中學生幾何題目的分析視角演變

劉翰文

重慶市第一中學 重慶 400000

幾何知識是人們在日常生活中不斷發現并積累起來的一門具有實用性的數學知識，在初中、高中階段的數學知識學習過程中，幾何知識不僅內容復雜，且相關題目的難度較大，多以計算、求證類型題目為主，且平面幾何與立體幾何在難度上也存在著一定的差異[1]。因此，通過對幾何問題的演變進行相關討論，可以了解幾何類型題目的不同變式，從而對幾何知識有一個更為系統的掌握。

1 基于平面關系的幾何證明題分析

在幾何類型題目的實際解題過程中，我們會經常遇到一些特殊的三角形，其中，在給出部分已知條件的情況下，則需要進行特殊三角形之間關系的判定，最具有代表性的則是全等三角形的證明與應用[2]。

例1 在圖1中，已知△ABC為直角三角形，且AB=AC，在這種情況下，線段AC上有一點D，連接BD，使得BD為∠ABC的平分線，延長 BD至點E，且BD⊥EC。此時，求證BD=2CE。

圖1

解析：在分析此類題目的過程中，需要意識到平面幾何圖形中的相關角度關系，通常情況下，若要證明線段之間的長度關系，則多轉移至對其所在三角形全等、相似進行解題。此處使用的是通過邊角關系證明三角形全等，并結合特殊三角形的中垂線最終確定BD=2CE。

解：如圖1所示，反向延長AB，并與CE的延長線交于一點F。

已知，△ABC為直角等腰三角形，AB=BC，且∠ABD=∠ECD=22.5°，∠ BAC=∠ FAC=90°。

根據三角形全等的判定條件，△ABD和△ACF為全等三角形（角邊角）。

因此，BD=FC。

由于BE為∠FBC的平分線，且，BE⊥FC，所以，△BFC為等腰三角形，BE為△BFC的中垂線，點E為FC的中點，即CE=EF。

所以，BD=FC=2CE。

2 以幾何變形為突破點的牛頓定理分析

牛頓不僅是著名的物理學家，他在眾多領域都有這一定的造詣，其中就包括牛頓在幾何領域提出的三大定理。在定理1中，牛頓對完全四邊形的點、線關系，進行了深入分析，并通過作輔助線的方式發現了“牛頓線”的存在，具體如圖2所示。

圖2 牛頓第一定理的集合示意圖

例2 在以ABCD圍成的四邊形內，AB、CD的延長線交于點E，且P、Q為BE、CE的中點，延長BC與AD交于一點F，連接EF，延長PQ并與EF交于一點N，R為BC的中點，連接PR、QR分別于BD、AC交于點M、L，所謂“牛頓線”，即M、L、N在一條直線上。

解析：在四邊形ABCD中，由于點L在線段RQ上，因此QL*AB=EA*LR，且點M、R、P同樣在一條直線上，因此，同理存在RM*DE=CD*MP；如此可以繼續獲得N、P、Q三點在一條直線上，且滿足PN*FC=BF*NQ。

在此情況下，則將三個等式左右兩邊同時相乘，可得到如下結果：

（QL*AB）*（RM*DE）*（PN*FC）=（EA*LR）*（CD*MP）*（BF*NQ）①

基于梅涅勞斯定理，存在AB*DE*FC=EA*CD*BF，對式①變形后可得：QL*RM*PN=LR*MP*NQ，即QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1。

同理，根據梅涅勞斯定理，點L、M、N分別在△QPR的QR、PR、QP上，且同時滿足QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1，因此可以判定L、M、N三在同一直線上。

3 總結

在數學的知識體系中，幾何知識的變形較多，且難度較大，我們應當掌握多元化的幾何題目解題方法，并通過深化解題方式，提高對不同題目類型的應對能力。除平面幾何以外，關于立體幾何的問題分析，還要求我們高中生具有較強的空間思維能力和邏輯分析能力，這也是現階段高考幾何題目中的考察重點。因此，在高中幾何相關知識的學習過程中，應當加強在這一方面的訓練，從而實現個人數學綜合素養的提升。