高中數學有關等比數列前n項和公式的題型研究

楊雯雯

鄭州外國語新楓楊學校 河南鄭州 450001

數列一直以來都是高考的重點內容之一，其中，在數列知識體系中，等比數列的難度較大，其可通過不同類型的變式對高中數學的多個知識點進行全面考察，因此，我們高中生需要針對等比數列的題目加強鍛煉。對于等比數列題目中關于前n項和的求解，其難度主要在兩個方面，其一是對等比數列通項公式的求解；其二是如何根據已經求得的通項公式計算其前n項和[1]。

1 利用前n項和求解等比數列參數

在一些簡單的等比數列題目中，其考察點多在于對等比數列前n項和公式的應用，為增加難度，則可以在給出前n項和的基礎上，對等比數列中的參數進行討論。

例1 正項等比數列{an}的通項公式 an=a1qn-1，其中，q∈（0，+∞），已知Sn=80，且其中的最大項為54，同時S2n=6560，求等比數列的通項公式。

解析：由題目我們可以得出，該題的重點在于對等比數列通項公式的應用，通過分別計算等比數列前n項和與前2n項和聯立方程組，繼而可以求出數列{an}的通項公式an=a1qn-1中的a1和q。

解：已知數列前n項和為80，前2n項和為6560，由此可以判定，q＞0且q≠1

根據等比數列前n項和公式，聯立方程組可得：

由此可得：qn=81，即等比數列為單增等比數列，q＞1，所以，最大項應當為 an=a1qn-1=54。

得a1=q-1①

且 qn/(a1qn-1)=3/2，即 3a1=2q ②

由①、②可得數列的通項公式an=2*3n-1

2 基于等比數列前n項和公式的證明題型

與等比數列相關的證明題較少，在部分證明題中，解題關鍵在于對前n項公式能否掌握熟練，通過對n的放大，從而選擇與之相適應的求證策略。

例2 對于等比數列{an}，其前n、2n、3n項和分別為 Sn、S2n、S3n，試證 Sn2+S2n2=Sn（S2n+S3n）。

解析：從已知條件我們可以看出，我們需要對等比數列{an}的前n、2n、3n項和之間的關系進行證明，如此必將使用到等比數列前n項和的計算公式，由于相關的解題步驟較為復雜，計算量較大，所以我們需要對其中的每一個步驟進行認真分析，從而避免失誤[2]。

證明：根據等比數列前n項和的計算公式，設等比數列{an}的通項公式為an=aqn-1，則數列{an}的前n項和為Sn。

同時，數列{an} 的前2n項和S2n=Sn+a1qn+···+a1q2n-1=Sn+qn(a1+···+a1qn-1)

由此可以得出：S2n=Sn（qn+1）

所以，S3n=S2n+a1q2n+···+a1q3n-1=S2n+Snq2n=Sn（1+qn+q2n）

因為Sn2+S2n2=Sn2（2+2qn+q2n）；Sn（S2n+S3n）=Sn2（2+2qn+q2n）

即：Sn2+S2n2=Sn（S2n+S3n）。

然而，這里需要注意的是，在對S3n進行分析的過程中，很多同學會將其誤認為S3n=S2n+S2nq2n，這是由于中間步驟省略所導致的，因此，對于等比數列前n項和公式的應用，我們需要盡量保證計算過程的完整性，以避免解題失誤。

3 利用錯位相減法求等比數列前n項和

錯位相減法在等差數列前n項和的求解中的使用較為普遍，對于等比數列來說，該解題方法也能夠在一定程度上降低題目的難度，提高解題效率。

例3已知數列{an}為等比數列，其中，關于數列{an}的前n項和 S_n滿足以下函數：Sn=bn+r，且b∈[（0，1）∪（1，+∞） ]，當b=2時，數列{bn}的通項公式為bn=(n+1)/(4an)，求數列{bn}的前n項和。

解析：在解該題目時，首先需要計算出r的值，求出bn與an之間的關系；其次，利用已經給出的已知條件，聯立方程，求出數列{bn}的前n項和。

解：由于關于數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=bn+r，且b∈[（0，1）∪（1，+∞）]

所以，當n=1時，存在S1=a1=b+r

當n≥2時，則根據等比數列前n項和公式可得：

an=Sn-Sn-1

=（b-1）bn-1

a1=(b-1)b0+（1+r），a2=S2-S1=(b-1)b，因為 a2/a1為非 0 常數，所以r=-1，且等比數列{an}的公比為b。

將b=2帶入數列{an}的通項公式后可得：an=2n-1

bn=(n+1)/2n+1，n∈N*

由此可以得出數列{bn}的前n項和公式如下：

Sbn=3/22+4/23+···+(n+1)/2n+1①

方程兩邊同除以2，可得：

1/2Sbn=3/23+4/24+···+(n+1)/2n+2②

①-②得：

1/2Sbn=3/22+1/23+1/24+···+1/2n+1-(n+1)/2n+2

由此可得：Sbn=(3×2n-1-2（n+3）)/2。

4 結語

在高中數學等比數列的學習過程中，其難點在于等比數列的變式較多，在實際解題時，只有選擇與之相適應的解題方法，才能夠有效地降低題目難度，提高解題效率。因此，我們高中生不僅要全面掌握有關于等比數列題目的基礎知識，而且還需要熟練應用各種類型的解題技巧，提高個人對等比數列前n項和求解的適應性。