例析基本不等式中“1”的代換及應用

■南京市程橋高級中學 李素文

高三數學復習以專題形式展開,將知識、方法、數學思想進行梳理,使同學們擁有體系化知識架構和建立常見題型的解題模式,提高同學們的能力。高三復習注重課本的回歸,在復習基本不等式時,筆者針對基本不等式中“1”的代換及應用進行了總結歸類,開展針對性訓練,化解同學們眼中的難點。

一、直接用“1”的代換

例1已知正數x,y滿足x+2y=1,

分析：直接對乘以1,然后將“1”換成條件中的公式,展開化簡,利用基本不等式求最值。

解：因為x＞0,y＞0,所以當且僅當即時等號成立。

變式：已知正數x,y滿足則x+2y的最小值為___。

解析：因為x＞0,y＞0,所以當且僅當即時等號成立。

所以x+2y的最小值為

二、變換條件用“1”的代換

例2已知a＞0,b＞0,a+b=2,則的最小值為___。

分析：已知條件a+b=2中,雖然沒有出現“1”的等式,但通過變形可以化為

解：因為a＞0,b＞0,由a+b=2,得

三、構造條件用“1”的代換

例3已知a＞b＞0,a+b=1,則的最小值為____。

分析：條件已經給出了“1”的等式,若按照例1的方法去做,不能轉化成兩數的和為定值的形式,因而不能利用基本不等式。轉換思路,利用換元法求解。令m=a-b,n=2b,則,則問題轉化為：已知m＞0,n＞0,m+n=1,求的最小值。形式與例1相似。

四、基本不等式“1”的代換的綜合應用

1.與函數的結合。

例4已知函數y=ax+b(b＞0)的圖像經過點P(1,3),如圖1所示,則的最小值 為。

圖1

分析：由條件知a+b=3,a＞1,b＞0。要求的最小值,通過換元法,令m=a-1,n=b,問題進而轉化為：已知m＞0,n＞0,m+n=2,求的最小值。解答過程同例2。

2.與立體幾何的結合。

例5如圖2,設正四面體ABCD的棱為棱AB上任意一點(不與A,B點重合),且點P到平面ACD,平面BCD的距離分別為x,y,則的最小值為。

長為

圖2

分析：如圖3,連接PC,PD,由VA-BCD=VP-ACD+VP-BCD,即化簡整理得x+y=2。問題轉化為：已知x＞0,y＞0,x+y=2,求的最小值。解答過程同例2。

3.與解析幾何的結合。

例6若直線ax-by+2=0(a＞0,b＞0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則的最小值為。

分析：由題意知,直線ax-by+2=0(a＞0,b＞0)過圓心(-1,2),得到a+2b=2,問題轉化為：已知a+2b=2,a＞0,b＞0,求的最小值。解答過程同例2。基本不等式中“1”的代換及應用,對同學們來說是難點,究其原因是同學們沒有理解利用基本不等式求最值的關鍵是必須湊成常數,滿足“一正、二定、三相等”的條件。