事件的關系與概率運算

1.事件的分類與概率

(1)必然事件：一定會發生的事件,用Ω表示,必然事件發生的概率為P(Ω)=1。

(2)不可能事件：一定不會發生的事件,用?表示,不可能事件發生的概率為P(?)=0。

(3)隨機事件：可能發生也可能不發生的事件,用字母A表示,隨機事件的概率為P(A)∈[0,1]。

2.事件的交、并運算

(1)交事件：若事件C發生當且僅當事件A與事件B同時發生,則稱事件C為事件A與事件B的交事件,記為A∩B。

多個事件的交事件：A1∩A2∩…∩An,即事件A1,A2,…,An同時發生。

(2)并事件：若事件C發生當且僅當事件A發生或事件B發生,則稱事件C為事件A與事件B的并事件,記為A∪B。

多個事件的并事件：A1∪A2∪…∪An,即事件A1,A2,…,An中至少有一個發生。

3.互斥事件與概率的加法公式

(1)互斥事件：若事件A與事件B的交事件A∩B為不可能事件,則稱事件A與事件B互斥,即事件A與事件B不可能同時發生。例如：投擲一枚均勻的骸子,設事件“出現1點”為事件A,“出現3點”為事件B,則兩者不可能同時發生,所以事件A與事件B互斥。

(2)若一項試驗中有n個基本事件：A1,A2,…,An,則每做一次試驗只能產生其中一個基本事件,所以A1,A2,…,An之間均不可能同時發生,從而A1,A2,…,An兩兩互斥。

(3)概率的加法公式(用于計算并事件)：若事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=P A()+P B()。例如：在上面的例子中,事件A∪B為“出現1點或出現3點”,由均勻的骸子可得所以根據概率的加法公式可得P(A∪B)=P A()+

(4)對立事件：若事件A與事件B的交事件A∩B為不可能事件,并事件A∪B為必然事件,則稱事件B為事件A的對立事件(也稱事件A為事件B的對立事件),記為也是我們常說的事件的“對立面”,對立事件的概率公式為

關于對立事件的幾點說明：①公式的證明：因為事件A與事件?,即事件A與事件,所以又P Ω()=1,于是可得

②此公式也提供了求概率的一種思路：即如果直接求事件A的概率所討論的情況較多時,可以考慮先求其對立事件的概率,再利用公式求解。

③對立事件的相互性：事件B為事件A的對立事件,同時事件A也為事件B的對立事件。

④對立與互斥的關系：對立關系要比互斥關系的“標準”更高一層。由對立事件的定義可知：事件A與事件B對立,則事件A與事件B一定互斥;反過來,如果事件A與事件B互斥,則事件A與事件B不一定對立(因為A∪B可能不是必然事件)。

例1從1,2,3,4,5這五個數中任取兩個數。

①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數;

②至少有一個是奇數和兩個都是奇數;

③至少有一個是奇數和兩個都是偶數;

④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數。

上述事件中,是對立事件的是( )。

A.① B.②④

C.③ D.①③

分析：理解互斥事件與對立事件的含義是解答本題的關鍵。互斥事件是指不可能同時發生的事件,互斥事件也叫互不相容事件。其中必有一個發生的兩個互斥事件叫作對立事件。

解：任取兩個數的所有可能結果為{兩個奇數,一個奇數一個偶數,兩個偶數}。

若兩個事件是對立事件,則它們一定是互斥事件。

下面分別判斷每種情況：

①兩個事件不是互斥事件;

②“至少有一個是奇數”包含“兩個都是奇數”的情況,所以兩個事件不是互斥事件;

③“至少有一個是奇數”包含“兩個都是奇數”和“一奇一偶”,所以與“兩個都是偶數”恰好是對立事件;

④“至少有一個是奇數”和“至少有一個是偶數”均包含“一奇一偶”的情況,所以兩個事件不是互斥事件。

綜上所述,只有③正確,應選C。

例2甲、乙兩人下棋,和棋的概率為,乙獲勝的概率為,求：

(1)甲獲勝的概率。

(2)甲不輸的概率。

分析：甲、乙兩人下棋,其結果有“甲勝”“和棋”“乙勝”三種,它們是互斥事件。“甲獲勝”可看成是“和棋或乙勝”的對立事件。“甲不輸”可看成是“甲勝”“和棋”這兩個互斥事件的并事件,也可看成“乙勝”的對立事件。

解：(1)“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件,所以“甲獲勝”的概率為

(2)(法1)設事件A為“甲不輸”,則事件A可看成是“甲勝”“和棋”這兩個互斥事件的并事件,所以

(法2)設事件A為“甲不輸”,則事件A可看成是“乙勝”的對立事件,所以P(A)=

例3經統計,在某展覽館處排隊等候驗證的人數及其概率如表1所示。

表1

(1)求至多2人排隊的概率。

(2)求至少1人排隊的概率。

分析：求事件的概率常轉化為求互斥事件的概率之和,要學會把一個事件分拆為幾個互斥事件。當直接計算事件的概率比較復雜(或不能直接計算)時,通常是求其對立事件的概率。

解：設沒有人排隊為事件A,恰有1人排隊為事件B,恰有2人排隊為事件C,至多2人排隊為事件D,至少1人排隊為事件E,則事件A,B,C兩兩互斥,事件A和事件E是對立事件,且D=A+B+C。

由表1中的數據可得P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3。

(1)至多2人排隊的概率為P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56。

(2)至少1人排隊的概率為P(E)=1-P(A)=1-0.1=0.9。