激勵中含有諧波成分時的工況模態參數辨識

于亮亮　宋漢文

摘要：在實際工程中，工況模態分析（operational modal analysis，OMA）方法得到了廣泛應用。當激勵中含有諧波并且諧波頻率靠近系統固有頻率時，可以通過添加極點來修改傳統OMA算法以提高模態辨識精度?；谧匀患罴夹g（natural excitation technique），推導了添加極點的理論依據。當系統所受的激勵中含有諧波成分時，將其響應的相關函數表示為系統受白噪聲激勵時響應的相關函數與一系列諧波的疊加。基于傳統OMA方法進行模態參數辨識時，諧波不會改變原來系統極點的數學表達，但是當諧波頻率靠近系統固有頻率時會影響OMA算法對系統固有極點的擬合準確性。在諧波頻率已知時，通過添加諧波造成的極點，可以有效提高OMA算法對系統固有頻率和阻尼比的辨識精度。通過仿真和實驗，進一步驗證了所提出的理論。

關鍵詞：結構振動；參數識別；工況模態分析；環境激勵；最小特征系統實現算法

中圖分類號：O327；O321 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0074-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.009

引言

工況模態分析技術（operational modal analy-sis，OMA）是一類只基于系統工作時或受環境激勵時的響應信號而進行系統模態參數辨識的方法。由于系統所受的激勵不可測量，通常假設為白噪聲。它的發展可以追溯到1965年，Clarkson和Mere-er提出使用互相關函數估計承受白噪聲激勵下結構的頻率響應函數，這也是在激勵未知的情況下，使用相關函數替代脈沖響應函數的思想起源。經過40多年的發展，OMA日趨成熟，并已經拓寬到了應用更為廣泛的工程領域。

白噪聲是一種理想假設，而激勵中含有簡諧成分的情況，在旋轉機械系統中很常見。例如風機、汽車、船舶等，由于旋轉部件偏心質量的存在，在受到的環境激勵中，往往疊加有簡諧成分。為防止出現虛假結構模態，最初人們只是簡單地通過“陷波器（Notch Filter）”或者帶阻濾波器的方法將響應中的簡諧成分濾除_3]，然而，濾波會導致系統響應信號的相位信息的丟失，并且在實際應用中，濾波通常會“污染”測量得到的數據，改變系統的極點。Brinck-er給“諧波模態”作了定義，并且根據簡諧波與隨機數的概率密度函數（probability density function）的形狀不一樣，定義了一個諧波指示函數，通過頻域分解技術（frequency domain decomposition，FDD）來去除諧波影響。Jacobsen在Brincker的基礎上，先判斷出諧波的頻率，基于單自由度系統，在響應的功率譜密度函數上，通過線性插值法將由諧波引起的峰直接移除。Devriendt將傳遞函數引入到諧波辨識模型中，通過兩次不同位置的實驗，分別求傳遞函數來消除諧波的影響以辨識系統模態參數。Agneni用概率密度法檢測出諧波模態，并與峭度法進行了對比，用Hilbert變換的方法構造出“頻響函數”并識別出諧波模態參數，然后重構諧波模態的“頻響函數”，再與原“頻響函數”相減以去除諧波模態的影響。Araujo和Laier對不同參考點組成的功率譜密度傳遞矩陣進行了奇異值分解，在環境激勵為有色噪聲的情況下辨識了系統的固有頻率和模態振型。這一方法不依賴于激勵的形式，也就不要求激勵必須滿足白噪聲的假設。對于諧波頻率接近固有頻率的情形，濾波方法或者插值方法會對系統固有頻率的辨識產生很大的影響。Mohanty在諧波頻率已知的前提下，通過往傳統OMA辨識算法中添加極點的方式，修改了Ibrahim time do-main technique（ITD），least squares complex ex-ponential method（LSCE），single station timedomain（SSTD），eigensystem realization algo-rithm（ERA）等算法，以辨識系統的模態參數。chomette將修改的LSCE算法運用在豎琴的模態參數辨識中，驗證了該算法的有效性?；贛o-hanty的思路，董霄峰通過修改SSI算法，來辨識系統的模態參數，并將這一方法運用在陸上風機結構的模態測試中，取得了良好效果。

文獻均是通過往現有算法中添加極點的方式來修改已有算法，但沒有給出添加極點的理論依據。本文在上述工作基礎上，并基于自然激勵技術，從相關函數出發，論證了添加極點的理論依據。首先推導了自然激勵技術在復模態系統中的推廣形式，然后推導出激勵中含有諧波成分時響應的相關函數表達式，證明了激勵中諧波成分不會影響辨識算法中系統極點的數學表達，給出了往現有算法中添加極點的依據。最后通過仿真及實驗進一步證實了本文結論。

1基本原理

1.1系統受白噪聲及諧波的共同激勵

N（N≥1）自由度線性定常系統強迫振動方程用矩陣形式表示為

式（12）等號右邊的第一項與脈沖響應函數進行比較，有著相似的對應形式，其中包含了振動系統模態頻率、阻尼比和模態向量等信息，用其替換脈沖響應函數代人到傳統實驗模態分析方法中，可以辨識出系統的模態參數。而式（12）等號右邊的第二項則為與激勵諧波同頻率的諧波，在利用傳統ERA方法對R_ij（T）進行曲線擬合時，將會得到L個阻尼為零的極點。

進一步，當w_k靠近系統的固有頻率時，正弦成分的影響會導致系統的固有極點不能夠很好地通過曲線擬合辨識出來。因此在曲線擬合之前通過修改ERA算法，將諧波成分的極點信息先寫入到ERA算法中。

1.2修改的ERA算法

式（1）描述的系統可由下列狀態方程表示

（13）式中z（k）為t_k=k△t時刻系統的狀態向量；△t為采樣間隔；x（k）是在k△t時刻的實測響應向量；f（k）是在kAt時刻系統的輸入向量；A為系統矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣。

在OMA中，脈沖響應函數也可以由相關函數來代替。因此，自由響應的最小實現問題常用相關函數的最小實現問題來代替。

為辨識系統矩陣A，首先構造Hankel矩陣，

由式（14），分別令k=0，k=1可得H（0）和H（1）。對于線性定常系統，H（0）與A，JB及c之間存在如下關系

由式（15）及式（16）可以得到系統矩陣A的最小實現形式A^r，進而可以辨識系統的模態頻率、阻尼比和振型。

圖2所示響應的相關函數中包含了不衰減的諧波成分，進一步考察發現，諧波頻率與激勵中諧波頻率相同。這驗證了式（12）將相關函數寫成兩部分的合理性。

運用傳統ERA方法辨識系統的模態參數，其穩態圖如圖3（a）所示。

傳統ERA在辨識第3階模態參數時，由于諧波的頻率離系統的固有頻率很近，導致算法不能夠穩定地擬合出系統的極點。其辨識的第3階頻率及阻尼比如表1所示。

通過表1，對比辨識值與給定值，頻率明顯偏小，阻尼也有一定的誤差。

運用修改過的ERA方法辨識系統的模態參數，穩態圖如圖3（b）所示。通過添加諧波成分形成的極點，曲線擬合的過程中可以快速穩定地找到系統固有頻率處的極點。其辨識的第3階頻率及阻尼比如表2所示。

通過表2，對比辨識值與給定值，頻率與給定值相差不大，阻尼也與給定值之間誤差很小。

對比圖3（a）和圖3（b），修改的ERA算法可以很好地擬合出系統的固有極點，而不受諧波成分的影響。對比表1和表2，通過添加諧波引起的極點，可以比傳統算法更快速準確地辨識出系統的固有頻率和阻尼比。

3實驗研究

為了驗證本文的理論，在實驗室所能提供的技術支持的基礎上，以一根鋼制梁為對象進行了實驗研究，如圖4所示。

3.1受純白噪聲激勵

3.2受白噪聲及諧波共同激勵

對比圖5（a）與圖5（b），通過添加諧波引起的極點，系統可以快速擬合出系統的固有極點。傳統ERA及修改的ERA辨識的梁的固有頻率及阻尼比如表4所示。

圖5和表4表明，修改的ERA在辨識系統的固有頻率與阻尼時比傳統ERA更穩定更準確更快速。

4結論

基于NExT理論，從相關函數出發，本文推導了由添加極點來修改傳統OMA算法的理論依據。結論如下：

1）當系統的激勵中含有諧波成分時，推導出響應的相關函數，并將其表示為系統受白噪聲激勵時響應的相關函數與一系列諧波的疊加。

2）當激勵中含有諧波成分時，證明了基于傳統ERA方法進行模態參數辨識，諧波不會改變原來系統極點的數學表達，但是當諧波頻率靠近系統固有頻率時會影響ERA算法對系統固有極點的擬合準確性。

3）事先測試出諧波頻率，通過往傳統ERA算法中添加諧波引起的極點，提高了ERA算法對系統固有頻率和阻尼比的辨識精度。

文中提出的方法不僅適用于文中提到的算例和實驗，也適應用于其他的工程實際應用。