基于描述函數法的滾動通道自持振蕩研究*

廖幻年，金一歡，彭繼平，劉 露，田 野

(上海航天控制技術研究所·上海·200233)

0 引 言

舵機作為飛行控制系統的執行機構，其功能是根據控制系統給出的舵指令，控制舵機轉動，產生相應的操縱力矩，從而控制導彈進行機動飛行。舵機的工作特性直接影響飛行控制品質。工程師根據飛行控制要求，給舵系統提出頻率特性、最大舵偏角、最大舵偏角速度等性能指標。實際上，舵系統受設計、生產、加工等多個環節的影響，存在非線性環節，如死區、飽和、間隙等。這些非線性特性常導致飛控系統產生穩態誤差和極限環振蕩，特別是當滾動通道舵效率過大導致控制精度較低時，非線性特性帶來的極限環振蕩較為明顯，甚至影響飛控系統的穩定性[1-7]。

針對舵系統非線性帶來的極限環振蕩，基本都是從舵系統本身層面展開分析，例如多名學者提出了將非線性補償的概念應用于舵系統控制器設計，實現非線性補償[8-9]，然而非線性補償的方法工程應用較為困難。本文從飛行控制系統的層面，針對舵系統非線性，應用描述函數法，對飛控系統滾動通道極限環振蕩特性進行了研究，并給出了相關結論。

1 滾動通道數學模型

飛行器滾動通道小擾動線性方程為[10]

式中，Jx為飛行器沿縱軸的轉動慣量;δx為副翼的偏轉角。

滾動通道采用傳統的PD線性控制方法，得到滾動通道控制系統結構圖如圖1所示，圖中舵系統由線性部分Gw(s)和非線性部分f組成。

圖1 滾動通道控制系統結構圖Fig.1 Structure diagram of the roll channel control system

2 舵機非線性的描述函數分析法

舵機模型由一個典型二階線性系統和非線性系統組成，假設舵機的線性部分等效二階模型為

其中，ωn=80rad/s，ξ=0.7，剪切頻率為13 Hz。

舵機的非線性包括死區、飽和、間隙和摩擦等，工程實踐發現舵機的間隙是滾動通道發生極限環振蕩的主要原因，本文就間隙進行具體分析。

描述函數法是分析非線性系統的基本方法[11]，其基本思想是:當系統滿足一定的假設條件時，系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環節的近似等效頻率特性，即描述函數。用描述函數法研究非線性系統時，需要被研究系統滿足以下假設條件:1)只有一個非線性環節;2)非線性環節時不變;3)非線性環節N對應于正弦輸入，只考慮輸出的激波分量;4)非線性特性關于原點對稱。分析可知舵系統的間隙環節滿足以上4個假設。

以下利用描述函數法對間隙特性進行具體分析。間隙特性的數學描述如下所示:

間隙特性的描述函數為

其中，A是描述函數的變量，滿足:

將圖1所示的滾動通道控制系統結構圖改寫成如圖2所示的非線性控制系統方框圖。

則圖中的滾動通道開環傳遞函數為

則根據描述函數理論，非線性系統產生極限環的振蕩條件為

圖2 描述函數法中滾動通道控制系統結構圖Fig.2 Structure diagram of the roll channel control system in description function method

選定某一組控制參數得到如圖3所示的某型號舵機的間隙特性描述函數-1/N(A)(黑色圈線)與滾動通道的開環Nichols圖 (藍色實線)。

圖3 G(jω)和-1/N(A)曲線的Nichols圖Fig.3 Nichols graph of G(jω)and-1/N(A)

圖3中，2個ω曲線在11.5rad/s處有一個交點，通過分析可知這是一個自持振蕩點，對應的ε/A約為0.71，即自持振蕩頻率為11.5rad/s，幅值為ε/0.71，文中間隙寬度取0.3，即ε=0.15。

3 滾動通道極限環振蕩研究

由第2節可以得到以下結論:1)自持振蕩的存在與否取決于開環線性部分傳遞函數G(jω)與非線性描述函數曲線-1/N(A)是否有交點;2)假如有交點，交點決定了自持振蕩的幅值和頻率，由于間隙特性已經確定，則交點的位置由線性部分G(jω)決定。所以這一節將探討G(jω)中的各項變量對自持振蕩的影響。考慮到交點一般在低頻段，舵系統線性部分Gw(jω)的剪切頻率較高，對交點位置影響不大，所以本文從彈體特性Gr(jω)和控制參數Gc(jω)去討論。

由此得到開環傳函線性部分為

式中，可知G(jω)的頻率特性由c1、Kpc3和Kd/Kp3部分決定。其中，c1是彈體的自然阻尼，Kpc3決定控制系統的快速性，Kd/Kp決定控制系統的阻尼特性。下面分別從3個方面進行研究分析。

3.1 控制系統快速性

針對相同的滾動通道動力系數，根據快速性指標要求設計不同的控制參數如表1所示。

表1 不同快速性下控制參數列表Tab.1 List of control parameters under different rapidity

表1中，3個特征點的Nichols圖如圖4所示，圖5所示為不同特征點的1°等效副翼干擾舵系統響應曲線。

圖4 特征點1～特征點3線性部分的Nichols圖Fig.4 Nichols graph of the linear part of the control system at feature points 1～feature points 3

圖5 特征點1～特征點3 1°等效副翼干擾下的舵偏響應曲線Fig.5 Response of rudder under 1°equivalent rudder interference at feature points 1～feature points 3

根據圖4與圖5，對極限環振蕩的性能進行總結得到表2。

表2 不同快速性特征點極限環振蕩性能總結Tab.2 Summary of limit cycle oscillation performance of different rapidity characteristic points

根據圖4～圖5、表1～表2可知，系統快速性設計得越慢，間隙帶來的極限環振蕩頻率越低。

3.2 控制系統阻尼

針對相同的動力系數設計不同的控制參數使之有不同的阻尼特性，如表3所示。

表3 不同快速性下控制參數列表Tab.3 List of control parameters under different rapidity

表3中，3個特征點的Nichols圖如圖6所示，圖7所示為不同特征點的1°等效副翼干擾舵系統響應曲線。

圖6 特征點4～特征點6線性部分的的Nichols圖Fig.6 Nichols graphs of the linear part of the control system at feature points 4～feature points 6

圖7 特征點4～特征點6在1°等效副翼干擾下的舵偏響應曲線Fig.7 Response of rudder under 1°equivalent rudder interference at feature points 4～feature points 6

根據圖6與圖7對極限環振蕩的性能進行總結得到表4。

表4 不同快速性特征點極限環振蕩性能總結Tab.4 Summary of limit cycle oscillation performance of different rapidity characteristic points

根據圖6～圖7、表3～表4可知，控制系統阻尼設計的大小對間隙帶來的極限環振蕩特性影響不大。

3.3 飛行器固有阻尼

針對不同飛行器固有阻尼c1的特征點，設計相同的快速性和阻尼，得到如表5所示的不同特征點的控制參數。

表5 不同固有阻尼下控制參數列表Tab.5 List of control parameters under different inherent damping

表5中，3個特征點的Nichols圖如圖8所示，圖9所示為不同特征點的1°等效副翼干擾舵系統響應曲線。

圖8 特征點7～特征點9控制系統線性部分的Nichols圖Fig.8 Nichols graph of the linear part of the control system at feature points 7～feature points 9

圖9 特征點7～特征點9在1°等效副翼干擾下的舵偏響應曲線Fig.9 Response of rudder under 1°equivalent rudder interference at feature points 7～feature points 9

根據圖8與圖9對極限環振蕩的性能進行對比得到表6。

根據圖8～圖9、表5～表6可知，彈體的固有阻尼c1的大小對間隙帶來的極限環振蕩影響較大，當c1達到一定值時，舵系統間隙非線性將不會產生極限環振蕩現象。

表6 不同固有阻尼的特征點極限環振蕩性能對比Tab.6 Comparison of characteristic point limit cycle oscillation performance with different inherent damping

3.4 結果對比分析

3.1～3.3節以滾動通道為分析對象，通過對比仿真結果可知，從飛行控制系統方面來看，控制系統的阻尼對極限環振蕩的幅值和頻率影響較小;控制系統的快速性對極限環振蕩的頻率影響較大，快速性越慢，振蕩頻率越低;滾動通道的自然阻尼c1大小對極限環振蕩的影響較大，c1越大，振蕩幅值和頻率均越低，當c1大于某一值時，極限環振蕩消失。這說明當舵系統存在非線性特性影響控制系統性能、且快速性指標較為嚴苛時，可通過在飛行器設計過程中增大滾動通道固有阻尼特性，降低舵系統非線性特性對控制系統的影響。

4 結 論

針對舵系統的非線性特性使得飛控系統產生穩態誤差和極限環振蕩等不良特性，本文從飛行控制系統的層面出發，以飛控系統滾動通道為研究對象，應用描述函數法，分別從控制系統快速性、阻尼、飛行器固有阻尼對極限環振蕩特性的影響進行分析仿真對比。仿真結果表明，增大滾動通道的固有阻尼能有效降低舵系統非線性對控制系統性能的影響，甚至可以消除極限環振蕩現象。此結論可有效指導飛行器外形設計，特別是當飛行器舵效率過高、控制精度較低導致舵系統非線性帶來的極限環振蕩對穩定控制系統性能影響較大時，具有較大的工程應用價值。