信號的波包峰值時刻t1和t2，如圖4所示。如果已知2個接收換能器的位置x1和x2，可以求解相應模態的群速度為

(3)

圖4　位置x1和位置x2的時域波形及包絡線

需要指出的是，如果在鋼軌中激勵出的導波模態數量超過1個，則波包可能含有多個模態成分，上述群速度的計算方法將失效。當然，如果這些模態的群速度相差較大、波包又較短，則可通過合理調整激勵與接收換能器的間距，使得在接收位置不同模態的波包發生分離，形成多個具有單一模態的波包。此時，針對每個波包對即可計算出對應模態的群速度。由于導波信號受到頻散、衰減以及溫度和應力變化等因素影響，保持具有足夠信噪比的單一模態波包在鋼軌中難以穩定控制，通常只對群速度最快的模態存在測量的可能性。因此，在應用中更為可行的方式是選取合適的激勵接收位置和振動方向，使得目標模態在此位置的振動幅值遠大于其他模態，接收到的波包可近似看做單一模態。此時，群速度的測量精度將在很大程度上取決于目標模態與干擾模態的幅值比。通常來講，導波頻率越低，測量群速度所需的單一模態條件越容易滿足，測量精度也越高。但同時，頻率越低，導波激勵換能器體積越大，越不適合在鋼軌上進行在線監測。

2.2　相速度

相速度的測量至少需要1個激勵換能器和1個陣列式接收換能器，激勵信號為連續正弦波激勵。設在沿鋼軌縱向的x方向采用陣列換能器采集的位移信號u(x,t)為

(4)

式中：uij(i=1, 2, …,n;j=1, 2, …,m)為采集點xj在時刻ti的位移幅值；n為時間采樣點數；m為空間采樣點數。

對u(x,t)進行二維傅里葉變換[5]，可得

(5)

式中：ω為角頻率，ω=2πf，ξ=ω/cp。

通過分析H(ξ,f)，可以辨識存在的導波模態，并求解相應模態的相速度，常規的處理方法如下。首先，尋找激勵中心頻率f附近的幅值等高線的峰值點集，如圖5所示的A，B，C，D，E。將峰值點的位置進行一次線性最小二乘法擬合，得到ξ=af+b，其中，a和b為擬合系數。將激勵中心頻率f代入式中計算出該頻率下的波數ξ，利用公式cp=ω/ξ即可求出此模態的相速度。

圖5　頻率—波數峰值點位置示意圖

圖6　頻率—波數加權點位置示意圖

(6)

(7)

如此得到了頻率—波數圖上2個估計點sⅠ(fⅠ，ξⅠ)和sⅡ(fⅡ，ξⅡ)。當需要估計任意頻率f處的ξ*時，可利用如下線性關系式。

(8)

2.3　任意目標模態的速度測量

在測量任意模態的群速度或相速度時，為了避免其他模態的干擾，激勵與接收位置應該設置在目標模態與其他模態的振型位移相差較大的區域。例如，當激勵信號頻率為200 Hz時，鋼軌中存在4種導波模態，其振型如圖7所示，其中模態1為橫向彎曲模態，模態2為垂直彎曲模態，模態3為扭轉模態，模態4為伸展模態。如果在軌腰處施加垂直于鋼軌表面橫向(y方向)激勵，因為模態2和4在此位置的y方向振幅為零，所以只能激勵出模態1和模態3。對于激勵出的模態1和模態3，在軌腰的x方向上，模態1的振幅遠大于模態3，因此如果采用極化方向為x方向的壓電換能器在此區域進行接收，則模態3的影響可以忽略。

圖7　200 Hz下的4種鋼軌導波模態

由此可見，如果選取模態1作為應力檢測的目標模態，可以在軌腰處(如圖1的56號節點)垂直于鋼軌表面進行激勵，運用極化方向為鋼軌縱向的陣列式換能器同步采集軌腰處的位移信號，則采集到的信號主要來自于模態1。采用二維傅立葉變換對采集的信號進行處理，結果如圖8所示。可以發現這里只接收到一個模態，其波峰位置的波數為3.142 m-1，頻率為199.219 Hz，對應的相速度為398.440 m·s-1，對照圖2中相速度的理論頻散曲線，確認此模態為模態1(模態1的理論相速度為400.518 m·s-1)。采用本文提出的二次加權算法，可計算出此模態的相速度測量值約為400.922 m·s-1，與理論值相差0.404 m·s-1。另外，利用相同的激勵方法，通過時差法可求得群速度約為755.331 m·s-1，與模態1群速度的理論值757.291 m·s-1相差1.960 m·s-1。類似地，在軌腰施加沿鋼軌縱向激勵，將主要激勵出模態4，但最終的測量精度劣于模態1的結果。

圖8　零應力下200 Hz導波模態1的2D-FFT結果

3　基于導波波速的應力檢測精度

由以上的討論可以發現，導波頻率、激勵與接收方式、檢測參數(相速度或群速度)等的選取對鋼軌應力檢測精度都有影響。為了系統地分析這些因素對鋼軌溫度應力檢測的影響規律，選取200 Hz，2 kHz和20 kHz低、中、高3個典型頻率進行仿真研究。在每個頻率，針對相速度或者群速度，首先挑選對應力最為敏感的模態，然后通過模態的振型分析，確定每個模態的最佳激勵與接收位置、方式。最后利用半解析有限元仿真獲取不同應力條件下導波接收信號，計算珊速度或相速度及其應力標定曲線，并測試應力檢測精度。

3.1　基于200 Hz導波的應力檢測精度

由表1可以發現，200 Hz下4個模態中群速度與相速度變化率最大、即對應力最為敏感的是模態1，其波長約為2 m。通過振型分析，選擇在軌腰56號節點施加y方向的激勵，激勵信號設置成以200 Hz為中心頻率、漢寧窗調制的5個周期正弦波，56號節點x方向設置信號接收點。從距離激勵位置100 m處開始，每間隔0.5 m設置1個數據采集點，共有138個同步采集點。每個采集點的采樣頻率為8 kHz，采樣點數為4 096個。為了獲取應力—速度標定曲線，一共設置了21種應力狀態，在-100～100 MPa，每間隔10 MPa為1個狀態點。對于相速度測量，在每種應力狀態下，由138個采集點中依次抽取128個點構成1次陣列測量數據，如此可構成11組測量結果；對于群速度測量，由138個采集點中依次抽取2個點構成1組測量數據，如此可構成137組測量結果。將0，±20，±40，±60，±80和±100 MPa記為第1組應力狀態，將±10，±30，±50，±70和±90 MPa記為第2組應力狀態。第1組應力狀態下求解的相速度和群速度結果將作為速度—應力標定曲線的訓練數據，第2組應力狀態及求解的相速度和群速度數據將作為檢驗應力檢測精度的測試數據。

圖9給出了激勵信號頻率為200 Hz下，利用第1組應力數據獲得的相速度與應力、群速度與應力的標定曲線。

圖9　200 Hz下速度—應力標定曲線

由圖9可以看出，隨著應力增加，模態1的相速度逐漸增大，群速度逐漸減小。

表2給出了2個標定曲線在第1組應力值下的標定精度，其中，基于相速度的最小標定誤差在100 MPa處，標準差為0.099 MPa，最大標定誤差在20 MPa處，標準差為0.374 MPa；基于的群速度的最小標定誤差在80 MPa處，標準差為0.016 MPa，最大標定誤差在20 MPa處，標準差為0.057 MPa。利用上述標定曲線和第2組應力數據測試應力估計精度，基于相速度的應力估計標準差為0.767 MPa，基于群速度的應力估計標準差為0.219 MPa。

表2　200 Hz導波相速度、群速度估計應力的標定精度

3.2　基于2 kHz導波的應力檢測精度

表3給出了2 kHz導波在零應力和100 MPa拉應力作用的鋼軌中傳播的相速度和群速度變化對比。分析表3中相速度、群速度的變化率，可以發現：2 kHz下4個模態中相速度變化率最大的仍然是模態1，波長約為0.531 m；群速度變化率最大的是模態3，波長約為1.091 m。

表3　2 kHz導波在零應力和100 MPa拉應力作用下的鋼軌中傳播的相速度和群速度對比

按照選擇模態的方法，針對相速度測量的目標模態選取模態1，在軌腰56號節點施加以2 kHz為中心頻率漢寧窗調制的y方向正弦激勵信號，并在56號節點x方向設置信號接收點。針對群速度測量的目標模態選取模態3，在軌頂16號節點施加以2 kHz為中心頻率漢寧窗調制的z方向正弦激勵信號，并在16號節點x方向設置信號接收點。在59和16號節點，從鋼軌縱向30 m處開始，每間隔0.1 m設置一個數據采集點。圖10給出了二維傅立葉變換后模態1和模態3處理結果，可以發現，通過頻率和波數計算2個模態的相速度大約為1 062.5和1 593.75 m·s-1，與理論計算的模態速度相符。

為了獲得速度—應力標定曲線，與200 Hz情況一樣，共設置了21種應力狀態。圖11給出了在激勵信號頻率為2 kHz下，利用第1組應力數據獲得的相速度與應力、群速度與應力的標定曲線。可以看出，隨著應力增加，模態1的相速度逐漸增大，模態3的群速度單調遞增。

圖10　零應力下2 kHz導波模態1和模態3的2D-FFT結果

圖11　2 kHz下速度—應力標定曲線

表4給出了基于相速度、群速度估計應力的標定精度，其中基于相速度的最小標定誤差在-100 MPa處，標準差為0.095 MPa，最大標定誤差在80 MPa處，標準差為0.883 MPa；基于群速度的最小標定誤差在0 MPa處，標準差為0.084 MPa，最大標定誤差在40 MPa處，標準差為0.261 MPa。利用上述標定曲線和第2組應力數據測試應力估計精度，基于相速度的應力估計標準差為0.638 MPa，基于群速度的應力估計標準差為0.740 MPa。

表4　2 kHz導波相速度、群速度估計應力的標定精度

3.3　基于20 kHz導波的應力檢測精度

表5給出了2 kHz導波在零應力和100 MPa拉應力作用下的相速度和群速度變化對比。可以發現：20 kHz下共有13個模態，其中相速度變化率最大的是模態1，波長約為0.083 m；群速度變化率最大的是模態6，波長約為0.126 m。但分析模態1的振型可以發現，模態1不便于激勵，因此在應力檢測中由敏感度次之的模態3代替。

表5　20 kHz導波在零應力和100 MPa拉應力作用下的鋼軌中傳播的相速度和群速度對比

按照選擇模態的方法，針對相速度測量的目標模態選取模態3，在軌腰56號節點施加y方向的以20 kHz為中心頻率漢寧窗調制的正弦激勵信號，并在56號節點x方向設置信號接收點；針對群速度的測量目標模態選取模態6，在軌頂64號節點施加y方向的以20 kHz為中心頻率漢寧窗調制的正弦激勵信號，并在64號節點y方向設置信號接收點。在56和64號節點，從鋼軌縱向3 m處開始，每間隔0.02 m設置1個數據采集點。圖12給出了二維傅立葉變換后模態3和模態6處理結果。2個模態的相速度分別為2 040.000和2 549.991 m·s-1，與理論計算的模態速度相符。

圖12　零應力下20 kHz導波模態3與模態6的2D-FFT結果

為了獲得速度—應力標定曲線，與200 Hz和2 kHz情況一樣，共設置了21種應力狀態。圖13給出了在激勵信號頻率為20 kHz時，利用第1組應力數據獲得的相速度與應力、群速度與應力的標定曲線。

圖13　20 kHz下速度—應力標定曲線

由圖13可見，隨著應力增加，模態3相速度逐漸增大，模態6的群速度單調遞增。表6給出了相速度、群速度估計應力的標定精度，其中基于相速度的最小標定誤差在-80 MPa處，標準差為0.038 MPa，最大標定誤差在0 MPa處，標準差為0.832 MPa；基于群速度的最小標定誤差在80 MPa處，標準差為0.214 MPa，最大標定誤差在40 MPa處，標準差為0.535 MPa。利用上述標定曲線和第2組應力數據測試應力估計精度，基于相速度的應力估計標準差為0.012 MPa，基于群速度的應力估計標準差為3.430 MPa。

表6　2 kHz導波相速度、群速度估計應力的標定精度

3.4　不同檢測參數的應力檢測精度對比

從以上3個典型激勵頻率下的仿真結果可以看出，隨著導波頻率的增大，基于相速度的應力估計誤差基本保持不變，但是基于群速度的應力估計誤差逐漸增大，特別是到了20 kHz高頻區，應力估計誤差過大。目前，在現有基于導波的鋼軌應力檢測、監測技術研究中，20～60 kHz的導波信號由于在鋼軌中衰減率低而被廣泛使用，同時由于群速度檢測設備復雜度低、造價低、體積小，便于現場安裝使用，因此群速度測量已經成為鋼軌應力檢測的主要手段。然而，上述研究結果表明，基于高頻段導波的應力檢測應該以相速度，而不是群速度，作為檢測參數。

另外，雖然利用常規的峰值坐標擬合法可由二維傅里葉變換直接計算相速度，但與本文提出的二次加權修正的相速度相比，最終的應力估計誤差相差很大。表7給出了不同激勵頻率下，基于峰值坐標擬合相速度與基于二次加權修正相速度的應力估計誤差。由表7可見：二次加權修正相速度估計結果比峰值坐標擬合相速度的整體要好，且隨著頻率的增大，基于后者的應力估計誤差越來越大，這是由波數的分辨率不夠所導致的。例如在采用峰值坐標擬合法求取2 kHz下各個應力狀態相速度時，由于二維傅里葉變換分辨率的限制，提取出的20和40 MPa下的5個峰值坐標是一樣的，導致在不同應力條件下的相速度測量值一樣，產生很大的應力估計誤差。

圖14給出了在2 kHz為激勵頻率下，不同應力狀態下峰值坐標擬合相速度與二次加權修正相速度對比效果圖。可以看出，使用二次加權修正后的相速度計算值在不同的應力狀態下能夠均勻變化，有利于對應力進行辨識，減少估計誤差。

表7基于峰值坐標擬合法與基于二次加權修正法的應力估計誤差

頻率峰值坐標擬合法標準差/MPa二次加權修正法標準差/MPa200Hz1 6040 5922kHz11 0510 75120kHz42 6700 603

圖142 kHz不同應力狀態下峰值坐標擬合相速度與二次加權修正相速度對比

4　結　語

本文采用半解析有限元方法分析了鋼軌導波在縱向應力作用下的變化規律，提出了最優導波模態選取、激勵和接收方法。針對二維傅里葉變換分辨率受限的難題，提出了基于二次加權的相速度修正方法，解決了陣列換能器單元數量有限情況下的相速度高精度計算問題。基于論文提出的方法，利用仿真實驗數據證明了對于不同頻率段的導波信號，需要選擇不同類型的速度作為檢測參數來估計應力。在低頻段，相速度和群速度有著相似的檢測精度，考慮到群速度檢測設備結構簡單、造價低、體積小，便于現場安裝使用，應當選取群速度為特征量檢測應力。但隨著頻率的增加，導波模態的數量也明顯增加，群速度的計算誤差增大，而相速度計算受到的影響較小，應該選取相速度為特征量檢測應力。因此，如果在未來的應用中，選取低頻段作為導波激勵信號時，應該選取群速度為特征量檢測應力；如果選取20 kHz以上的超聲導波作為導波激勵信號，則應該選取相速度為特征量檢測應力。

需要指出的是，當超聲導波在實際鋼軌中傳播時，由于鋼軌材料的阻尼特性，導波信號的能量會隨著傳播距離的增加而逐漸減小，造成信噪比降低，進而影響相速度或群速度的測量精度。但由于在應力監測應用中，超聲導波發射與接收換能器距離較近，阻尼特性對信噪比影響較小，對兩者測量精度的影響差異更是可以忽略不計。因此，雖然本文在研究中未考慮鋼軌的阻尼特性，論文的整體結論并不受影響。

[1]張銘，蔣金洲. 無縫線路鋼軌縱向力及鎖定軌溫檢測系統(NTS)的試用[J].鐵道建筑,2010(8):110-114.

(ZHANG Ming,JIANG Jinzhou. Tryout of Inspection System (NTS-Neutral Temperature Detecting System) for Measuring Longitudinal Force of CWR(Continuous Welded Rail) and Rail Locked Temperature[J].Railway Engineering,2010(8):110-114. in Chinese)

[2]CHEN F,WILCOX P D. The Effect of Load on Guided Wave Propagation[J].Ultrasonics,2007,47(1):111-122.

[3]劉增華,劉溯,吳斌,等. 預應力鋼絞線中超聲導波聲彈性效應的試驗研究[J].機械工程學報,2010, 46(2):22-27.

(LIU Zenghua,LIU Su,WU Bin,et al. Experimental Research on Acoustoelastic Effect of Ultrasonic Guided Waves in Prestressing Steel Strand[J].Journal of Mechanical Engineering,2010, 46(2):22-27. in Chinese)

[4]許西寧,葉陽升,江成,等. 鋼軌應力檢測中超聲導波模態選取方法研究[J].儀器儀表學報, 2014(11):2473-2483.

(XU Xining,YE Yangsheng,JIANG Cheng,et al. Research on Method for Mode Selection of Guided Ultrasonic Waves in Stress Measurement of Rails[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2014(11):2473-2483. in Chinese)

[5]ALLEYNE D,CAWLEY P. A Two-Dimensional Fourier Transform Method for the Measurement of Propagating Multimode Signals[J].The Journal of the Acoustical Society of America, 1991,89(3):1159-1168.

[6]HAYASHI T,SONG W J,ROSE J L. Guided Wave Dispersion Curves for a Bar with an Arbitrary Cross-Section, a Rod and Rail Example[J].Ultrasonics,2003, 41(3):175-183.

[7]BARTOLI I, MARZANI A, SCALEA F L D,et al. Modeling Wave Propagation in Damped Waveguides of Arbitrary Cross-Section[J].Journal of Sound & Vibration, 2006,295(3):685-707.

[8]胡劍虹,唐志峰,蔣金洲,等. 基于SAFE方法的鋼軌梳狀傳感器激勵特定模態導波研究[J].中國鐵道科學, 2017,38(1):37-42.

(HU Jianhong, TANG Zhifeng, JIANG Jinzhou,et al. Research on Excitation of a Particular Mode Guided Wave in Rail by Comb Transducer Based on SAFE Method[J].China Railway Science,2017, 38(1):37-42. in Chinese)

[9]許西寧. 基于超聲導波的無縫線路鋼軌應力在線監測技術應用基礎研究[D].北京：北京交通大學,2014.

(XU Xining. The Basic Research on on-Line Monitoring of Stress in Continuously Welded Rails Based on Ultrasonic Guided Waves[D].Beijing: Beijing Jiaotong University,2014. in Chinese)

[10]ROSE J L. Ultrasonic Guided Waves in Solid Media[M].New York:Cambridge University Press, 2014:461-464.

[11]姚京川,楊宜謙,王瀾. 基于Hilbert-Huang變換的橋梁損傷預警[J].中國鐵道科學,2010,31(4):46-52.

(YAO Jingchuan, YANG Yiqian, WANG Lan. The Damage Alarming Method for Bridge Based on Hilbert-Huang Transform[J].China Railway Science,2010, 31(4):46-52. in Chinese)