單穩(wěn)和雙穩(wěn)機(jī)制中的光力糾纏

嚴(yán)冬，張孟龍，王彬彬

(長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，長(zhǎng)春130022)

納米時(shí)代的到來(lái)促使量子光力學(xué)研究進(jìn)一步繁榮發(fā)展。納米技術(shù)的快速進(jìn)步使得微小質(zhì)量和高品質(zhì)機(jī)械振子的制造成為可能，而這類(lèi)機(jī)械振子通常可以作為感應(yīng)微弱光輻射壓力(通常忽略不計(jì))的光力學(xué)裝置[1-2]。一方面，能夠利用各種光力學(xué)系統(tǒng)有效地探索新奇量子行為[3];另一方面，由于其固有的經(jīng)典和量子二重特性，量子光力學(xué)為實(shí)現(xiàn)超精密測(cè)量鋪平了道路[4-6]。伴隨著研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)，量子光力學(xué)系統(tǒng)具有極強(qiáng)的擴(kuò)展性，甚至能夠耦合其他物理系統(tǒng)不易兼容的自由度，構(gòu)造出新型的混合量子相干器件，實(shí)現(xiàn)更為豐富的物理功能[2]，例如與原子系綜混合實(shí)現(xiàn)電磁感應(yīng)透明型機(jī)械透明的相干控制[7-8]。

此外，量子糾纏作為量子信息處理和量子物理的核心資源，在理論和應(yīng)用上有著極其重要的地位。研究表明，在光力學(xué)系統(tǒng)也存在著類(lèi)似的量子關(guān)聯(lián)-光力糾纏[9-10]，即腔內(nèi)的量子光場(chǎng)與宏觀的機(jī)械裝置產(chǎn)生糾纏，這樣不但可以利用光力學(xué)手段作為有力的工具探究量子物理的實(shí)質(zhì)，還能夠?yàn)榱孔有畔⒓夹g(shù)提供全新的量子界面。

本文研究具有單、雙穩(wěn)特征的光力糾纏。系統(tǒng)地考察和判斷模型的穩(wěn)定條件，進(jìn)一步利用刻畫(huà)連續(xù)變量糾纏的手段準(zhǔn)確而有效的評(píng)估單穩(wěn)與雙穩(wěn)機(jī)制下光力學(xué)糾纏特性并給出物理解釋。

圖1 典型的光力學(xué)系統(tǒng)

1 光力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程以及糾纏量度

如圖1所示的典型光力學(xué)系統(tǒng):法布里-珀羅微腔一端為固定的半反半透腔鏡，另一端為全反射的可移動(dòng)腔鏡。頻率為ω0的經(jīng)典光場(chǎng)E通過(guò)固定腔鏡端入射并激發(fā)腔內(nèi)的單模光場(chǎng)a，頻率為ωc。該單模腔場(chǎng)推動(dòng)頻率為ωm的可移動(dòng)腔鏡產(chǎn)生微小位移。該系統(tǒng)的哈密頓為:

(1)

其中，第一項(xiàng)為單模腔場(chǎng)的自由哈密頓，a+、a分別為產(chǎn)生和湮滅算符，滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系[a，a+]=1;第二項(xiàng)為可以移動(dòng)腔鏡的自由哈密頓，p、q分別為可移動(dòng)腔鏡的無(wú)量綱動(dòng)量和位移，滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系[q，p]=i。第三項(xiàng)是光力相互作用哈密頓，為耦合強(qiáng)度，L為處于腔鏡平衡位置時(shí)的長(zhǎng)度。最后一項(xiàng)為腔內(nèi)腔外相互作用哈密頓，，P為功率，κ為腔鏡弛豫速率。

計(jì)及腔內(nèi)光子損耗和量子噪聲，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可以用郎之萬(wàn)方程來(lái)描述:

(2)

考慮到研究系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)，需要對(duì)算符進(jìn)行線(xiàn)性化，即a=αs+δa，q=qs+δq以及p=ps+δp。將線(xiàn)性化的方程代入郎之萬(wàn)方程，會(huì)得到穩(wěn)態(tài)解，這里有效失諧Δ=Δ0-G20αs/ωm。同時(shí)得到漲落滿(mǎn)足的方程:

(3)

(4)

(5)

如果僅僅考慮αs是實(shí)數(shù)，即，則可以退化為:

(6)

這時(shí)與文獻(xiàn)[10]完全一致。

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，系數(shù)矩陣A的本征值具有負(fù)實(shí)部，方程(4)才穩(wěn)定，基于此可以得到以下兩個(gè)非平凡的判據(jù)，即:

(7)

(8)

當(dāng)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件得到滿(mǎn)足，可以計(jì)算穩(wěn)態(tài)關(guān)聯(lián)矩陣V滿(mǎn)足的方程:

(9)

這里有:

(10)

在此基礎(chǔ)上可以用En量度光力學(xué)糾纏。在連續(xù)變量系統(tǒng)中，有:

(11)

(12)

是4×4的方陣，而A，B，C為2×2的塊方陣。

圖2 (a)腔內(nèi)光子強(qiáng)度Is解分布示意圖，(b)系統(tǒng)光力學(xué)單、雙穩(wěn)相圖

2 數(shù)值結(jié)果討論與分析

(13)

圖3 漲落穩(wěn)定性相圖。第一、二行分別利用判據(jù)一、二來(lái)計(jì)算。第一、三列來(lái)自雙穩(wěn)的兩個(gè)解，中間一列為不穩(wěn)定的第三個(gè)解。綠色為不滿(mǎn)足判據(jù)的參數(shù)空間。

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用Routh-Hurwitz判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)漲落滿(mǎn)足的穩(wěn)定條件。當(dāng)且僅當(dāng)方程(13)的解同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)判據(jù)時(shí)，系統(tǒng)漲落的演化才會(huì)趨于穩(wěn)定。圖3表明:雙穩(wěn)機(jī)制下，雙穩(wěn)解中一個(gè)無(wú)條件滿(mǎn)足，另一個(gè)處處不滿(mǎn)足，而第三個(gè)不穩(wěn)定的解完全不滿(mǎn)足;而單穩(wěn)機(jī)制下，只有當(dāng)P＜ωcωm[Δ0(Δ20+9κ2)-(Δ20-3κ2)3/2]/27κG20時(shí)才不違背Routh-Hurwitz判據(jù)。只有滿(mǎn)足Routh-Hurwitz判據(jù)才可以進(jìn)一步計(jì)算糾纏。

圖4 單穩(wěn)和雙穩(wěn)機(jī)制下腔內(nèi)光子強(qiáng)度和光力糾纏。左右兩列分別對(duì)應(yīng)功率10mW和40mW，紅、藍(lán)標(biāo)記與圖3一致。

現(xiàn)在考察單、雙穩(wěn)機(jī)制下的光力糾纏。從圖4可知，無(wú)論是單穩(wěn)還是雙穩(wěn)機(jī)制，糾纏最大值與腔內(nèi)最大光子強(qiáng)度并不對(duì)應(yīng)。也即腔內(nèi)光子數(shù)最多時(shí)，盡管可以推動(dòng)腔鏡達(dá)到最大位移，但是并不意味著量子糾纏最大。反而是當(dāng)腔內(nèi)光子數(shù)目急速下降或者上升時(shí)候，量子糾纏最大。對(duì)于單穩(wěn)情況，這兩種情況都存在，是可逆的。而雙穩(wěn)情況，由于系統(tǒng)的連續(xù)性被破壞，所以不存在可逆。只有光子數(shù)目即將急劇增多時(shí)候，也就是在下支到上支轉(zhuǎn)換的邊界處量子糾纏最大。

3 結(jié)語(yǔ)

本論文研究了典型光力學(xué)系統(tǒng)中的腔場(chǎng)與可移動(dòng)腔鏡之間的量子糾纏行為。首先系統(tǒng)分析模型的穩(wěn)定情況，然后考察單、雙穩(wěn)機(jī)制下的光力糾纏特性。發(fā)現(xiàn)單穩(wěn)情況糾纏最大值并沒(méi)有出現(xiàn)在腔內(nèi)光子數(shù)最多的時(shí)候。而雙穩(wěn)情況下，最大糾纏出現(xiàn)在下支與與上支轉(zhuǎn)換的邊界處，并且不可逆。