開關轉換器動態分析采用快速分析技術

如果采用網格節點(mesh-node)分析能很好地求解電路的傳遞函數，那么立即獲得一個有意義的符號公式通常是不可能的，需要額外的工作才能得出。應用經典的分析技術來獲得所謂的低熵表達式，即分數形式，從中您可識別增益、極點和零點，往往導致如Middlebrook博士曾在他的參考文獻[1]、[2]中提到的代數失效(algebraic paralysis)。在此，快速分析電路技術(FACTs)可幫助您基于在大學里學到的東西而擴展，以大大簡化分析。通過使用FACTs，不僅加快您的執行速度，而且最終結果將以有序的多項式形式出現，通常無需進一步的因子分解工作[3-4]。

本文首先介紹后文用于確定開關轉換器的控制到輸出傳遞函數的FACTs。這個主題很大，在此我們只談及表面，希望激勵您進一步挖掘這個主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級電感轉換器(SEPIC)工作于非連續導電模式(DCM)。PWM開關[5]將用于形成小信號模型。

快速分析技術(FACTs)簡介

FACTs背后的基本原理在于電路時間常數的確定τ=RC或τ=L/R，此時在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當激勵信號降至0時和響應清0時，通過使用這種技術，您將體會到確定特定傳遞函數有多快和直觀?；谶@種方法的分析技術始于幾十年前，如參考文獻[6]、[7]中記載的。

傳遞函數是一種數學關系，它把激勵信號、激勵物和由這種激勵產生的響應信號聯系起來。如果我們考慮一個線性時不變(LTI)系統無延時，具有靜態增益H0，例如開關轉換器的線性理想功率級，其連接控制信號Verr(激勵)和輸出Vout(響應)的傳遞函數H可表示為：

(1)

首項H0是系統在s = 0評估表現出的增益或衰減，該項將帶傳遞函數的單位(或維度)，如果有的話。如果響應和激勵都用伏特表示，在此表示為Verr和Vout，H是沒有單位的。分子N(s)控制傳遞函數的零點，數學意義上，零點是函數幅值為0的根。通過FACTs，我們用數學抽象思維輕松地揭開這些零點。我們不會像通常在諧波分析(s=jω)中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸，而是覆蓋考慮到負數根的整個平面。因此，如果電路存在零點，將表現為當輸入信號調到零角頻率sz時，無信號的輸出響應。在這種情況下，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號傳播，響應為0，盡管存在激勵源：當變形的電路在s=sz點被激勵時，在信號路徑的串聯阻抗趨于無窮或分支將該激勵分流到地面。請注意，這種方便的數學抽象通過觀察提供了巨大的幫助來找到零點，通常無需寫一行無源電路的代數。圖1提供了簡單的流程圖，詳細介紹了過程。關于這種方法的更多細節見參考文獻[8]。

圖1　　　　這個流程圖將指導您用最簡單的方法確定零點，在觀察無用時，將需要進行雙重抵消注入或NDI

分母D(s)由電路自然時間常數構成。通過設置激勵信號為0和確定從電路中臨時移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗，來得出這些時間常數。通過“觀察”，可想象把一個歐姆表置于暫時移除的儲能元件(C或L)，并讀取它顯示的電阻。這其實是個相當簡單的運用，正如圖2中的第二個流程圖所詳述的。

圖2　該流程圖解釋了用于確定電路時間常數的方法

看到圖3是一個涉及注入源的一階無源電路加偏壓于左邊網絡。輸入信號Vin通過網格和節點傳播形成所看到的電阻R3上的響應Vout。我們感興趣的是導出連接Vout和Vin的傳遞函數G。

圖3　　　　確定電路的時間常數需要將激勵源設為0，并觀察從電路中暫時移除的能量存儲元件所提供的電阻

為確定本例電路的時間常數，將激勵源設為0(由短路代替0 V電壓源，開路代替0 A電流源)，拆下電容器。然后，連接一個歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4指導您進行這些步驟。

圖4　由短路代替0V源后確定電容器端的電阻

如果用圖4的做法，您“看到” R1與R2并聯后與R4串聯，所有這些與R3并聯后與rC串聯。該電路的時間常數只通過R和C1即可計算得出：

τ1=[rC+(R4+R1||R2)||R3|C1

(2)

可證明第一階系統的極點是其時間常數的倒數。因此：

(3)

現在，s=0時該電路的準靜態增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應用于圖3的電路，繪制成如圖5所示的電路。想象在R4前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

(4)

輸出電阻Rth是R1與R2并聯的值。因此完整的傳遞函數涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯的R4和加載的R3所構成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：

(5)

圖5　斷開直流電路中的電容器，計算簡單的電阻配置的傳遞函數

基本就是這些了，我們正錯過零點。在前文提到，零點通過阻斷激勵信號的傳播而在電路中表現出來，產生一個無信號的輸出響應(見圖1)。若我們考慮一個變形的電路，其中C1由1/sC1代替，如圖6所示，當激勵源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應？無信號響應只意味流過R3的電流為0。這不是短路，而是相當于虛擬的接地。

圖6　　　　在這變形的電路中，當串聯的rC和C1轉化為變形的短路，響應消失，R3中無電流流過

如果在R3中沒有電流，那么串聯的rC和1/sC1轉化為短路：

(6)

根sz是我們想要的零點位置：

(7)

從而有：

(8)

現在我們可組合所有這些結果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數：

(9)

這就是所謂的低熵表達式，從中您可立即識別靜態增益G0、極點ωp和零點ωz。高熵表達式將在考慮阻抗分壓器時通過施加大規模外力到原來的電路來獲得，如：

(10)

您不只在推導表達式時可能會出錯，而且將結果格式化到如式(9)這樣需要更多的精力。另外，請注意，在這個特定的例子中，在寫式(9)時我們沒有寫一行代數。如果我們后來發現一個錯誤，那么很容易回到一個單獨的圖紙并單獨修復它。式(9)的校正很簡單，現嘗試對式(10)進行相同的修正，您可能會從頭開始。

FACTs應用于二階系統

FACTs同樣適用于n階無源或有源電路。通過計算狀態變量是獨立的儲能元件的數量來確定電路的階數。若我們考慮一個具有有限的靜態增益H0的二階系統，其傳遞函數可表示如下：

(11)

當H0帶傳遞函數的單位，那么N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是s。當a1無信號響應，b1的激勵源為0，可將確定的時間常數相加。對于二階系數a2或b2，維度是時間的平方[s2]，將時間常數結合為一個產物。然而，在這時間常數產物中，您重用了已經確定為a1或b1的一個時間常數，而二階時間常數的確定需要一個不同的符號：

(12)

在這個定義中，設置標號出現在“冪” 中的儲能元件處于高頻狀態(電容被短路，電感被開路)，當我們暫時從電路中移除二階元件端(參見下標)，您可從中確定電阻。當a2必須為無信號的輸出和b2的激勵源減為0時，可以運用此法。當然，當觀察有用時，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點難以理解，但沒有什么不可克服的，我們用幾句話解釋您就會明白。

圖7是一個經典的二階濾波器，用于確定在連續導通模式(CCM)中工作的電壓模式降壓轉換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個激勵信號Iout與響應信號Vout的一個傳遞函數。此處，Iout是已安裝的測試生成器，而Vout是其兩端產生的電壓。要從式(11)中確定各種系數，我們可按照圖2的流程圖，從s=0開始，如圖7所示，電感短路，電容開路。該電路是簡單的，電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡單的并列組合：

R0=rL||Rload

(13)

這個電路中有零點嗎？我們看看圖8所示的變形電路。當激勵源電流Iout調為零角頻率sz時，什么樣的元件組合將使響應Vout為0。我們可發現兩個變形的短路涉及rL-L1和rc-C2。

圖7　　　　工作于CCM的降壓轉換器的輸出阻抗的確定是一個很好的例子，演示了FACTs如何簡化分析

圖8　　　　如果阻抗Z1或Z2轉換為短路，響應Vout為無信號輸出

立即確定這兩個阻抗的根：

(15)

因此分母N(s)表示為：

(16)

分母D(s)的一階系數b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處于直流狀態(開路)，有τ1，然后看驅動C2而L1設置為直流狀態(短路)時的阻抗，得出τ2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：

C2[(rL||Rload)+rC|

(17)

圖9　　　　在選定的組件終端中，當第二個組件處于直流狀態時，您會得出阻抗為多少？

(18)

現在我們用所有的成分來組合最終的傳遞函數，定義為：

Zout(s)=(rL||Rload)×

(19)

我們已經確定了這個傳遞函數，而沒有寫一行代數，只是把該電路拆分為幾個簡單的草圖個別解決。此外，正如預期的那樣，式(19)已經是一個規范的表達式，可以輕易地看到一個靜態增益、兩個零點和一個可用諧振分量ω0和品質因數Q進一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2和Rload的并聯組合，我們不可能得到這一結果。

采用FACTs，通過觀察可導出傳遞函數，特別是對于無源電路。由于電路復雜，包括電壓或電流控制源，觀察

圖10　　　　在選定的組件終端中，當第二個組件處于高頻狀態時，您會得出阻抗為多少？

起來沒那么明顯，您需要利用經典的網格和節點分析。但FACTs提供了幾個優點：由于將電路拆分為用于確定最終的多項式表達式系數的小的單個草圖，因此如果在最終的表達式中發現一個錯誤，總是可以回到一個特定的繪圖并個別修正。此外，當確定與傳遞函數的ai和bi相關的項時，自然會得到一個多項式表達式，而不用投入進一步的精力來收集和重新排列這些項。最后，如參考文獻[4]所述，在復雜的無源和有源電路中，SPICE對驗證個別極點和零點的計算有很大幫助。

工作于DCM的帶耦合電感的SEPIC

SEPIC是一種流行的結構，常用于輸出電壓必須小于或大于輸入的應用，不會像采用Buck-Boost轉換器那樣損失極性。SEPIC可采用耦合或非耦合電感工作在連續導通模式(CCM)或非連續導通模式(DCM)。參考文獻[9]中探討了耦合電感的好處，這里不作討論，我們的興趣在于確定耦合電感的SEPIC 在工作于DCM時的輸出到控制的傳遞函數。圖11代表參考文獻[10]中所述的自動切換電壓控制模式的PWM開關和采用一個SEPIC配置的連接，特意減少載荷以強制實施DCM，在啟動序列完成后施加一個臨時步驟。在類似的工作條件下捕獲并仿真一個逐周期電路。

圖11　第一個SEPIC采用平均模型，第二個實施逐周期法

運行一個仿真來比較兩個電路的輸出響應。如圖12所示，兩個電路的響應非常相近。曲線的左邊描述了啟動序列，右邊部分顯示了兩個模型對負載階躍的響應。在這一階段具有相同的響應，第一次表明平均大信號模型正確地仿真SEPIC內部，我們可進行小信號版本。

圖12　平均模型與逐周期模型的瞬態響應完全符合

DCM PWM開關的大信號模型由式(10)中推導出的小信號版本所代替，與參考文獻[5]中描述的不同。兩個模型得出了相同的分析，但Vorpérian博士在參考文獻[5]中考慮的是一個常見的配置(C端是接地的)，而我們為了建立一個自動切換的DCM-CCM模型，保留了原普通無源配置。采用DCM PWM開關的小信號模型更新的電路圖如圖13所示。右邊的參數列表計算分析所需的所有系數k。

圖13　　　　這是工作在DCM模式的SEPIC的小信號模型，節點d1是占空比偏差和注入點，所有小信號系數都自動出現在參數窗口

確定準靜態增益

為了確定準靜態增益，需要按照圖2使所有電感短路，所有電容開路。這正是SPICE在計算工作偏置點時所做的工作。然后重新排列所有的源和組件以簡化電路，使其更易于分析。當您做這工作時，建議您始終運行一個全面的檢查，確定新電路的動態響應與圖13完美匹配。如果有任何偏差都表明您出錯了，或者簡化中的假設過于樂觀：重復該做法直到幅值和相位完美匹配為止。組合出圖14的電路。

圖14　這是用來確定準靜態增益H0的最終直流電路

幾行代數將使我們得到輸出電壓表達式：

(20)

(21)

將式(20)中的Ic代入式(21)并求解Vout，得出：

(22)

該小信號準靜態增益簡單地表示為：

(23)

時間常數的確定

我們將采用FACTs并單獨確定電路的時間常數，而不是用圖13的完整原理立刻求解整個傳遞函數。這種方法提供了一個優勢，以處理您通過對單個草圖的SPICE仿真獲得的結果。這大大有助于逐步前進和跟蹤錯誤，而不至于在大量的工作時間后才發現最終的結果是錯誤的！

為了確定時間常數，將激勵源減為0(請檢查圖2)。

在此，由于我們想要控制到輸出的傳遞函數，激勵源是d1。將其減為0有助于簡化電路，如圖15所示。

圖15　將激勵源減為0有助于簡化電路，在此我們從驅動電感L1的阻抗開始

可以用幾個公式來描述這個電路，我們知道IC= IT：

VT=V(a)-V(c)

(24)

V(a)=RloadI1

(25)

(26)

V(c)=k4V(a)+k5IC+k6V(a)-k6V(c)

(27)

將式(26)代入式(27)，然后解出V(c)，替代式(26)中的V(c)解得V(a)，然后可寫

(28)

如果您重新排列和由圖13的定義替換系數k，得出時間常數τ1的定義：

(29)

二階時間次常數指的是從C2端看到的阻抗，而L1是短路的。新的電路如圖16所示。由于L1短路， a和c端在一起，簡化更新的電路為右邊的圖片。

圖16　使電感短路真正簡化電路

再一次，幾個簡單的方程會很快地讓您得出結果：

(31)

將式(30)代入式(31)，然后解得VT并重新整理?？梢园l現：

(32)

如果您知道試圖確定涉及C3的三階時間常數，變壓器配置(完美耦合)使其兩端電壓等于0 V：在動態傳遞函數中電容器不起作用。因此第一個系數b1定義為：

(33)

二階系數

對于二階系數，將設置電容C2處于其高頻狀態(以短路代替它)，同時將確定驅動電感L1的阻抗。圖17說明了這種方法。因為輸出因C2短路，節點a和c都處于相同的0 V電勢。電路簡化為右側示意圖。

圖17　　　　二階系數設置儲能元件之一處于其高頻狀態(C2)，同時您可確定電感兩端的電阻

可寫出描述VT電壓的第一個方程。觀察到： IT和IC是相同的,VT=-V(c)，有

VT=-(k5IC-k6V(c))=-(k5IT+k6VT)→

VT(1+k6)=-k5IT

(34)

因式分解VT/IT，L1兩端的阻抗為：

(35)

(36)

如果認為Vout= MVin，b2系數表示為：

(37)

合并確定的時間常數，得出分母D(s)：

(38)

如果考慮一個低Q值的近似值，這二階分母可以近似由兩級聯極點定義為：

(40)

和合并為：

(41)

零點的確定

如上文所述，當激勵源調至零角頻率sz，變形電路的響應為無信號輸出(見圖1)。該運用包括將激勵源復原和確定無信號輸出的變形電路的條件。圖18所示為需要研究的更新電路。無信號輸出的有趣之處在于其傳播至其它節點。例如，如果Vout=0 V，然后由于變壓器高邊連接，節點a也處于0 V，所有涉及該節點的表達式可以簡化為如圖18所示。如果輸出無信號，則電流I1也為0，這意味著Ic= I3。

節點c的電壓定義為：

(42)

因此，電流Ic等于節點c的電壓除以L1的阻抗。

(43)

而電流I3等于：

I3(s)=k1D(s)-k2V(c)=k1D(s)-k2sL1Ic(s)

(44)

現將式(43)代入式(44)，然后視Ic= I3：

(45)

求解s，將系數k的值換為它們在圖13中的值，重新整理，會發現

(46)

圖18　在s=sz的特定條件下，觀察變形的電路，無信號響應

這是個正的根源，因此為右半平面零點。通過收集所有的部分，發現極點和零點實際上是一個DCM buck-boost轉換器的極點和零點，而得出完整的傳遞函數：

(47)

及

(50)

和

(51)

最后檢查，比較Mathcad和圖11大信號模型的SPICE仿真的動態響應。如圖19所示，曲線完美重合。

圖19　Mathcad和SPICE提供完全相同的響應(曲線完美疊加)

另一個驗證是由采用不同的平均模型(架構參見參考文獻[11])仿真相同的SEPIC結構構建。這也是一個自動

切換的CCM-DCM模型，但走線方式稍有不同。圖20所示為兩種平均模型采用一個類似的SEPIC架構。

圖20　CoPEC平均模型包括單獨的開關和二極管連接

圖21證實了兩個交流響應在相位和幅值上完全相同。

圖21　DCM PWM開關和CoPEC DCM模型提供相同的動態響應

總　結

[1] R D Middlebrook.Methods of Design-Oriented Analysis:Low-Entropy Expressions,Frontiers in Education Conference,Twenty-First Annual conference,Santa-Barbara,1992.

[2] R D Middlebrook.Null Double Injection and the Extra Element Theorem[J].IEEE Transactions on Education,1989,32(3).

[3] V Vorpérian.Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits[M].Cambridge:Cambridge University Press,2002.

[4] C Basso.Linear Circuit Transfer Functions-An Introduction to Fast Analytical Techniques,Wiley, 2016.

[5] V Vorpérian.Simplified Analysis of PWM Converters Using the Model of the PWM Switch,Parts I and II[J].Transactions on Aerospace and Electronics Systems,1990,26(3).

[6] D Feucht.Design-Oriented Circuit Dynamics[EB/OL].[2018-02].http://www.edn.com/electronics-blogs/outside-the-box-/4404226/Design-oriented-circuit-dynamics

[7] D Peter.We Can do Better:A Proven,Intuitive,Efficient and Practical Design-Oriented Circuit Analysis Paradigm is Available,so why aren’t we using it to teach our Students? [EB/OL].[2018-03].http://www.icee.usm.edu/ICEE/conferences/asee2007/papers/1362_WE_CAN_DO_BETTER__A_PROVEN__INTUITIVE__E.pdf.

[8] C Basso.Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling[EB/OL].[2018-03].http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm.

[9] J Betten.Benefits of a coupled-inductor SEPIC,slyt411,application note,Texas-Instruments.

[10] C Basso.Switch-Mode Power Supplies:SPICE Simulation and Practical Designs,McGraw-Hill, 2nd edition,2014.

[11] D Maksimovic,R Erickson.Advances in Averaged Switch Modeling and Simulation,Power Electronic Specialist Conference Professional Seminar,Charleston,1999.