分數階Schr?dinger-Poisson系統無窮多解的存在性

胡慧如，黃先玖

(南昌大學數學與計算機學院,江西 南昌 330031)

本文主要討論以下Schr?dinger-Poisson系統

(0.1)

其中(-Δ)α表示分數階Laplacian算子，其階數為α∈(0,1)，V是可變號的。在(0.1)中，第一個方程是一個非線性分數階Schr?dinger方程，位勢函數φ滿足一個非線性分數階Poisson方程。因此，(0.1)被稱為Schr?dinger-Poisson系統，或又被稱為分數階Schr?dinger-Maxwell系統。它不僅是經典非線性薛定諤方程(NLS方程)在物理上的相關推廣，也是分數階量子力學中的一個重要模型。關于更多的物理背景可參閱文獻[1-3]及其參考文獻。

眾所周知，分數階Schr?dinger-Poisson系統是由Giammetta[4]首次提出的，擴散項僅在Poisson方程中是分數階的。之后，文獻[5]在V(x)≡0且非線性項f(x,u)呈次臨界或臨界增長時證明了方程(0.1)徑向基態解的存在性。另外，文獻[6]在V(x)為正的情況下，利用噴泉定理證明了方程(0.1)無窮多個解的存在性。

近年來，下面的變號位勢函數開始被研究：

(V1)V∈C(3,)且

許多學者研究了帶有上述變號位勢及具有不同增長條件的Schr?dinger方程無窮多解的存在性，例如文獻[7-8]。在前人工作的基礎上，又有許多學者在同樣的情況下，研究了不同方程的無窮多解。例如，文獻[7-18]及其參考文獻。特別地，Zhou[8]和Bao[9]討論了帶有變號位勢的Schr?dinger-Poisson方程無窮多個小能量解的存在性。然而，很少有文獻通過對偶方法處理分數階Schr?dinger-Poisson系統。

借鑒文獻[8-9]中的方法，我們將對V和f做以下假設，討論方程(0.1)在局部非線性條件下無窮多個小能量解的存在性：

(V2) 對?M>0，有

meas{x∈3:V(x)≤M}<+∞,

(f1) 存在常數δ1>0和1

|f(x,t)|≤a(x)|t|r1-1,|t|≤δ1,?x∈3,

(f3) 存在常數δ2>0，使得對任意的|t|≤δ2和x∈3有f(x,-t)=-f(x,t)。

下面，我們給出本文的主要結論。

且當k→∞時uk→0。

在本文中，C>0表示不同的正常數。

1 變分框架

在陳述這一節內容之前，需要注意以下事實：通過(V1)可得，存在一個常數V0>0使得對任意的x∈3有令并考慮下面的方程

(1.1)

為了證明結論，首先定義Gagliardo半范數為

其中u:3→是一個可測函數。

接下來，定義分數階Sobolev空間

Wα,p(3)={u∈Lp(3):u可測且[u]α,p<∞}

賦予范數

(1.2)

當p=2時，空間Wα,2(3)與Fourier分析意義下的分數階Sobolev空間是等價的，即，

Hα(3):=Wα,2(3)=

賦予范數

‖u‖Hα=

等價。

假設Lp(Ω)是一個Lebesgue空間，將Lp(Ω)中的范數記為|·|p,Ω，其中Ω?3，1≤p≤+∞。令3和Hα(3)表示通常的分數階Sobolev空間(見文獻[19])。在假設下，定義工作空間為

(1.3)

和

因此，E是一個內積為

(u,v)EV=

(u,v)E,Ω=

范數為

的Hilbert空間。此外，‖·‖EV和‖u‖E,Ω分別與范數

‖u‖:=‖u‖E=

和

‖u‖E,Ω=

等價，且相應的內積為

(u,v)E=

和

(u,v)E,Ω=

齊次Sobolev空間的定義為

Dα,2(3)=

和內積

(1.4)

2 引理和結論

受文獻[20]中引理3.4的啟發，我們可以用同樣的方法證明下面的引理2.1。

引理2.2[19]對任意的α∈(0,1)，Dα,2(3)連續嵌入3)。即，存在Sα>0使得

(2.1)

(2.2)

其中

則對任意的x∈3有由(2.1)和(2.2)可得，當2t+4s≥3時，有

(2.3)

接下來，定義截斷函數h∈C1(,)滿足以下條件：0≤h(t)≤1；當t∈時h(-t)=h(t)；當|t|≤d時h(t)≡1；當|t|≥2d時h(t)≡0；當t∈[d,2d]時h(t)單調遞減。其中，令

fh(x,u)=f(x,u)h(u),?(x,u)∈3×

(2.4)

且

(2.5)

考慮下面修正的分數階Schr?dinger-Poisson系統

(2.6)

其能量泛函為

Jh(u)=

Jh的Gateaux導數為

(2.7)

令Γk表示E的閉的對稱子集A的族，其中A滿足0?A且γ(A)≥k。下面的臨界點定理來自于文獻[21]。

引理2.3[21]設E是一個無限維Banach空間，Jh∈C1(E,)是一個滿足Jh(0)=0的偶函數。假設Jh滿足

(J1)Jh下方有界且滿足(PS)條件；

(J2) 對任意的k∈，存在Ak∈Γk使得

引理2.4假設序列{un}?E滿足：當n→∞時un?u在E中成立，{‖un‖}是一個有界序列。則當n→∞時，有

(2.8)

證畢。

引理2.5假設(V1)-(V2)和(f1)-(f2)成立，則Jh下方有界且在E上滿足(PS)條件。

證明根據(V1)-(V2)，(f1)-(f2)和h的定義，可以得到

對任意給定的v∈E，令Ω={x∈3:|v|≤1}，由r1∈(1,2)，H?lder不等式和Jh的定義可得

(2.9)

這說明‖vn‖E,Ωn≤C且C與n無關。因此，

(2.10)

其中，C與n無關。類似地，

因此，

(2.11)

其中，C與n無關。結合(2.10)和(2.11)，有

有界，且與n無關。則根據引理3.1[22]的證明可得

利用(f2)和H?lder不等式可得，

(2.12)

利用引理2.4，又得到

(2.13)

結合(2.12)和(2.13)可得

因此vn→v在E中成立。

證畢。

類似引理3.2[9]和引理3.2[23]的證明，可以得到下面的引理。

引理2.6對任意的k∈存在一個閉的對稱子集Ak?E，使得γ(Ak)≥k且

證明令En表示E的一個n-維子空間。由于有限維空間中的所有范數都是等價的，故存在常數β=β(En)，使得對任意的v∈En有

‖v‖≤β‖v‖2

其中‖·‖2是L2(3)中的常用范數。

接下來斷言，存在一個常數M>0，使得對任意的v∈En和‖v‖≤M有

(2.14)

事實上，若(2.14)不成立，則存在一個序列{vk}?En{0}使得vk→0在E中成立，并且對任意的k∈有

(2.15)

另一方面，由于En是有限維的，則可假設uk→u在E中成立。因此uk→u在L2(3)中成立。又由vk→0在E中成立可得

meas{x∈3:|vk|>d}→0,k→∞。

因此，

這與(2.15)矛盾，故(2.14)成立。由(f1)，可取d充分小，使得對任意的x∈3和0≤v≤2d有

從而有

Fh(x,v)=F(x,v)≤

(2.16)

又因為假設(f3)表明Fh(x,v)關于v是偶的，所以由(2.16)可得，對任意的v∈En，

其中‖v‖≤min{M,1}。令0<ρ≤min{M,1}，An={v∈En:‖v‖=ρ}，可以推出γ(An)≥n且

證畢。

定理1的證明由(f1)-(f3)可知Jh是偶的且Jh(0)=0。則由引理2.5和2.6可得Jh有一個臨界點序列{uk}，使得Jh(uk)≤0,以及當k→∞時uk→0。另外，類似引理5.1[24]的證明可得，存在k1使得當k≥k1時有|uk|∞,3≤d。因此，我們得到(0.1)的無窮多個小能量解。

證畢。