淺析高中不同種類的數列問題及解決辦法

秦君涵

合肥市第八中學 安徽合肥 230000

數列是按照一定規律和順序排列的一組元素，在高中數學學科當中，數列問題作為高中代數知識的一個分支，在考試中占有較為重要的位置。可以說在高中數學中的數列問題大部分都不是十分復雜，考查的方式基本上也是與其它題目融合在一起的，雖然高中數學中的數列知識相對于其它的數學知識而言更易于理解，也很好掌握，但通過閱讀和研究數列相關的習題可以使我們了解到，大部分紛繁復雜的數列習題的題目種類大大地提高了數列問題在考試中的難度，所以要想充分并全面地掌握解決數列問題的方法和技巧，熟練解決數列相關問題的關鍵就在于正確地對不同的問題種類進行分類，并逐一找出統一的解法。本文將淺析高中數列問題的幾個板塊，并給出相應的解決方法。

1 高中數學中涉及到的基本數列知識

通過學習高中數學教材中數列的相關知識，我們可以歸納總結出，高中數學中的數列知識主要涉及到的內容有兩方面，一方面是等比數列，另一方面是等差數列。無論是等差數列還是等比數列，在考試和考查的過程中，主要的知識考查點就是圍繞著數列的求和，求數列的通項式或者是求數列的等差和等比等[1]。我們在充分了解數列要考查的知識內容以后，接下來要做的就是對要求的數列進行歸納、分類和總結。

2 高中數學課程中所學數列的基本分類

通過對高中數學課程的歸納和總結，并對所涉及到的習題進行收集整理，高中數學課程中的數列問題，大致可以分為以下幾種：第一種是簡單的等差與等比數列問題，這一類問題主要考查的就是高中生對等差數列和等比數列的概念和所涉及的最基礎知識的理解，考查的知識點也是圍繞著等差數列和等比數列的求和所展開的。等差數列所用到的公式主要是；等比數列所用到的公式主要是；第二種是求數列的通項問題，這一部分相對而言比較難，并且出現考試題目的概率也是很大的，因為高中課程中數列的主要內容就是圍繞著等差數列和等比數列開展的，所以這類問題所要用到的知識點和公式是等差數列的通項式公式，等比數列的通項式公式[1]。在高中數列知識的教學與考試考查當中，學生所應用的公式大致上就是以上四個公式。基本上，所有考試考查的習題都需要應用到上述四個公式，所以牢記并掌握以上四個公式的用法是極其重要的。

3 解決數列問題的具體方法應用

我們通過討論和研究會發現解決高中數學知識中的數列問題，所用到的方式和方法有很多，比如數列問題分為求通項和求和兩種類型，求通項問題有兩式相減法、換元法、配湊法等，求和問題有整體換元法、分組求和法和裂項相消型法等，而學生所掌握的方式方法是解決數列問題的關鍵，也是解決數列問題最有效的途徑[2]。如何做到使用正確的解題方法來解決問題是我們討論此問題的關鍵所在。

比如，兩式相減法，其也叫作錯位相減法，是將遞推公式分別以n和n+1形式呈現出來，然后將兩個式子相減，最終得到一個新的更好的式子，從而實現對遞推公式處理的方法[2]。

比如，分組求和法是常見的一種數列求和的方法，顧名思義分組求和法是將原有的數列拆分為2個或者是多個數列，然后對拆分后的數列一一進行求和，最后將所有的求和結果進行合并，從而求出原有數列的前n項和。下面我們舉一個例子，看如何使用分組求和法來進行解題。

例如，換元法

換元法可以將數列遞推中的部分式子作為整體，令其為新的數列，以化簡問題的方法。如2(n+1)an+1=4nan+3，我們令bn=nan，則 2bn+1=4bn+3，2(bn+1+3/2)=4(bn+3/2)

再令cn=bn+3/2，得到2cn+1=cn，以此達到簡化數列的目的。

例如，配湊法

配湊法是指將遞推中難以利用的部分，進行相互搭配，以化簡遞推的方法。如an+1=5an-6an-1-4，進行配湊an+1+λ=5(an+λ)-6(an-1+λ)→ 5λ-6λ-λ=4，解 得 λ=2，所 以(an+1+2)=5(an+2)-6(an-1+2)，由此將無法利用的項配入遞推中。

例如，列項消元法，又叫做裂項消減法，它的具體做法是通過對列項的合理拆分，達到消元的目的。在具體的數列題目中，如果每一項都能夠拆分為兩項之差，且前一項與后一項恰好能夠抵消掉，這就滿足了裂項消元法的基本條件和計算過程。通過裂項消元法這一系列的應用和化簡，最終會消減掉數列中的很多項，最理想的狀態就是只剩下第一項和最后一項，數列中其余的項都被一一抵消掉了。裂項消元法的中心思想就是將數列中的通項進行簡化和消除，最終達到求和的目的。舉一個簡單的利用裂項消元法的例題。

例題3：已知數列{an}的通項公式an=（2n-1）/3n，求數列{an}的前n項和Sn.

解題：利用裂項消元法

4 結語

在日常特殊的數列求和過程中學生往往可以采用幾種方法去解決問題，但是哪一種是解決問題最好的或者是最有效的方法，在應用時可以選擇簡易的或熟練的方法來解決問題，這就需要學生通過大量的習題練習和分析才能作出更好的選擇。本文在論述的過程中所提出的幾種解決特殊數列求和的思路和方法是較為常見的數列求和的解題思路。本文論述和討論的目的在于拋磚引玉，引導高中生在解題的過程中尋找正確的解題思路，并且加以熟練掌握和應用，強化對上述方法的理解。若想對數學知識的學習有個內化的過程，那么高中生就應該不斷地練習，深刻的領悟，從而提高自身的數學邏輯思維和計算運算能力，提升數學的解題思路、解題效率和準確率。