脆性材料復合型裂紋斷裂準則

楊 軍, 李 強

(四川省地質工程勘察院， 四川成都 610072)

為了研究裂紋的起裂和擴展,許多學者從應力、應變能密度、能量等多種角度分析建立了相應的斷裂準則。Erdogan 和 Sih[1]首次提出了適用于復合型裂紋的最大周向應力準則(即MTS準則),該準則假定裂紋沿最大周向應力σmax擴展。Sih[2]提出最小應變能密度準則(SED 準則)，該準則的基本假定為：當材料的應變能密度S達到臨界應變能密度Scr裂紋開始擴展。Theocaris 和 Andrianopoulos[3]基于von Mises屈服準則，認為裂紋沿著最大彈性應變能密度方向開裂，提出T準則，該準則對于金屬材料非常適用。Ukadgaonkera和 Awasare[4]提出修正的T準則，即通過應力張量第一不變量(I1)和應力偏量第二不變量(J2)預測裂紋開裂。Yehia 等[5]提出最大體積應變能密度準則，即 NT 準則，此外，Yehia[6]討論了在塑性核心區的基礎上定義斷裂準則的可行性，并且克服了修正的T 準則的一致性問題，提出了Y 準則。Khan 和 Khraisheh[7]提出了修訂的MTS 準則，該準則適用于延展性材料。基于von Mises屈服條件推導出裂紋尖端塑性區可變半徑，Khan 和 Khraisheh[8]導出了裂紋尖端塑性區半徑，并提出了R準則，指出裂紋將會沿著從裂紋尖端到彈塑性邊界的最短路徑擴展，因為裂紋沿著該路徑擴展所需要的能量最小。

可以看出沒有任何一個準則可以與大部分材料的實驗結果相吻合。造成此現象的其中一個原因是，這些經典準則的建立并不是根據材料的實際性能或者實驗的加載條件。因此，基于對材料和試件結構影響理論預測的考量，我們建立一個改進的SED新準則，與文獻中提供的混凝土斷裂實驗數據進行對比驗證，發現它比傳統的SED斷裂準則能更好的預測脆性材料的斷裂行為。此改進的方法還適用于其他傳統準則，但是由于篇幅限制，我們在本文中只修正SED準則。

1 建立新的斷裂準則

1.1 SED準則

SED準則是將最小應變能密度S作為判斷材料破壞或斷裂的參數，根據Sih[2]， 可以通過下式計算得到

S=a11KI2+2a12KIKII+a22KII2

(1)

式中：KI和KII分別是I型和II型應力強度因子，aij是與極坐標θ有關的函數，定義如下

(2)

在式(2)中，μ是剪切模量，對于平面應力問題κ=(3-ν)/(1+ν)，平面應變問題κ=3-4ν。

SED準則假設當S達到最小值時，裂紋開始擴展，可以通過下式表示

(3)

(4)

θ0是裂紋初始角，對于特定的混合度，通過式(3)我們可得到對應的裂紋初始角。對于純I型裂紋，θ0=0，將之代入式(1)，即可獲得式(4)。對于純II型，KI=0，θ0= arccos[(κ-1)/6]。通過比較實驗結果與上文提到的經典準則， 代入式(1)，可以得到

(5)

使式(4)和式(5)相等，在平面應力問題中取ν=1/3，KIIC和KIC的比值

KIIc/KIc=1.0215

(6)

可以看出，對于泊松比是常數的情況下，由SED準則計算得到的I型斷裂韌度和II型斷裂韌度比值也是常數，也就是說對于某種確定的材料，它的II型斷裂韌度是確定的。然而，事實上盡管作為常數的I型斷裂韌度是材料參數，但是II型斷裂韌度卻不能作為材料參數，它會隨著不同的幾何形狀以及加載條件變化，因此，傳統的SED準則需要通過修正以更精確的預測材料的破壞和斷裂。

1.2 MSED準則

在傳統SED準則中，臨界值是根據I型裂紋的斷裂計算得到，只含有KIc(式(4)), 這時只能精確預測純I型裂紋或者I型主導裂紋，會低估或高估混合型或者純II型斷裂。相反的，如果臨界值里只包含純II型，也只是能較好的預測II型裂紋。因此，為了更好的預測裂紋擴展，將I型斷裂韌度KIc和II型斷裂韌度KIIc同時引進到準則中，構造一個新的臨界值，以提高斷裂準則的精確度。

定義Scr為

Scr=φSI+ψSII

(7)

式中：φ和ψ是定義的混合度參數

(8)

(9)

由式(8)、式(9)可以看出φ+ψ= 1, 并且對于純I型裂紋，即φ=1,ψ= 0，Scr=SI(或者KI=KIc)；對于純II型裂紋，即φ= 0,ψ= 1，Scr=SII(或者KII=KIIc)。在式(7)中，KIc和KIIc同時包含在臨界值Scr中，因此改進的新準則可以更加準確地預測混合型裂紋。

將式(8)、式(9)代入到式(7)

(10)

因此，改進的SED準則—MSED準則，定義為

(11)

(12)

2 混凝土半圓盤實驗

Ameri等[9]通過含裂紋的半圓盤試件(Semi-circular bend specimen (SCB))測量了瀝青混凝土的混合型斷裂韌度。半圓盤試件有三種不同的加載方式(圖1)，圖1(a)是傳統的斜裂紋對稱三點彎曲，根據數值模擬結果，不同的裂紋傾斜角對應不同的I-II型混合度；圖1(b)為偏置裂紋非對稱加載，該模型只能獲得純II型和I-II混合型的斷裂韌度；圖1(c)為中心直裂紋受非對稱荷載作用的半圓盤三點彎曲，調整支撐距離可得到不同的斷裂混合度。制作的SCB試件直徑15 cm, 厚3 cm，預制裂紋長2 cm。最大骨粒尺度為12.5 mm，孔隙率4 %。該組實驗在大約-10 ℃的溫度下進行，加載速率為3 mm/min。

改進修正的半圓盤三點彎曲實驗結果(SCB-2，圖1(c))與經典MTS準則和MSED準則進行比較(圖2)。瀝青混凝土的泊松比在低溫下一般低于0.2，因此在計算分析過程中，泊松比取為0.17。

(a) 經典SCB試件

(b) 修正的SCB-1試件

(c) 修正的SCB-2試件圖1 三種半圓盤加載方式[9]

3 結果與討論

瀝青混凝土混合型半圓盤三點彎曲實驗(修正的SCB-2試件)測得的純I型斷裂韌度和純II型斷裂韌度分別為KIc=0.8575MPa·m1/2和KIIc=0.9844MPa·m1/2。修正的MSED準則與其他傳統的經典準則相比，它需要實驗的II型斷裂韌度值，因此一些常見的不能測量純II型的實驗，例如單向拉伸和矩形梁三點彎曲，無法用MSED準則預測和驗證。然而，目前國際巖石力學學會對于混合型斷裂提出的標準測量方法，如巴西圓盤，是適用于純I型到純II型任意混合度的構件，除此之外，矩形梁四點彎曲、對角拉伸方形板、以及本文引用的半圓盤三點彎曲都是典型的可測量全混合度的實驗方案。MSED準則的計算過程如下：

將式(1)、 式(8)、 式(9)代入式(12)，得到：

圖2 MSED及MTS準則與半圓盤實驗結果對比

(13)

式(13)右邊的分子分母同除以KIIKIc，并且設KIIc/KIc=m，根據文獻[9]的實驗結果，可知I型和II型斷裂韌度比值為m=1.148，因此我們可以得到

(14)

式(14)左右兩邊分別同除以KI2和KII2，

(15)

(16)

對于特定的I/II型混合度，根據式(11)可以計算得到對應的起裂角θ0，然后代入到式(2)中，再結合式(15)、式(16)，就可繪制出KI/KIc與KII/KIc的包絡圖(圖2)。

由圖2可以看出來，由于骨粒隨機分布，實驗結果的離散型較大，但是MSED仍然與結果非常吻合，而MTS準則明顯低于實驗結果的平均值。值得注意的是，MTS與泊松比無關，而MSED準則無論是平面應力狀態還是平面應變狀態均與泊松比有關。此處選取瀝青混凝土的泊松比0.17。

4 結論

通過討論可以得到以下結論：

(1)基于傳統的SED準則，推導出了MSED準則，能更精確的預測實驗結果。

(2)MSED準則不僅與I型斷裂韌度KIc有關，而且與II型斷裂韌度KIIc有關，因此采用該準則須提供KIIc的測量值，半圓盤三點彎曲試件是應用廣泛的可測量任意混合度的構件，將MSED準則與文獻的瀝青混凝土結果進行對比發現，理論與實驗結果吻合度非常好。

(3)MSED準則與傳統的準則不同，它是依靠實驗實際的加載條件及構建形狀進行調整的，而其他準則只會因選取的泊松比不同略有改變，如SED準則；或者預測結果不會有任何變化，例如MTS準則。