變壓器局部放電定位方程組求根公式解算方法

周廣方，汪偉斌

(1.浙江群力電氣有限公司，浙江 杭州 310000；2.杭州凱達電力建設有限公司，浙江 杭州 310000)

0　引　言

電力變壓器是電力系統中關鍵的設備，它承擔著電壓變換、電能分配以及電能傳輸的重要任務。一旦變壓器發生故障，可能會導致大范圍的停電，并由此造成重大的經濟損失。電力變壓器的正常運行對電力系統運行的可靠性有非常重要的意義。由于在運行中的電力變壓器承受著高壓，并且其內部場強分布不均，可能讓場強高的某些地方先發生放電。局部放電對絕緣將會產生巨大危害[1-3]，主要表現：帶電粒子對絕緣材料的撞擊，破壞其分子結構；局部放電產生局部高溫，導致絕緣劣化加快；局部放電會產生一系列化學物，如O3、NO、NO2等物質，這些生成物遇水將生成硝酸，腐蝕絕緣；局放產生的輻射將會使絕緣材料分解；局放產生的氣體將導致局部壓強增大，擠壓絕緣介質。

局部放電將導致絕緣劣化，最終導致絕緣擊穿，引發電力事故。因而對局部放電的檢測識別具有很重要的意義。研究還表明，變壓器絕緣的劣化程度不僅與局放的類型、放電量、放電重復率等有關，還與放電的位置有關[4]。局放的定位能夠判斷絕緣損壞的嚴重程度以及制定有針對性的檢修策略，縮短變壓器的檢修時間，進而提高系統的可靠性[5]。如果僅靠局部放電的檢測，還是難以全面了解設備內部的絕緣狀況，必須找出局放源的準確位置，將檢測信息和定位結果綜合起來，快速掌握內部的絕緣缺陷嚴重程度，并且及早地排除故障。

1　變壓器局部放電定位基本模型

本文使用雙曲面定位法。雙曲面定位法是以其中一個傳感器為參考傳感器求出各個傳感器相對于參考傳感器的聲波到達時間差來建立方程的。對于三維定位，這種方法至少需要4個方程和4個傳感器，因為未知量有PD源的坐標(x，y，z)和聲波到達參考傳感器的時間T。這種定位方法精度較高，定位速度快，簡單易行，較有發展前景。實際操作中，定位誤差不可避免。誤差的主要來源有：背景噪聲對時延估計的影響、傳感器性能、聲波的速度測量誤差、傳感器的位置測量誤差、聲波的傳播路徑的影響和定位算法本身的缺陷。

圖1　局部放電定位基本模型

局部放電的故障定位模型如圖1所示。S1、S2、S3、S4、Sn分別表示超聲波傳感器，假設以S1為參考傳感器。當局部放電發生時，其到達各個傳感器的時間分別為t1、t2、t3、t4、tn，其中t1為T。各個傳感器的坐標依次為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)、(x3，y3，z3)、(x4，y4，z4)、(xn，yn，zn)。PD源的坐標為(x，y，z)。假設聲波在介質中的傳播速度一定，為v。則根據勾股定理，有如下等式：

(1)

式中，下標i表示第i個傳感器，d表示傳感器到PD源的位置。傳感器不能測量出聲波的傳播時間，只能測出聲波的到達時間差，時間差的定義表示如下：

τi1=ti-t1

(2)

將距離用時間差表示出來：

di=v(τi1+T)

(3)

根據以上三個式子，假設采用4個傳感器，可以得出變壓器局部放電故障定位方程如下：

(4)

方程組(4)的未知量有x，y，z和T。從方程可以看出，主要影響定位精度的是能否準確測量出時差、傳感器位置和聲波的傳播速度。該方程組由4個雙曲面方程組成，4個雙曲面在空間中相交可以確定出2個點，通過排除法可以得到一個確定的點。

2　定位方程組求根公式解算方法

將式(4)方程組中的第2、3、4個方程分別與第一個方程相減，可得：

(5)

式中有：

(6)

上式表示各個傳感器到坐標原點的距離平方。可以把式(5)寫成矩陣形式：

AX=BD+C

(7)

其中有：

(8)

(9)

(10)

(11)

D=[T]

(12)

在式(7)兩端乘A的逆矩陣，可得：

X=A-1BD+A-1C

(13)

令F=A-1B，H=A-1C，F與H均為三行一列的矩陣。則有：

X=FD+H

(14)

(15)

式(15)是將PD源的坐標表示成基準時間T的函數，將式(15)代入式(4)中的第一個方程，可得：

(16)

記K=[x1，y1，z1]，則式(16)可以改成下面的矩陣形式：

(FTF-v2)T2+2(FTH-FTKT)T

+(HTH+KKT-2KH)=0

(17)

上式是關于基準時間T的一元二次方程，可以根據求根公式將方程的解直接求出。令L=FTF-v2，M=2(FTH-FTKT)N=HTH+KKT-2KH，得：

(18)

將式(18)代入式(15)中，可得PD源的坐標。再根據得到的PD源坐標進行計算校對，與測量出的時差比較，排除一個解。

3　算例分析

變壓器的實際尺寸為長2 300 mm，寬1 800 mm，高2 400 mm。仿真時各個傳感器的觸頭坐標取值如下：x2=1 150；y2=0；z2=800；x3=1 450；y3=0；z3=1 600；x4=850；y4=0；z4=1 600；x1=1 150；y1=1 800；z1=1 200。

這4個傳感器的觸頭在空間中構成一個四面體，其中參考傳感器位于箱體的后表面，處于平面的中央，另外三個傳感器位于箱體的前表面，且構成的三角形位于平面的中心區域。設時差的測量誤差不超過0.02 ms，傳感器坐標的測量不超過0.5 mm，聲波的傳播速度取1 380 m/s，測量誤差不超過1 m/s。測量誤差均滿足均勻分布。仿真時，以最后算法得出的PD源坐標的其實際位置的距離為誤差。在1 400 mm的水平面上局部放電定位誤差如圖2所示。

圖2　局部放電定位誤差分布圖譜

可以看出誤差較小的區域位于變壓器中間區域，誤差較高的區域位于變壓器棱線處，且距離傳感器的位置較近。這時由于當局放源距離傳感器較近時，同樣的測量誤差導致的距離誤差所占百分比較高，因此

測量誤差較大。

4　結　論

本文給出了變壓器局部放電的雙曲面定位模型。局部放電定位方程組有4個未知量(x，y，z，T)，因此至少需要4個傳感器。局部放電定位方程組的解可以直接解算得到，帶入最后公式即可得到PD源坐標，計算簡便。仿真中對時差、聲速、傳感器位置加入了誤差分析最后定位誤差分布，可以得到誤差較高的區域總體上離傳感器位置較近，且靠近變壓器的棱線處。

參考文獻：

[1]邱昌容，王乃慶.電工設備局部放電及測試技術[M].北京:機械工業出版社，1994.

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[3]Okabe S，Ueta G，Wada H.Partial discharge signal propagation characteristics inside the winding of oil-immersed power transformer using the equivalent circuit of winding model in the oil[J].Dielectrics and Electrical Insulation，IEEE Transactions on，2012，19(2)：472-480.

[4]高鵬路，胡岳，劉斌，等.傳感器并聯型局部放電監測與定位方法[J].電工技術學報，2014,(2)：226-230.