關于折射微動方法頻的散曲線拾取

侯小平

摘 要：折射微動（Refraction Microtremor）面波探勘方法現在已經廣泛運用于地震工程勘探中。目前主要通過手動提取來獲得該方法的頻散曲線，而且手動拾取依賴于處理人員經驗，主觀性比較強，工作耗時多。本文給出了一種基于最小二乘擬合的頻散曲線拾取方法。它主要包含兩個步驟：第一步從p-f譜上提取最大梯度點分布；第二步是通過最小二乘擬合得到頻散曲線的趨勢，完成頻散曲線的拾取。

關鍵詞：折射微動；頻散曲線；拾取

中圖分類號：P631.4 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）06-0213-02

1 引言

折射微動（Refraction Microtremor，ReMi）方法是利用背景噪音（比如汽車、機械、人類活動、海浪、風和氣候變化等產生的噪音）來探測地下地質結構的一種面波勘探方法[1]。該方法利用多道線性排列進行數據采集，記錄時間在30～50s，通常可以探測到的深度為排列長度的1/3～1/2，最大探測深度為排列長度，探測精度與道間距相關。ReMi方法的處理主要分為三個步驟：第一步是將原始數據從空間和時間（x-t）域變換到慢度截距時間（p-τ）域，此時的振幅與慢度和截距時間相關；第二步是在截距時間的方向上做傅里葉變換，將數據從p-τ域變換到p-f域；第三步是在p-f域沿著每一個頻率做功率譜比計算。

野外采集的原始地震噪音數據經上述流程處理之后，可以得到類似圖1所示的p-f譜。從圖中我們可以看到頻散曲線的趨勢（圖1黑色實線）：慢度（相速度）隨著頻率的增大而增大（減小）；這是因為頻散曲線的低頻部分對應的是長波長的Rayleigh面波，主要反映了深部地質結構的信息；而高頻部分則對應短波長的Raleigh面波，主要反映了淺部的地質結構信息。

根據Louie[1]的研究，微振動數據采集過程中，假設來自各個方向的波的能量都相等，視速度是真速度的100%～125%范圍內的能量占40.9%，在視速度大于真速度125%以上的范圍內分布著高于59%的能量。如此，在一個特定的頻率上，RiMi方法拾取的是有顯著能量出現的地方的最小視速度值，整個頻散曲線是沿著低速包絡進行拾取。根據ReMi方法中的頻散曲線拾取步驟，需要在每個頻率上需要拾取三個點：首先拾取的是具有低相位速度點，它位于慢度-譜比曲線上譜比值剛好與不相干噪音的低譜比值分離時候的位置；其次拾取最佳猜測速度點，它位于譜比值上升梯度最大的地方；最后拾取的位于譜比值最大時候的位置，以此獲得研究場地的真相速度及其變化上下限。Pancha等人[2]通過研究表明，Louie提出的通過拾取沿慢度變化的譜比函數最大梯度點來獲得p-f譜中頻散曲線的低速包絡是合適的。在圖1中，頻散曲線拾取沿著黑色實線趨勢進行拾取。其中，可以看到一個與頻散曲線趨勢變化相反的能量分布（圖1黑色虛線所示），這是由于采樣頻率低于奈奎斯特（Nyquist）頻率而導致的F-K混疊。

2 頻散曲線拾取方案

根據折射微動方法頻散曲線的拾取原則，我們設計了頻散曲線拾取方案，包括如下2項內容：

2.1 提取頻散點分布

在p-f譜中，功率譜比值是p和f的函數，我們用F（p，f）來表示功率譜比函數。在頻率fi上的功率譜比值可以表示為：

（1）

其中，i表示第i個頻率，m是頻率離散點數。對于某一頻率fi，F（p，fi）只隨p的變化而變化，我們可用梯度的變化來描述這種變化的過程，我們在該頻率上需拾取的速度點位于F（p，fi）上最大值位置（圖2a點）和F（p，fi）的譜比值剛好從不相關噪音譜比值分離時候的位置（圖2c點）之間的F（p，fi）上最大梯度點所對應的速度（圖2b點），用vst來表示。我們的工作的第一步就是求取每個頻率上的vst，然后得到整個p-f譜中的vst分布函數H（f）。理想狀態下，H（f）即為我們所需的整條頻散曲線，但由實際數據得到的頻散曲線H（f）隨頻率的分布呈鋸齒狀變化，這種變化在FK混疊區域比較大。在這種情況下，如果直接使用H（f）進行后續的反演工作，將得不到滿意的地下橫波速度結構，因此需要找到H（f）變化趨勢，本文主要通過最小二乘擬合來找到該趨勢。

2.2 H（f）最小二乘擬合

在得到H（f）之后，通過（2）式對其進行擬合：

（2）

其中，n為擬合的階次，n越大，擬合曲線與實際曲線越接近；a為對應的系數。從（2）式可以看到，當我們知道了ai的具體值的時候，我們就知道了h（f）的具體表達式。令最小二乘目標函數I為：

（3）

其中ω為加權系數。（3）式可以轉化為求多元函數：

（4）

的極小值點問題，將系數a看作是自變量，通過解方程：

（5）

可獲得每一項系數a，然后代入（2）式可以獲得h（f）的具體表達式。

3 應用實例

我們將本文所提出的方法運用到某一工區的面波資料。在數據采集過程中，采用24道接收、道間距10m、排列長度為230m、記錄長度為50s，時間采樣率為2ms，噪音來源主要由車輛、風和人員活動。我們將采集到的數據用ReMi方法處理，得到圖3所示的p-f譜，然后再運用本文的方法的第一步，在p-f譜上提取最大梯度點的分布H（f）（圖3黑色方框）。從圖3中可以看出，H（f）在3-10Hz范圍內的分布比較規律；在大于10Hz的區域，受FK混疊的影響H（f）的分布比較亂；根據本文的方法的第二步，我們拾取得到整條頻散曲線（圖3的灰色曲線），該曲線在大于10Hz的F-K混疊區域能跟隨低頻段（<10Hz）的趨勢。

4 分析討論

從野外采集的微振動數據經折射微動方法處理之后，頻散曲線的趨勢會受到FK混疊的干擾，在干擾區域頻散趨勢不明顯；如圖3中的p-f圖，在2.5-10Hz的區域內，我們能夠了看到清晰的頻散曲線的趨勢；在10-20Hz的區域內，受FK混疊的影響，頻散趨勢不如2.5-12Hz范圍內明顯，在這個區域進行人工拾取頻散曲線的時候，受到的干擾很大，造成頻散曲線拾取的精度的缺失。

在計算最大梯度點的時候，由于低頻受FK混疊的干擾小，因此最大梯度點的計算是由低頻到高頻，根據頻散曲線的趨勢變化來設計拾取原則。從實際數據中的提取的頻散曲線并不是嚴格的單調變化，通常是呈現鋸齒狀形態，因此當我們找到某一個頻率上的最大梯度點之后，下一個頻率上的最大梯度點的范圍就可以根據這個點來確定。

在最小二乘擬合的時候，由于低頻受混疊影響小，因此在低頻的區域建議給較大的權系數，高頻區域給較小的權系數，以此來減小FK混疊的影響。關于最小二乘擬合的階次n，如果n給得過大，擬合曲線就會越接近我們得到的H（f），會受到H（f）局部極值的影響，使得我們得到的頻散曲線不夠平滑，不能很好的反應出頻散曲線的趨勢。在兼顧頻散曲線的趨勢和局部極值的影響之下，我們通過實驗發現階次在7-15比較合適。

5 結語

我們提出了一種針對折射微動方法頻散曲線的拾取方法，通過最小二乘法擬合來實現。我們在進行頻散曲線拾取的時候，拾取的該頻率上的功率譜比-慢度曲線上面的功率譜比值梯度變化最大的時候所對應的速度。

參考文獻

[1]Louie J N. Faster， better： shear-wave velocity to 100 meters depth from refraction microtremor arrays[J]. Bulletin of the Seismological Society of America，2001，91（2）：347-364.

[2]Pancha A， Anderson J G， Louie J N， et al. Measurement of shallow shear wave velocities at a rock site using the ReMi technique[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2008，28（7）：522-535.