淺談數(shù)學(xué)在經(jīng)濟領(lǐng)域中的運用

文| 伍怡穎

（作者單位：廣東財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院）

數(shù)學(xué)發(fā)展史是一門交叉性的學(xué)科，涵蓋的內(nèi)容除了數(shù)學(xué)本身外，還涉及到了物理學(xué)、哲學(xué)、文學(xué)、宗教等內(nèi)容。20世紀(jì)80年代的一批美國學(xué)者將數(shù)學(xué)定義為：數(shù)學(xué)這個領(lǐng)域已被稱為模式的科學(xué)，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對稱性。數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了四個階段，第一階段是萌芽階段，第二階段是形成階段，第三階段是近代數(shù)學(xué)階段，第四階段是現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段。縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，數(shù)學(xué)從產(chǎn)生到曲折成長再到今日在各個行業(yè)與領(lǐng)域大放異彩，數(shù)學(xué)在科學(xué)界中始終占有一席重要之地，在一定程度上推動著社會的發(fā)展。從19世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)的思想開始滲透到經(jīng)濟領(lǐng)域中，經(jīng)濟學(xué)家在經(jīng)濟研究中開始大量使用數(shù)學(xué)方法，其中的代表人物是法國的古諾，19世紀(jì)70年代，出現(xiàn)了經(jīng)濟學(xué)數(shù)學(xué)化的趨勢。當(dāng)今世界許多國家都認(rèn)可數(shù)學(xué)對經(jīng)濟增長有關(guān)鍵作用，作為國家經(jīng)濟競爭力在學(xué)術(shù)范圍的有力支持，當(dāng)代經(jīng)濟學(xué)的數(shù)學(xué)化已是一個普遍趨勢。經(jīng)濟學(xué)的數(shù)學(xué)化的現(xiàn)象也符合馬克思的一句名言：“一門學(xué)科只有在成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達到了真正完善的地步”。

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟研究中發(fā)揮著基礎(chǔ)性工具的作用，我們可以將經(jīng)濟學(xué)中的某些問題用數(shù)學(xué)語言去描述,使得推理邏輯嚴(yán)密起來。早期數(shù)學(xué)、近代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)對經(jīng)濟的發(fā)展與推動都有著重要作用。早期數(shù)學(xué)作為論證經(jīng)濟學(xué)理論的重要工具，在一定程度上保證了經(jīng)濟理論不出現(xiàn)邏輯性錯誤。近代數(shù)學(xué)與經(jīng)濟發(fā)展有了更進一步的結(jié)合，如在構(gòu)建農(nóng)業(yè)經(jīng)濟理論框架、設(shè)計大型企業(yè)、開發(fā)能源與保護環(huán)境、創(chuàng)新科技技術(shù)等方面，數(shù)學(xué)都有不可磨滅的功勞。在大數(shù)據(jù)時代，經(jīng)濟發(fā)展更是與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，越來越多數(shù)學(xué)技術(shù)興起，如數(shù)據(jù)挖掘，數(shù)據(jù)分析，量化投資等，經(jīng)濟學(xué)研究不再定性地局限于對經(jīng)濟現(xiàn)象的描述上，而是定量分析經(jīng)濟現(xiàn)象質(zhì)的研究，并深刻闡述社會經(jīng)濟現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律和運行狀態(tài)。

數(shù)學(xué)作為經(jīng)濟研究中的重要工具并在經(jīng)濟領(lǐng)域取得了巨大的成功，這顯然是數(shù)學(xué)的極大生命力并顯示了數(shù)學(xué)在經(jīng)濟研究中的可行之處。用數(shù)學(xué)方法解決經(jīng)濟領(lǐng)域中的問題，要利用數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)符號的簡明性為解決經(jīng)濟問題解釋經(jīng)濟現(xiàn)象做好鋪墊。以下討論數(shù)學(xué)在經(jīng)濟領(lǐng)域的一些應(yīng)用。

經(jīng)濟分析中導(dǎo)數(shù)的作用。經(jīng)濟學(xué)中很多問題都與數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)有著息息相關(guān)的聯(lián)系，邊際觀念建立之后，導(dǎo)數(shù)成功進入了金融經(jīng)濟方面的學(xué)說之中，推動經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展歷程。邊際成本函數(shù)，邊際收益函數(shù)，邊際需求函數(shù)等都是與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的經(jīng)濟方面的函數(shù)。此外，根據(jù)函數(shù)極值解決經(jīng)濟中最優(yōu)化選擇也是經(jīng)濟分析中常見的問題。例如，某企業(yè)生產(chǎn)某商品的成本C與產(chǎn)量x（kg）的函數(shù)關(guān)系式為：C（x）=500+2x，商品單價p與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為：p（x）=242-（1/5）x^2，求使利潤最大時的產(chǎn)量x。收入總價P=px=[242-（1/5）x^2]x=242x-(1/5)x^3,利潤L=P-C=-(1/5)x^3+244x+500,對利潤求導(dǎo)得L’=-(3/5)x^2+244,令L’=0，計算得x=20.17，即當(dāng)該商品產(chǎn)量為20.17kg時，企業(yè)可獲得的利潤最大。

常微分方程在經(jīng)濟研究中的運用。常微分方程在經(jīng)濟領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，涉及的經(jīng)濟問題有價格均衡模型，新產(chǎn)品的推廣模型，價格與庫存模型，成本問題等。以下簡要分析常微分方程在成本問題中的應(yīng)用。已知某產(chǎn)品的生產(chǎn)總成本C由可變成本與固定成本構(gòu)成，假設(shè)可變成本y是關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)，且y關(guān)于x的變化率等于產(chǎn)量與可變成本之間的平方和（x^2+y^2）除以產(chǎn)量與可變成本之積的2倍（2xy），固定成本為1，當(dāng)x＝1時，y＝3，求總成本函數(shù)?？偝杀竞瘮?shù)C（x）＝1+y（x），由題意有dy/dx＝（x^2+y^2）/2xy，令u＝y(tǒng)/x，有dy/dx=u+xdu/dx，用變量分離法解得[2u/（1－u^2）]du=1/xdx，兩邊同時積分得，lnc=lnx+ln（1－u^2），整理得，x（1－u^2）=c，得通解，y=（x^2－cx）^1/2（y≥0），由x=1時y=3，得c=-8，即y=(x^2+8x)^1/2，故總成本函數(shù)C(x)=1+(x^2+8x)^1/2。

運用數(shù)學(xué)方法解決經(jīng)濟問題這一思想在經(jīng)濟領(lǐng)域中是非常基礎(chǔ)和廣泛的，我們要掌握好高等數(shù)學(xué)的知識并能熟悉運用，把數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活結(jié)合起來應(yīng)用到經(jīng)濟問題的研究中，使經(jīng)濟學(xué)從定性化走向定量化和精準(zhǔn)化。