失之毫厘,謬以千里
——例談高中數學試題命制中的三個注意

■河南省登封市教學研究室 謝有才

同學們在做數學試題的時候,常常會遇到一些改編題出錯了,給審題造成困擾。這些題一般有三個特點,希望能引起同學們的重視。現舉例說明。

一、試題用詞不準確

2bx+c的兩個極值分別為f(x1),f(x2),若x1,x2分別在區間(0,1)與(1,2)內,則b-2a的取值范圍是( )。

A.(-4,-2) B.(-∞,2)∪(7,+∞)

C.(2,7) D.(-5,-2)

解析：求導可得f'(x)=x2+ax+2b,由題意可知所以a,b滿足的區域如圖1所示(不包括邊界),因為b-2a在B(-1,0)處取值為2,在C(-3,1)處取值為7,所以b-2a的取值范圍是(2,7)。

圖1

評注：在本題中描述的是極值為f(x1),f(x2),既不能說明在x1,x2處取得極值,也不能說明x1,x2是極值點,更不能轉化為x1,x2是方程f'(x)=x2+ax+2b=0的兩個根。這說明試題在用詞上不夠確切。應改為“已知函數的兩個極值點分別為x1,x2”。

二、示意圖信息模糊

例2已知某質點的運動方程為s(t)=t3+bt2+ct+d,如圖2所示是其運動軌跡的一部分,若時,s(t)＜3d2恒成立,則d的取值范圍為____。

解析：因為質點的運動方程為s(t)=所以由圖2可知,s(t)在t=1和t=3處取得極值,則s'(1)=0,s'(3)=0,即解得所以

圖2

所以當t=1時,s(t)取得極大值4+d。

又因為s(4)=4+d,所以當t∈時,s(t)的最大值為4+d。因為當時,s(t)＜3d2恒成立,所以4+d＜3d2,即或d＜-1。

評注：對于這個解答,經分析不難得出s(0)=s(3)=d。從圖中可以看到s(3)＜0,應該有d＜0,借此繼續分析s(1)＞0得d＞-4。也就是說示意圖中除了反映出“s(t)在t=1和t=3處取得極值”,還有其他影響d取值范圍的信息可以進一步挖掘。

三、參考解法超綱

例3已知0),若對任意兩個不等的正實數x1,x2,都有恒成立,則a的取值范圍是( )。

A.(0,1] B.(1,+∞)

C.(0,1) D.[1,+∞)

解析：由題意得當且僅當即時取等號,所以所以

評注：對于解答中為什么會出現呢?顯然運用高中知識解釋不通。規范解答如下：不妨設令有在(0,+∞)是單調增函數,則?x∈(0,+∞),h'(x)≥0恒成立,分離參數得a≥x(1-x)max,解得a≥1。

數學知識是嚴謹、嚴密、精確的,這樣才能培養出良好的數學素養。