高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題方法研究

陳兆宇

河南省實驗文博學(xué)校 河南鄭州 450000

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)知識體系中較為重要的內(nèi)容之一，屬于高考數(shù)學(xué)中的重點，在歷年高考當(dāng)中均有所涉及，其題目類型包括選擇題、填空題和簡答題等。由于數(shù)列題目的難度較大，以至于大多數(shù)的高中生在此容易失分，進(jìn)而影響到自己的高考數(shù)學(xué)成績。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)列相關(guān)知識時，學(xué)生除了要對相關(guān)的基礎(chǔ)知識體系加以完善，還需要針對等差數(shù)列、等比數(shù)列等相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行具有針對性的解題方法研究，進(jìn)而靈活地應(yīng)用多種解題方法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)數(shù)列題目解題效率的提升。

1 常見數(shù)學(xué)數(shù)列題目類型

在高中數(shù)學(xué)的數(shù)列知識體系中，最為常見的兩種數(shù)列就是等差數(shù)列和等比數(shù)列，無論是對于哪一種數(shù)列，其題目多集中于求通項公式或數(shù)列的前n項和。在實際的題目當(dāng)中，為增加題目難度，題目中所給出的數(shù)列多為復(fù)合數(shù)列，需要進(jìn)行變形才能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，或者是等比數(shù)列和等差數(shù)列和的形式，進(jìn)而通過靈活的解題方法對其進(jìn)行求解。因此，掌握多元化的解題方法，對于提高數(shù)學(xué)數(shù)列題目的解題效率有著積極的意義[1]。

2 數(shù)學(xué)數(shù)列解題方法

由于數(shù)列題目的變式較多，且數(shù)列題目的解題方法并不具有唯一性，因此針對不同的數(shù)列題目，我們需要選擇最優(yōu)的解題方法，以實現(xiàn)解題效率的提高[2]。

2.1 公式法的應(yīng)用

公式法是基于我們高中生所具有完善的數(shù)列知識體系，在對題目中已知條件進(jìn)行簡單轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)列的通項公式、求和公式進(jìn)行解題[3]。

例1 已知某等比數(shù)列為{an}，且經(jīng)過計算其前n項和Sn=2n-p，如此，請計算為多少？

解析：在該題目當(dāng)中，我們已知等比數(shù)列{an}的前n項和，即Sn=2n-p，則由此可以得出，等比數(shù)列{an}的通項公式(n≥ 2)，且a1=1，因此，數(shù)列{an}的通項公式即首項為1，公比為2的等比數(shù)列。

如此，則可以得出數(shù)列{an2}則是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，即為數(shù)列{an2}的前n項和，即

2.2 分組求和法在數(shù)列題目中的應(yīng)用

分組求和法則主要適用于一些較為復(fù)雜的數(shù)列，尤其是存在等差數(shù)列與等比數(shù)列混合的題目類型，使用分組求和法能夠使解題難度大大降低。

例2 在已知數(shù)列{an}中，存在a1=1，在直角坐標(biāo)系中，存在某點（x1，y1）在函數(shù) y=x+2 上，且 x1=an，y1=an+1，n∈ N*。

（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；

（2）若將數(shù)列{an}中的第2n-1+2項全部抽取出來，構(gòu)成新的數(shù)列{bn}，則試問數(shù)列{bn}的通項公式bn及其前n項和。

解析：在該題目中，我們能夠從已知條件中發(fā)現(xiàn)an與an+1的關(guān)系，即an+1-an=2，即數(shù)列{an}為公差為2的等差數(shù)列，且a1=1，因此，數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1。

對于問題（2）來說，其難點在于對數(shù)列{an}進(jìn)行抽項后的重排，根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1，則可以得出數(shù)列{bn}的通項公式bn=a2n-1+2n+3，由此可以看出，在對數(shù)列{an}進(jìn)行抽項后，形成的新數(shù)列{bn}則為等比數(shù)列與常數(shù)列的復(fù)合形式，因此，在計算其前n項和時，則適用于分組求合法，即等比數(shù)列的前n項和與常數(shù)列的前n項和，結(jié)果可得數(shù)列{bn}的前n項和為Sn=2n+1+3n-2。

2.3 錯位相減法的應(yīng)用

錯位相減法主要應(yīng)用于一些較為特殊的數(shù)列當(dāng)中，其多適用于對數(shù)列的前n項和進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換的過程中，能夠使其公式簡化，從而使其計算難度大大降低。

例3 已知某數(shù)列{an}的通項公式則求數(shù)列{an}的前n項和。

解析：在該題目中，數(shù)列{an}的通項公式既不屬于等比數(shù)列，也不屬于等差數(shù)列，該數(shù)列的通項公式為等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項積的形式，其前n項和，由此可以對其進(jìn)行變形后得：

3 結(jié)語

高中數(shù)學(xué)數(shù)列的解題方法并不止以上三種，針對數(shù)列題目的不同，學(xué)生所使用的解題方法也存在著較為明顯的區(qū)別。因此，我們高中生需要在不斷完善自身數(shù)列基礎(chǔ)知識體系的同時，通過大量的數(shù)學(xué)數(shù)列題目的練習(xí)，強化對不同類型解題方法的適應(yīng)性，從而實現(xiàn)數(shù)列解題效率的提升，進(jìn)而促進(jìn)個人數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的形成。