金屬礦山采空區形狀分形特征探索

胡建軍

(1.北京科技大學土木與資源工程學院，北京 100083；2.北京礦冶科技集團有限公司，北京 100160)

金屬礦床是經過一系列長期復雜的地質運動與作用而形成的，其空間分布特點表現為雜亂而無序，品位分布也呈現不確定性[1-2]。礦山開采根據礦體賦存情況而進行設計，開采后遺留采空區與礦體分布有相似的空間形態，加之開采過程中受到構造、地應力、爆破震動等多重作用，其形態表現更為不確定性及非線性。三維激光掃描技術在采空區探測中的應用[3-5]，使得采空區形態的可視化和精確測量得以實現，從而利用非線性手段研究采空區形態也變為可能，用非線性的理論方法深入研究釆空區空間特征及邊界特性，也必然是未來發展的趨勢[6-8]。

分形理論由B.B.Mandelbrot等第一次提出[9]，之后得到了快速發展，其數學基礎是分形幾何學，即由分形幾何衍生出分形信息、分形設計、分形藝術等應用。在巖體地質、孔洞等方面，分形理論被廣泛應用于對巖溶管道(洞穴)形態的數學描述、分形計算以及機理特征研究[10-12]，有學者將分形理論運用于對鐵路的巖溶洞穴預報[13]，但對于礦山采空區形態分形特征研究方面較為少見，不同于巖溶等地下孔洞的三維形狀分形特點，礦山采空區為人為擾動形成，受礦體特征、爆破震動、采掘計劃等影響較大，其不規則程度主要表現在其邊界曲面上。De wijs[14]首次利用分形理論研究了礦體品位分布，并證明了礦體品位的空間分布具有分形特征，礦山開采過程對于礦床來說屬于局部作用過程，即礦山開采形成的采空區，其分布及形態與礦體品位的空間分布應具有一定相關性。

1　計盒維數

在眾多計算分形維數方法中，計盒維數概念比較清晰，計算相對簡單明了，從而得到了廣泛的應用[15-16]。該方法用邊長或半徑為r的正方形網格、立方體、圓形或球體對研究對象逐次進行柵格化處理，得到一系列不同網格邊長r對應的非空格子數量N(r)，繪制N(r)與r的雙對數散點圖并進行擬合，若其具有明顯的線性特征，即無標度特性，說明具有分形特征。由分形定義可知[17]：N(r)=Ar-D，兩邊取對數變換，得：lnN(r)=lnA-Dlnr，線性擬合的直線斜率絕對值即為分維值。

2　單采空區分形特性

為了揭示研究方法的適用性以及采空區分形特征的普遍性，本研究選取不同礦山的四個采空區進行平行對比研究，以求發現采空區分形的共性特征和普遍性特點。為描述問題方便，四個采空區分別用簡寫代號SZY、LM、JM、WF代替，各采空區均借助BLSS-PE礦用三維激光掃描系統[18]進行精確探測，獲得采空區實體圖，并對實體模型進行切剖面處理，每個采空區選擇4個具有代表性的剖面，如圖1所示。

對于一維邊界線及二維平面，首先采用邊長為r的正方形網格進行覆蓋，隨后以1/2倍的比例逐次縮小網格尺寸，得到一系列對應的r和Nn(r)，繪制lnNn(r)～lnr散點圖，并進行線性擬合得出線段的斜率，其絕對值即為盒維數D。而對于三維空區邊界曲面及三維空間體，則可采用邊長為r的三維立方體進行覆蓋，使用上述方法計算其盒維數D。

2.1　一維邊界線分形特性

以剖面SZY-4邊界線為例，根據盒維數計算原理，首先選擇r=10 m的正方形網格進行覆蓋，可得此時N1(10)=12；然后r=5 m，得N2(5)=21；同理可得N3(2.5)=43，N4(1.25)=89，對應的網格覆蓋圖如圖2所示，圖2中陰影部分為有效盒子數。

以lnr為橫坐標，lnNn(r)為縱坐標繪制散點圖，對應的關系曲線如圖3所示，擬合直線的斜率的同理求得四個采空區各剖面邊界線的相關系數及計盒維數如表1所示。對比分維值計算情況，各剖面邊界線lnNn(r)～lnr曲線線性擬合相關系數R2=0.992～1.000，均高度線性相關，即存在分形特征；另外，可以看出邊界起伏程度較大的邊界線，其盒維數值也較大，非線性程度也大。從而，計盒維數可作為采空區邊界線復雜程度的定量指標。

圖1　各采空區實體圖及剖面位置

圖2　剖面SZY-4邊界線網格覆蓋計算圖

絕對值0.9404即為盒維數值D，同時可求得線性相關系數R2=0.9978。

圖3　剖面SZY-4邊界線lnNn(r)～lnr關系曲線

表1　各采空區剖面邊界線分維值

剖面名稱SYZ-1SYZ-2SYZ-3SYZ-4LM-1LM-2LM-3LM-4JM-1JM-2JM-3JM-4WF-1WF-2WF-3WF-4網格數/個r=10m19201044448755891194r=5m363521669918141212141926196r=2.5m101864512131717343326203436524112r=1.25m24516794222839387071575175781218222相關系數R20.9920.9931.0000.9980.9900.9820.9980.9980.9980.9990.9990.9890.9920.9990.9981.000計盒維數D1.2551.0481.0800.9400.8380.9541.0771.0661.0311.1261.1651.0791.0971.0271.1381.067

2.2　二維平面分形特性

一維邊界線分維值可有效表達空區剖面邊界的復雜程度，但其不能全面反映二維平面的復雜程度，本節擬在邊界線分析的基礎上，考慮剖面內部包含屬性，利用計盒維數分析剖切平面區域的二維分形特性，仍然采用網格覆蓋法進行分維值計算，在邊界線網格覆蓋的基礎上，將邊界內部包含網格也計算在內，得到新的網格數，重新計算計盒維數。

仍以SZY-4剖面為例，其網格覆蓋圖盒子數分別為N1(10)=13，N2(5)=32，N3(2.5)=104，N4(1.25)=353，對應的網格覆蓋圖見圖4。

圖4　剖面SZY-4區域網格覆蓋計算圖

2.3　采空區三維分形特性

常規礦山空場法開采，空區頂板及邊界面是典型的非線性空間曲面，無法用常規的幾何理論進行定量描述。前述研究表明，單個采空區任何一個剖面的邊界線和平面區域都具有分形特性，本部分擬針對采空區三維邊界曲面和三維空區體的分形特性開展研究，揭示其內在特點。

2.3.1三維邊界面分形特性

四個采空區三維界面曲面的計盒維數計算結果見表3，可以看出線性擬合相關系數R2=0.999～1.000，其線性相關度均極強，即各空間邊界曲面存在非常好的分形特征；另外，可以看出邊界曲面的盒維數值均大于平面或邊界線，其邊界復雜程度更為綜合、明顯。

2.3.2空區體三維分形特性

三維邊界曲面的分維值計算，很好的表達了采空區邊界曲面的分形特性，但其未包含空區內部空間的屬性。將三維邊界曲面覆蓋立方體與內部空間立方體數相加，重新計算得到空區體計盒維數。四個采空區整體的計盒維數計算情況如表4所示，線性擬合相關系數R2=0.994～0.998，表明其具有線性相關性，即各采空區空間體也存在很好的分形特征。

表2　各采空區剖面分維值

表3　各采空區三維邊界面分維值

表4　各采空區三維體分維值

3　某鎢礦采空區群頂板分形特征

前述各礦山單個采空區的一維邊界線、二維平面區域、三維邊界曲面、三維空區體都具有很好的分形特征，然而，采礦現實中，采空區大多以空區群形式存在，尤其全面法開采后留下的采空區，其礦柱視頂板情況、開采環境預留，大小不一，各空區相互貫通，形態十分復雜。采空區群的空間復雜賦存分布，各采空區共同作用下形成了復雜的頂板形態，研究頂板的形態可以表征采空區群的邊界特征。本研究以某鎢礦空區群為例，在三維激光精細掃描的基礎上，將單采空區分維值計算方法拓展至采空區群頂板分維值計算，研究其頂板三維曲面的分形特征。

圖5　某鎢礦采空區群頂板所選剖面位置

表5　某鎢礦采空區群頂板各剖面分維值

剖面名稱XLS-1XLS-2XLS-3XLS-4XLS-5XLS-6XLS-7XLS-8網格數/個r=20m1214131315242015r=10m2227242631434027r=5m4554494667898450r=2.5m10011210289139181160106相關系數R20.9960.9990.9980.9991.0000.9980.9990.997計盒維數D1.0211.0000.9950.9151.0750.9791.0070.935

圖6　采空區群頂板曲面lnNn(r)～lnr關系曲線

同樣，為便于研究，將采空區頂板進行剖切面處理，圖5為某鎢礦采空區群頂板所選剖面位置，各剖面分維值計算情況見表5，可以看出各剖面具有明顯的分形特征。

進一步計算整個采空區群頂板的三維曲面計盒維數，并繪制頂板曲面lnNn(r)～lnr曲線圖如圖6所示，可以看出線性擬合相關系數R2=1，表明其具有極強線性相關性，即采空區群頂板曲面存在很好的分形特征。

4　結　論

1) 通過四個不同礦山單采空區的一維、二維、三維空間分形特征研究可知，采空區形狀在各維度上均具有良好的分形特性，自相似性程度很高，計盒維數的大小與其復雜程度有密切關系。將該方法拓展至采空區群分析，結果表明采空區群頂板三維曲面形狀也具有明顯的分形特征。

2) 分維值是反映采空區復雜程度的定量參數，其為復雜采空區研究提供了一種新的方法，在采空區形狀預測、采空區圍巖質量分級、穩定性評價等方面具有廣闊的應用前景，但由于采空區本身的復雜性、隨機性，所提出的采空區分形特征普遍性尚有待大量工程實踐驗證，并進一步拓展研究深度和廣度。

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