幫你理解隨機事件的概率

我們知道,概率是事件固有的屬性,可以通過大量重復的試驗得到其近似值。隨機事件發生的概率是事件發生的可能性大小。概率大的事件在一次試驗中也可能不發生,但在一次試驗中事件發生與否都是有可能的。為了讓大家在實際問題中理解這個概念,下面就一起來探討幾個問題。

問題1：相傳古代有個國家,由于崇尚迷信,世代沿襲著一條奇特的法規：凡是死囚,在臨刑時要抽一次“生死簽”,即在兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣,由執法官監督,讓犯人當眾抽簽,如果抽到“死”字的簽,則立即處死;如果抽到“生”字的簽,則當場赦免。一次國王決定處死一個敢于“犯上”的大臣,為了不讓這個大臣得到半點獲得赦免的機會,他與幾個心腹密謀,暗中叮囑執法官,在兩張小紙片上都寫上“死”字。但最后“犯上”的大臣還是獲得赦免,你知道他是怎么做到的嗎?

若兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣,那么“犯上”的大臣抽到“生”字或抽到“死”字都是隨機事件,大臣免死的機會是。而兩張小紙片上都寫著“死”字,大臣被處死就成了必然事件。法規規定兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣,而事實上兩張小紙片上都寫著“死”字。大臣為了求生,只需將抽到的那張小紙片迅速吞下,而另一張沒有被抽到的小紙片上寫著“死”字,這樣就可以斷定大臣抽到并吞下的小紙片上寫的是“生”字,于是大臣可當場被赦免。

問題2：有人說：“一個骸子擲一次得到點數為2的概率是,這說明一個骸子擲6次會出現一次點數為2。”對此說法,在同學中出現了兩種不同的看法：

一些同學認為這種說法是正確的,他們的理由是：因為一個骸子擲一次得到點數為2的概率是,所以一個骸子擲6次得到一次點數為2的概率P(“得到一次點數為2”1,即“一個骸子擲6次會出現一次點數為2”是必然事件,因此一定會發生。

還有一些同學認為這種說法是錯誤的,但是他們卻講不出理由來。

你認為這種說法對嗎?請說出你的理由。

這種說法是錯誤的。認為說法正確的同學,其計算概率的方法是錯誤的。理由是：概率僅僅是反映一個隨機事件發生的可能性大小,并不是必然的結果。由此可見,認為說法正確的同學并沒有真正理解隨機事件的概率的有關概念。

問題3：甲、乙兩人做游戲,規定：同時擲兩枚骸子,若出現點數之和為偶數,則甲勝;若出現點數之和為奇數,則乙勝。乙說：“點數之和為2,3,4,…,12,共11種結果,其中偶數有6個,奇數有5個,所以這個游戲是不公平的,甲獲勝的可能性要大些。”你認為乙的說法對嗎?請說明理由。

乙的說法是不正確的。該游戲是公平的,擲兩枚骸子出現的點數之和共有36種等可能結果(如表1)。

表1

由表1不難看出,點數之和為偶數的結果有18種,點數之和為奇數的結果也有18種,所以出現點數之和為偶數和點數之和為奇數的概率都是,故這個游戲是公平的。

問題4：某公司在過去幾年內使用了某種型號的燈管1000支,該公司對這些燈管的使用壽命(單位：h)進行了統計,統計結果如表2所示。

表2

(1)請在表2中寫出各組的頻率。

(2)根據上述統計結果,估計燈管使用壽命不足1500h的概率。

(1)各組的頻率(從上到下)依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042。

(2)樣本中使用壽命不足1500h的頻數是48+121+208+223=600,所以樣本中使用壽命不足1500h的頻率是,即燈管使用壽命不足1500h的概率約為0.6。

友情提醒:概率意義下的“可能性”是大量隨機現象的客觀規律,與我們平時所說的“可能”“估計”是不同的。也就是說,單獨一次結果的不肯定性與積累結果的規律性,才是概率意義下的“可能性”,而日常生活中的“可能”“估計”側重于某次結果的偶然性。

所謂估算法求概率,就是用頻率估計概率。要理解概率的兩個含義:①概率是隨機事件發生可能性大小的度量,是隨機事件A的本質屬性,隨機事件A發生的概率是大量重復試驗中事件A發生的頻率的近似值。②由概率的定義可知,隨機事件A在一次試驗中發生與否是隨機的,但隨機中含有規律性,而概率就是其規律性在數量上的反映。