采用遺傳算法參數整定的車輛ABS分數階PID控制

陳炎冬，楊 敏，許轟烈，劉 潔

（無錫太湖學院 物聯網技術江蘇省重點實驗室，無錫 214064）

0 引言

在現在的控制系統中，PID（Proportional, Integral and Differential）控制是已知的應用范圍較廣泛、技術理論較成熟的一種控制方法。近幾年，車輛ABS控制策略也在不斷改進，在傳統PID的基礎上又發展出模糊PID、自適應PID、模糊自適應PID及非線性控制等性能更好的控制方法[1～3]。

分數階微積分理論在很多方面相比整數階微積分理論具有一定的優越性[4～7]將PID控制與分數階微積分理論相結合，針對PID中存在的不足和問題，利用分數階微積分理論的“記憶”特性等性能，采用分數階PID控制器控制分數階被控系統或者整數階系統時，分數階PID控制器比整數階PID控制器多了積分階次與微分階次兩個可改變的參數，提高了系統參數設置的靈活性，可以獲得更好的動態品質。但如何找到這些參數的最佳值比較困難，目前PID參數整定方法主要有兩種，一種是經驗整定法，另一種是智能整定方法。而遺傳算法是一種新型的、模擬生物進化機制的隨機化搜索和優化方法，具有并行計算、全局收斂、編碼操作，易于與問題結合，便于運算等特點，這些特點使得將其運用于分數階PID 參數的優化是可行的。目前車輛ABS的整數階PID控制參數整定方面已經有一些研究[8～10]，但在方面分數階PID控制[11,12]方面研究較少，而且方法有進一步改進的空間。

本文采用MATLAB的遺傳算法工具箱來完成分數階PID控制的參數整定，但由于分數階微積分算子的引入，適應度函數變的復雜很難用函數表示，故采用了Simulink環境建立適應度函數的仿真模型，使非線性、復雜的問題變得簡單，下面將針對這些問題進行研究。

1 被控車輛系統數學模型的建立

1.1 單輪車輛模型

本文側重研究ABS的縱向直線制動性能，故為了簡化問題，采用單輪車輛模型，不考慮空氣阻力和車輪滾動阻力[1,2]，如圖1所示。

圖1 單輪車輛模型

汽車的運動方程：

汽車車輪的運動方程：

汽車車輪的縱向摩擦力：

式中，M是1/4汽車的質量（kg），v是汽車的行駛速度（m/s），F縱向摩擦力（N）；I是車輪的轉動慣量（kg·m2），r是車輪半徑（m），Mb是制動器產生的制動力矩（N·m），ω是車輪的角速度（rad/s）；Fz是地面支持力（N），μ是縱向附著系數。

1.2 車輪輪胎模型

本文輪胎模型采用雙線性模型[3]其數學公式表示為：

式(4)中，μ是輪胎縱向的附著系數，Sd是汽車最佳的滑移率，μz為峰值的縱向附著系數，S在實際中的汽車滑移率，μh滑移率等于100%時所得的縱向附著 系數。

1.3 滑移率模型

汽車在制動過程之中，由制動強度的不斷增大，車輪滑動也就不斷加大，與此同時車輪滾動就會變得越來越小。為了說明在制動過程所存在的滑動比例，我們通常會用輪胎滑移率S來說明。

當車輪本身的速度等于車體的速度時，滑移率S的值為0，汽車未發生滑動，車輪只是處于純滾動狀態。當汽車的車輪在路面上發生滑動時，車輪會發生抱死的現象，致使滑移率為100%為純滑動狀態。在這種情況下，其側向產生的附著力幾乎處于零干擾狀態，就會使汽車車輪發生側滑，造成事故。所以說當汽車制動時，首先要防止制動抱死情況的發生。

1.4 制動系統模型

1）液壓模型

建模時考慮制動器制動力隨電磁閥電流的變化會發生變化的。忽略電磁閥彈簧的非線性因素和壓力傳送的延遲，將液壓傳動系統簡化為由一個積分環節和一個電磁閥環節構成[12]。電磁閥的響應時間t一般小于或等于10ms，故仿真時慣性環節的時間常數T為0.01，同時設環節增益K＝100，則液壓傳動系統的傳遞函數為：

2）制動器模型

建模仿真時將制動器認為是理想元件,假定制動器的非線性特性較弱并且其滯后帶來的影響可忽略不計[10]。制動力矩為式中，Kρ為制動效能因數，N·m/kPa，P為制動缸壓力，kPa。

2 分數階PID控制器的設計

分數階PID控制器最早是I.Podlubny教授提出的[13]，它的一般格式簡記為PIλDμ。由于除了和常規PID一樣的三個比例系數外，它還引入了微分、積分階次參數λ和μ，從而使得整個控制器增加了兩個可隨意改變的參數，因此控制器參數的整定范圍變大，從而能夠更加靈活地控制被控對象。

分數階PIλDμ控制器的傳遞函數為：

分數階微積分算子s?λ、sμ本文采用改進Oustaloup濾波器近似法[14]來計算控制器的輸出。

圖2 分數階PID控制器結構框圖

圖中Kp比例系數、Ki為積分系數，Kd為微分系數，G(s)為被控對象傳遞函數，e(t)，u(t)分別為PID控制器的輸入信號（系統誤差信號）和輸出信號。

式中Sd、S分別為控制系統的期望滑移率與實際滑移率；分數階PID的控制規律為:

3 基于遺傳算法的分數階PID參數整定

3.1 遺傳算法參數整定步驟

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是建立在自然選擇原理和自然遺傳機制上的迭代式自適應概率性搜索方法，它能夠模擬自然界中生物進化的發展規律，對特定目標實現自動優化。本文主要采用MATLAB遺傳算法工具箱提供的函數對分數階PID參數進行優化，流程圖如圖3所示，具體步驟入下：

1）并對參數群體進行初始化種群的規模NIND、變量個數NVAR、最大迭代次數MAXGEN、交叉XOVR和變異MUTR概率等。

2）采用經驗試湊法，大概確定Kp、Ki、Kd、λ、μ這5個參數的大致上下限，用Crtbp并進行二值編碼。

3）隨機產生NIND個個體構成初始種群。

4）用bs2rv指令將種群中各個二值編碼的個體解碼成對應的實數參數值，用此參數調用Simulink仿真模型求系統階躍響應曲線，同時得到目標函數值ObjV=J及調用適應度分配函數Ranking(ObjV)。

5）應用選擇（Select）、交叉（Recombin）和變異（Mut）算子對種群進行操作，然后通過重插入命令（Reins）產生下一代種群。

6）重復步驟4）和5）直至參數收斂或者達到預定目標。

圖3 遺傳算法分數階PID參數整定的流程圖

3.2 適配度函數的確定

為了滿足系統的動態特性，本文參考常見的誤差絕對時間積分的性能指標和系統的調節時間確定系統的評價函數，為了防止控制量過大，引入輸入的平方項。評價函數[8～10]為：

式中：w1、w2和w3、w4為評價各個部分的權重值，這里分別取0.999、0.001、100、10；e(t)為系統誤差；u(t)為控制輸入；ts為系統的調節時間取0.1s。

3.3 仿真模型及仿真內容

綜合上述，根據車輛數學建模和分析、分數階PID控制器的設計及遺傳算法的步驟，構建了基于遺傳算法的車輛ABS分數階PID控制器參數整定框圖。如圖4所示。

圖4 基于遺傳算法的車輛ABS分數階PID控制器參數整定框圖

在MATLAB/Simulink環境中，下面主要進行兩個方面的仿真比較實驗：1）經驗試湊法和遺傳算法得到控制器參數時的系統仿真比較；2）基于遺傳算法的分數階PID控制器與傳統PID控制器的系統仿真比較。

3.4 仿真參數

這里根據干燥的混凝土路面選取路面參數，按照長安某微型汽車的1/4車輛模型各個參數，控制器參數Kp、Ki、Kd、λ、μ用經驗試湊法選取其范圍以及遺傳算法各個初值按經驗選取。具體參數如表1所示。

表1 仿真參數

3.5 仿真結果

首先，根據經驗試湊法反復試湊得到一組分數階

PID參數：

并為每個參數規劃出大致的上下限：

給遺傳算法選擇初值做參考。

然后，在同等的遺傳算法條件下（如表1所示），分別對傳統整數階PID和分數階PID控制器的參數進行遺傳算法優化仿真，得到最優的參數如下：

分數階PID控制器的參數：

傳統整數階PID控制器的參數：

分別對三種不同控制方法的ABS制動過程進行仿真，其主要制動性能指標如圖5～圖7所示，分別表示試湊法分數階PID、傳統整數階PID和分數階PID時的滑移率響應曲線、制動距離、車速和輪速圖的對比仿真圖。

圖5 不同控制方法時的滑移率響應曲線

表2數據列出了圖5、圖6主要制動指標的仿真結果。從表中可知分數階PID控制時的車輛制動距離S、制動時間t、評價函數最優值J比其他兩種方法小。同時分數階PID還有非常好的控制性能，滑移率響應的超調量幾乎沒有，上升時間和調整時間也明顯比整數階時小。從圖7所示的輪速和車速圖，還可以看出本文提出的控制策略可以使車輛輪速和車速很平穩接近同步的降低到0。

圖7 不同控制方法時的車速和輪速圖

表2 仿真結果

圖8表示，基于遺傳算法的兩種PID控制器進化100代的最優解變化曲線對比圖。

從圖中可以看出分數階PID時，在相同條件下收斂更快，23代左右基本達到最優值區間，而整數階PID需要29代左右才能達到最優值區間；同時分數階PID的最優值明顯比整數階時更小。

圖8 整數階PID和分數階PID最優目標值的變化曲線

4 結論

本文設計的ABS控制策略，充分發揮了分數階微積

【】【】分理論在PID控制中的特殊優點，并且結合Simulink建模解決了非線性、復雜模型不能用傳遞函數表示目標函數的問題，使程序編寫變得簡單清晰，實現了基于遺傳算法的分數階PID控制器的在線參數整定，有一定的推廣價值。從上述實驗表明，相比傳統整數階PID控制器和試湊法本文提出分數階控制系統的控制指標：上升時間、調整時間短且幾乎沒有超調；制動效果：制動距離、制動時間都有明顯降低。綜合上述結論，說明基于遺傳算法在線參數整定的分數階PID控制在車輛ABS控制中是可行的。

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