函數思想在高中數學解題中的應用研究

鄭州市第七中學 河南鄭州 450000

函數是高中數學的基礎內容之一，因此，在數學解題的過程中，函數思想有著較為廣泛的應用。其中，函數思想在數學解題中的應用主要集中在對函數性質的分析，如奇偶性、單調性等，通過利用函數的這些性質，使題目的難度下降，解題效率也有著一定程度的提高[1]。因此，我們高中生應加強函數思想的培養，從而更好地應對各種類型的數學題目，促進個人數學綜合素養的提升。

1 函數思想在不等式解題中的應用

不等式是方程的一種特殊形式，因此，不等式也就具有了普通方程的特性，我們在不等式解題剛才中，也就能夠使用到函數思想。并且，利用函數思想解不等式可以實現解題效率的提高，促進不等式解題方法的多元化。

例1不等式x-2+x-5＜a有解，求此時a的取值范圍。

解析：題目所給出的不等式雖然簡單，但是，由于絕對值的存在，導致我們在實際分析的過程中所要考慮的情況也就更加復雜，然而，如果利用函數思想來進行解題，并結合數形轉化的方式，則能夠實現解題效率的提高。

圖1

2 函數思想在數列解題中的應用

在高中諸多知識點的考察過程中，數列的解題思路更加多元化，并且，由于數列相關題目的變式較多，因此，我們在選擇解題方法時應當更加謹慎，否則，將導致實際解題過程的難度增加。其中，函數思想是數列解題過程中常用的一種思想，在求數列通項公式等計算中可以實現解題效率的提高。

例2數列an是公差為d的等差數列，其中，數列an的前n項和為Sn，同時存在一個公比為q的等比數列bn，且在數列an與bn中存在以下關系：a1=b1b2=2其中，公差d與公比q相等，且S10=100。求數列an、bn的通項公式。

解析：由于已經明確了數列an、bn的前兩項關系，且等差數列與等比數列的公差d與等比數列的公比q相等，利用S10=100即可求出數列an、bn的通項公式。

解：根據題目中的已知條件，可以得到以下方程組：10a1+45d=100a1d=2

由此可以得出以下兩個答案：a1=1d=2或a1=9d=29

根據等差數列與等比數列的通項公式定義可知，等差數列an與等比數列bn的通項公式對應如下：an=2n-1bn=2n-1或an=192n+79bn=929n-1

3 角函數在數學解題中的應用

對于一些較為特殊的題目來說，常規函數思想的適用性較低，在某些情況下，需要研究其中的角度關系，并以此作為解題的突破口。

例3如果方程loga（x-ka）=loga（x2-a2）在定義域范圍內有解，且a＞0，a≠1，如此，求滿足方程有解的k的值域。

解析：對于此類題目，常規方法是將原等式進行轉化，從而對其中k的取值范圍進行研究。然而，對于大多數高中生來說，這種解題方法過于復雜，且在對k的取值范圍討論時容易存在著疏漏。利用函數思想中的角函數輔助解題，能夠使解題效率大大提高，且準確度也能夠得到保證[2]。

解：對原方程變形后可得：x-ka2=x2-a2，x＞a

由此可以得出k=xa-xa2-1。

設x=acosα，則k=cosα-cosα，其中-π/2＜α＜0且0＜α＜π/2

由α的取值范圍不同，可以得到不同的k值，具體如下：

當-π/2＜α＜0時，k＜-1；

當0＜α＜π/2時，0＜k＜1。

4 結語

由以上幾個例題可以看出，函數思想在高中數學中的應用范圍較為廣泛，且應用方式也較為靈活，通過分析題目中已知條件的關系，將題目的求解過程轉化為函數問題，從而可使解題難度大大降低。然而，這里需要注意的是，函數思想的應用要明確函數的性質，如奇偶性、單調性等相關的約束條件，否則，將導致最終答案與真實值之間存在著偏差[3]。