一種簡單有效的TDOA-FDOA-AOA目標定位閉式解

鄧　兵， 孫正波， 楊　樂

(1. 盲信號處理重點實驗室，四川 成都 610041;2. 江南大學物聯(lián)網工程學院，江蘇 無錫 214122)

作為一個經典問題，無源定位技術在雷達、通信、導航和無線網絡等領域存在著廣泛的應用[1-5]．一般常見的定位方法是利用諸如到達時間差(Time Difference Of Arrival，TDOA)[1]、到達角度(Angle Of Arrival，AOA)[2]等測量參數或者它們的組合來實現目標定位．如果觀測站與目標之間存在相對運動，則到達頻率差(Frequency Difference Of Arrival，FDOA)[3]也可以被加以利用．截止目前，對TDOA、FDOA、AOA單一或者兩兩組合定位體制的研究已有較多成果[4-8]，但針對三者聯(lián)合的定位體制研究較少．此外，由于測量參數與目標位置、速度之間的高度非線性，使得目標狀態(tài)求解成為一個必須面對的難題．

解決這一問題典型的方法包括泰勒級數(Talyor-series)迭代求解算法[9]、兩步加權最小二乘(Two Step Weighted Least Square，TSWLS)算法[10]等．泰勒級數算法需要較為精確的初始位置信息來進行迭代求解，否則容易發(fā)散[1，9]．兩步加權最小二乘算法通過引入中間變量構造偽線性方程來求解目標狀態(tài)，但該方法在第二級加權最小二乘估計求解時涉及到開方運算，容易產生模糊的定位結果，并且有可能出現虛數解[1]．并且這些方法[9-10]都忽略了方程線性化后的二階誤差項，這將導致在求解目標的位置和速度時出現不可預知的估計誤差．如果能夠有直接簡單的閉式解，將能夠大大提升目標定位的精度．文獻[11]在TDOA/AOA定位體制下，提出了一種測量轉換思路，通過將目標狀態(tài)與測量方程進行變換，使之滿足線性關系，進而利用加權最小二乘算法求得目標狀態(tài)．

因此，文中主要考慮TDOA/FDOA/AOA混合定位體制自身特點，利用文獻[11]量測轉換思路，提出一種TDOA/FDOA/AOA定位閉式求解算法．首先給出典型定位模型，接著提出一種代數閉式解．然后通過與定位克拉美羅界(Cramer-Rao Low Bound，CRLB)的對比，分析所提算法的性能，證明了算法的統(tǒng)計有效性．最后通過計算機仿真驗證了文中算法在不同的參數測量誤差條件下的定位效果．

圖1　TDOA/FDOA/AOA聯(lián)合定位示意圖

1　定位模型

(1)

進一步，根據幾何關系可以得到，第i個傳感器測得的方位角θi及俯仰角φi真實值可以表示為

(2)

其中，θi和φi分別表示帶有測量誤差Δθi和Δφi的方位角和俯仰角測量值．

2　定位算法

(3)

(4)

利用式(3)和式(4)，可以得到距離差等價測量方程為

(5)

(6)

(7)

(8)

考慮測量誤差，聯(lián)合式(5)、式(6)和式(8)可以得到變換后的定位方程，即

h=Gα+Tε,

(9)

(10)

且式中0(m-1)×(m-1)和02m×(m-1)分別表示一個(m-1)維和2m×(m-1)維零矩陣．Im-1代表 (m-1)× (m-1) 維單位矩陣．由于誤差符合高斯分布，則式(9)中Tε的協(xié)方差矩陣為

W=TQTT．

(11)

進一步，式(9)為關于α的線性方程，則可以通過加權最小二乘法得到α的估計及其協(xié)方差，即

實際當中，首先將W設為單位矩陣以獲得目標狀態(tài)初始解，再利用初始結果求得較為精確的W值，進而求得目標更為精確的狀態(tài)估計，重復以上步驟直至收斂．仿真表明，1～2次迭代即可得到收斂估計值．

3　性能分析

(14)

進一步，根據圖1幾何約束關系，有

li=ricosφi，i=1，…，m．

(15)

(16)

(17)

重新定義i=2，…，m，且有

(18)

同理，對距離變化率方程進行變換得到

(20)

則根據式(15)～式(20)可以推出

T-1G=?m/?α．

(21)

將式(21)帶入式(13)，并同式(14)比較，可以得到

(22)

該式說明所提閉式求解算法可以在誤差較小時達到克拉美羅界，是一種無偏最優(yōu)估計．

4　仿真分析

表1　傳感器位置與速度矢量

注：i為接收機編號．

圖2 目標定位誤差隨σr變化情況圖3 目標定位誤差隨σf變化情況

圖4 目標定位誤差隨σAOA變化情況

圖2仿真分析了泰勒級數展開算法與文中所提閉式求解算法隨σr變化的定位結果，仿真過程中，σf= 0.1 m，σAOA= 0.5°．圖3仿真說明了兩種算法隨σf變化的定位結果，其中，σr= 0.1 m，σAOA= 0.5°．圖4則主要分析在σAOA變化下的定位情況，σr=σf= 0.1 m．從仿真結果可以看出，文中所提算法在誤差較小時能夠達到CRLB理論下限，并且隨著測量誤差的增加，如σAOA超過2.5°，閉式解算法比泰勒級數迭代算法擁有更好的定位精度，而后者此時由于初始迭代值誤差，已經出現門限效應．此外，從仿真結果可以看出，文中所提算法對頻差、測向量測信息具有較好的抗誤差特性．相比于泰勒級數完全忽略二階及二階以上誤差項來線性化求解，文中所提算法性能提升的原因來自于僅忽略二階誤差項．

5　結　　論

針對實際當中TDOA-FDOA-AOA聯(lián)合定位問題，利用幾何關系，通過將非線性測量方程轉換為與目標狀態(tài)成線性的定位方程，然后利用加權最小二乘算法估計出目標狀態(tài)．性能分析表明，所提算法在誤差較小時能夠達到CRLB理論下限．仿真結果說明，同泰勒級數迭代算法相比，所提算法具有較好的定位性能．文中閉式求解算法可以進一步推廣到其他定位體制中去，如TDOA-AOA、FDOA-AOA定位場景，且能適應目標或觀測站運動或靜止的情況，只需要在表達式上做相應的細微調整即可．

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