構造法在導數問題中的應用

■河南省許昌實驗中學 魏 瑋

當導數問題使用通常方法按照定向思維難以解決時,同學們可以根據題設條件和結論的特征來構造新函數,從而使原問題中隱含的關系和性質在新構造的函數中清晰地展現出來。通過進一步研究新函數的性質,方便快捷地解決數學問題。

下面,我們以具體問題為例,來詳細闡述構造法的應用。

一、構造法解決抽象函數問題

例1已知函數f(x)的定義域為(0,+∞),e為自然對數的底數,若f'(x)lnx＞

則( )。

A.f(2)＜f(e)ln2,2f(e)＞f(e2)

B.f(2)＜f(e)ln2,2f(e)＜f(e2)

C.f(2)＞f(e)ln2,2f(e)＜f(e2)

D.f(2)＞f(e)ln2,2f(e)＞f(e2)

分析：條件是與f(x)、導函數f'(x)有關的不等式,其形式可看作“f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＞0”。結合選項特點和導數運算法則,可構造新函數

解：令則因為f'(x)lnx＞即所以函數F(x)在(0,+∞)上是增函數。所以F(e)＞F(2),F(e)＜F(e2),即,得2f(e)＜f(e2)。故選B。

二、構造法解決函數極值問題

例2若函數f(x)=xlnx-ax2有兩個極值點,則實數a的范圍是。

分析：函數f(x)=xlnx-ax2有兩個極值點,故f'(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)上有兩個零點,解決該導函數的零點問題,可以有兩種構造方法：

解法1：對導函數二次求導,研究其性質。

由題意得f'(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)上有兩個零點。設g(x)=lnx-2ax+1,則

當a≤0時,g'(x)＞0,此時,g(x)在(0,+∞)上單調遞增,顯然不符合題意;

當a＞0時,由g'(x)＞0得所以g(x)在上單調遞增,在上單調遞減。

解法2：把導函數的零點問題轉化為兩個函數的交點問題。

由題意得f'(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)上有兩個零點?？梢园裦'(x)=lnx-2ax+1看作函數y=lnx與y=2ax-1的差。在同一個坐標系中作出它們的圖像,如圖1所示。

圖1

三、構造法解決不等式證明問題

例3證明：當m＞n＞0時,(1+m)n＜(1+n)m。

分析：直接證明不等式難度較大,我們可以把不等式(1+m)n＜(1+n)m兩邊同時取對數,可得nln(1+m)＜mln(1+n),故可構造函數那么問題就變成了“證明：當m＞n＞0時,f(m)＜f(n)”。只需研究函數0)的單調性,問題便可迎刃而解。

證明：要證(1+m)n＜(1+n)m,只需證nln(1+m)＜mln(1+n)。

令g(x)=x-(x+1)ln(x+1),則g'(x)=-ln(x+1)。當x＞0時,g'(x)＜0,故g(x)在(0,+∞)上單調遞減,恒有g(x)＜g(0)=0。所以在(0,+∞)上,恒有則f(x)在(0,+∞)上單調遞減。因為m＞n＞0,所以f(m)＜f(n),故原不等式成立。

四、轉化函數形式,構造新函數

例4設函數證明：f(x)＞1。分析：如果研究函數f(x)=exlnx+的性質,導函數復雜且難以確定f(x)的極值點和單調區間。我們換個角度,把不等式變形為研究g(x)=xlnx和h(x)=的函數性質,思路就變得簡單清晰。

證明：已知從而f(x)＞1等價于

設g(x)=xlnx,則g'(x)=1+lnx。

綜上：當x＞0時,g(x)＞h(x)恒成立,所以f(x)＞1。

構造法是數學思想中化歸思想的具體運用,它不僅可以運用在導數問題中,在函數的零點、不等式恒成立、數列等問題中都有廣泛應用。在解決具體問題的過程中,關鍵是要抓住反映問題的條件和結論之間的內在聯系,從新的觀點去觀察、分析、理解對象,用題中的條件為原材料,在思維中構造出滿足條件或結論的數學對象。