對不動點(diǎn)定理的介紹以及對高中解題構(gòu)造數(shù)列方法的研究

寧波市效實(shí)中學(xué) 浙江寧波 315000

不動點(diǎn)理論在數(shù)學(xué)方程中有著廣泛的應(yīng)用，諸如函數(shù)方程、微分方程、代數(shù)方程等[1]。我們在解答高中數(shù)學(xué)的數(shù)列問題時(shí)，就會經(jīng)常會應(yīng)用到不動點(diǎn)方程的f(x)=x[2]。不動點(diǎn)理論是研究不動點(diǎn)有無數(shù)個(gè)性質(zhì)與求法，因此我們要在構(gòu)造數(shù)列的過程中靈活地應(yīng)用不動點(diǎn)定理。

1 不動點(diǎn)定理的介紹及選題

1.1 不動點(diǎn)概念

不動點(diǎn)原理又被稱為巴拿赫（Banach）不動點(diǎn)原理。簡單來講，就是一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域中包含該函數(shù)的值域，也就是說對于f(x)=x這個(gè)方程始終會有一個(gè)根存在。因此不動點(diǎn)原理的本質(zhì)其實(shí)就是零點(diǎn)存在性定理。

1.2 選題背景

數(shù)學(xué)函數(shù)中的"不動點(diǎn)"理論雖然是中學(xué)教材里的選修內(nèi)容，但老師也會重點(diǎn)講解這方面的知識，因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)在這里都會遇到學(xué)習(xí)上的問題，不能夠解答，如果能夠熟練掌握，合理地利用”不動點(diǎn)”理論，就會使大家更加容易的解決一些復(fù)雜、難以搞定的數(shù)學(xué)問題。所以近年來“不動點(diǎn)”理論在高中數(shù)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。許多同學(xué)也是因?yàn)檎莆樟瞬粍狱c(diǎn)定理來解決數(shù)學(xué)問題的方法，從而提高了自己的數(shù)學(xué)成績。

1.3 選題意義

根據(jù)遞推公式來求解數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、有界性以及收斂性，這些性質(zhì)和題型是高考中的熱點(diǎn)。其中有一些根據(jù)遞推公式很難求出通項(xiàng)公式的數(shù)列，解決這種數(shù)列問題時(shí)經(jīng)常要從函數(shù)的性質(zhì)來出發(fā)。在一些高水平的競賽題中，經(jīng)常會出現(xiàn)這種綜合的數(shù)列問題。不僅在競賽題中，近幾年高考題目也有向該題型的方向轉(zhuǎn)化的趨勢。因此，該定理的應(yīng)用還是極為廣泛的。

1.4 研究內(nèi)容

①將不動點(diǎn)原理的迭代思想運(yùn)用到數(shù)列的遞推關(guān)系中，進(jìn)而解決通過遞推關(guān)系難求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題。

②利用不動點(diǎn)原理的迭代思想，給出對一些數(shù)列的有界性性質(zhì)的證明。

③通過不動點(diǎn)原理，研究數(shù)列的單調(diào)收斂性質(zhì)，研究過程中還會運(yùn)用到特征函數(shù)的一些性質(zhì)，解決高考中的相關(guān)題目。

2 不動點(diǎn)定理在數(shù)列中的應(yīng)用

2.1 迭代函數(shù)、迭代思想的應(yīng)用

迭代函數(shù)是不斷的與自身復(fù)合的函數(shù)，這個(gè)過程叫做迭代[3]。

例：fn+1(x)=f(fn(x))

2.2 不動點(diǎn)裂項(xiàng)

對于一階遞推式an+1=f(an)，若f(x)為多項(xiàng)式函數(shù)（或分式多項(xiàng)式函數(shù)），且α為f(x)的不動點(diǎn)，那么f(an)-α一定有因式 an-α,設(shè) f(an)-α=(an-α)·A

這種改寫遞推式為裂項(xiàng)形式的方法稱為不動點(diǎn)裂項(xiàng)。不動點(diǎn)裂項(xiàng)是改造遞推式從而嘗試求通項(xiàng)的重要方法，也是得到數(shù)列裂項(xiàng)放縮的重要手段。

下面舉例幾種常見類型的構(gòu)造形式：

（1）數(shù)列單調(diào)性、數(shù)列放縮綜合應(yīng)用。在數(shù)列的綜合應(yīng)用中，我們往往可通過對不動點(diǎn)及迭代函數(shù)圖像的分析，構(gòu)造出符合題目結(jié)論需要的形式，從而轉(zhuǎn)化為求不等式放縮或求函數(shù)最值問題，不動點(diǎn)可謂給構(gòu)造提供了理論依據(jù)，有效避免了盲目變形瞎湊的做法[4]。

幾種常見的應(yīng)用舉例：

分析：求范圍問題通常可用數(shù)學(xué)歸納法，本文將另一個(gè)角度來闡述數(shù)列的有界性問題。

根據(jù)前文描述，我們可以通過迭代函數(shù)圖像，并觀察an變化規(guī)律，符合（1）中結(jié)論。

下面通過不動點(diǎn)的構(gòu)造，我們來證明：

題目顯然與不動點(diǎn)有關(guān)，首先，利用絕對值不等式對式子進(jìn)行變形：

3 結(jié)語

通過對不動點(diǎn)的學(xué)習(xí)，在解答高中數(shù)列問題時(shí)，可以利用其圖像對題目所求內(nèi)容進(jìn)行對比，進(jìn)而利用不動點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，最后通過等比、等差放縮或進(jìn)行裂項(xiàng)，取倒數(shù)、取對數(shù)等手法進(jìn)行求證。只要掌握了不動點(diǎn)，就是掌握了考試的一大利器。