“長方體的體積”教學(xué)紀(jì)實(shí)與評析

孟莉 李秀麗

教學(xué)內(nèi)容：人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)五年級下冊第三單元。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過猜測、推想、討論等活動(dòng)，掌握長方體體積的推導(dǎo)過程，理解長方體的體積是由相同體積單位累加而成。

2.使學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)展觀察、分析、推理、概括等思維能力，積累解決立體圖形體積的經(jīng)驗(yàn)，提高解決問題的能力，發(fā)展空間觀念。

3.借助長方體體積的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生理解立體圖形的體積就是“相同體積單位的累加”。

教學(xué)流程：

1.感知體積單位與體積的關(guān)系。

師：老師今天帶來了幾個(gè)立體圖形，第一個(gè)圖形的體積是1立方分米，這會(huì)是一個(gè)什么樣的圖形呢？

學(xué)生：長方體。

棱長為1分米的立方體。

師：見證奇跡的時(shí)候（圖1）誰能得到這個(gè)禮物？1立方分米的正方體，棱長是1分米。

師：第二個(gè)立體圖形，它的體積是3立方分米，這會(huì)是一個(gè)什么樣的立體圖形呢？

生：它可能是一個(gè)長方體。

師：一個(gè)什么樣的長方體？

生：一個(gè)由3個(gè)棱長為1分米的小正方體連在一起組成的長方體。

師：見證奇跡的時(shí)候（圖2）——你們猜對了嗎？不過我說這個(gè)立體圖形體積是3立方分米，你們同意嗎？你們?yōu)槭裁凑J(rèn)為它的體積是3立方分米？

生：它是由3個(gè)體積為1立方分米的正方體組成的。

師：每個(gè)正方體的體積是1立方分米，3個(gè)就是3立方分米。那么現(xiàn)在呢？（圖3）

生：體積是7立方分米。

師：為什么？

生：它是由7個(gè)體積為1立方分米的正方體組成。所以它的體積是7立方分米。

師：也就是說它有幾個(gè)1立方分米？

生：7個(gè)。

師：所以它的體積就是7立方分米。如果有9個(gè)呢？10個(gè)呢？更多呢？你總結(jié)出什么了？

生：由多少個(gè)1立方分米正方體組成，它的體積就是多少立方分米。

（評析：通過讓學(xué)生猜想體積為1立方分米、3立方分米的立體圖形可能是什么圖形，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性。教師設(shè)計(jì)了不同的長方體，規(guī)則的、不規(guī)則的，不斷變化，避免學(xué)生形成思維定式，讓學(xué)生從“規(guī)則化”的淺顯認(rèn)知走向數(shù)學(xué)本質(zhì)。）

2.感知長、寬、高與行、列、層數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。

師：下面的立體圖形有點(diǎn)不同，如果想要知道它的體積，你覺得老師應(yīng)該給你什么樣的提示？

生：需要老師告訴我們它是由多少個(gè)體積為1立方分米的正方體組成的。

師：這個(gè)提示怎么樣？好在哪里？

生：知道體積為1立方分米的正方體的個(gè)數(shù)，就很容易求它的體積。

師：很抱歉，這個(gè)立體圖形中到底有多少個(gè)體積為1立方分米的正方體，我沒有數(shù)出來！（圖4）它的體積是多少？你能看出它有多少個(gè)1立方分米的正方體嗎？要求出這個(gè)長方體的體積有什么辦法？先獨(dú)立思考，再和同桌、小組交流。

生1：用1立方分米的小正方體去擺，估計(jì)長可以擺6個(gè)，高可以擺2個(gè)，大概12個(gè)。

生2：用1立方分米的小正方體去擺，估計(jì)長可以擺5個(gè)，寬可以擺2個(gè)，高可以擺4個(gè)。

師：同學(xué)們，老師發(fā)現(xiàn)你們的方法都是一樣的，用1立方分米的小正方體去擺。問題是你們對于長、寬、高數(shù)值的估計(jì)不同。此時(shí)，如果你需要老師的幫助，你最希望老師給你什么樣的幫助？為什么？

生：我需要老師告訴我長方體的長、寬、高。因?yàn)橹篱L寬高，就可以知道長、寬、高的位置上各擺多少個(gè)小立方體了（圖5）。

師：給出長寬高（圖5），為什么要知道長、寬、高？

生：長的那條邊可以擺5個(gè)，寬擺4個(gè)，高擺3個(gè)，把這3個(gè)數(shù)相乘，就是里面一共有60個(gè)1立方分米的小正方體，所以長方體的體積就是60立方分米。

師：你們聽懂了嗎？誰愿意再來說說？

（學(xué)生說，教師通過課件擺。）

師：這個(gè)長方體的體積是多少？怎么算的？

生：5×4×3=60。

師：通過這道題你覺得長方體的體積怎樣計(jì)算呢？

生：長方體的體積=長×寬×高。

師：那現(xiàn)在的問題是5×4×3=60，在這個(gè)算式中每個(gè)數(shù)字表示什么呢？

師：5乘以4 表示每層有幾個(gè)，再乘以3，得到的60表示什么呢？

生：60 表示一共可以擺60個(gè)體積為1立方分米的正方體，它是總個(gè)數(shù)。

師：60個(gè)1立方分米的正方體和在一起就是60 立方分米，這個(gè)長方體的體積就是60立方分米。

（評析：體積公式從何而來？究其根本，要追溯到體積這一概念的本身。所謂體積就是用相應(yīng)的體積單位去度量，從而得到度量結(jié)果。教學(xué)中教師由一個(gè)“光禿禿”的長方體開始，不斷設(shè)計(jì)障礙，引發(fā)學(xué)生的思維向更深層次發(fā)展，由簡單的數(shù)正方體，到根據(jù)長、寬、高的長度來想象每行擺幾個(gè)、擺幾行、擺幾層，再用長、寬、高相乘來計(jì)算總共擺多少個(gè)體積單位。）

3.拓展練習(xí)，變式延伸。

師：我們來看這樣兩道題。獨(dú)立解決。

學(xué)生：第一個(gè)圖形，把它想象成里面有很多1立方分米的正方體，棱長為3，每行擺3個(gè)，可以擺3行，一層就是3×3=9個(gè)，高可以擺出3層，9×3=27（個(gè)），27個(gè)1立方分米的正方體和在一起就是27立方分米，這個(gè)正方體體積就是27立方分米。第二個(gè)圖形方法和前一個(gè)相同，因?yàn)殚L為9分米，所以每行擺9個(gè)。寬為3分米，可以擺3行，一層就是9×3=27個(gè)，因?yàn)楦呤?，只有一層，所以一共有27個(gè)1立方分米的正方體，它的體積就是27立方分米。

師：你們在做的時(shí)候有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：它們形狀不同，但是體積相同。

師：為什么會(huì)這樣呢？

生：它們雖然形狀不同，但是它們都是由27個(gè)1立方分米的正方體組成的，所以它們體積相同！

師：老師今天還帶來一個(gè)長方體，體積和它們都一樣，但是形狀和它們都不一樣，你能猜猜我?guī)淼牧硪粋€(gè)長方體是什么樣的嗎？

生：長27，寬1，高1。

師：我的長方體一定是這個(gè)樣子的嗎？有沒有其他可能呢？還有可能更長嗎？你估計(jì)它的長可能是多少？

生：可以把它切成一半，再接起來，長可能是54，寬0.5，高1。

師：可不可能更長？

（學(xué)生交流討論。）

（評析：教學(xué)中，老師讓學(xué)生猜想帶來的長方體有沒有可能更長，突破了以“整數(shù)個(gè)”體積單位計(jì)量的常規(guī)思想，讓學(xué)生在辨析中說理，促進(jìn)對體積公式的深入理解，同時(shí)滲透了極限的思想。）

師：今天這節(jié)課你有什么收獲？

…………

總評：

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識，而且要立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過思考、辨析、講理、感悟獲得數(shù)學(xué)基本理論，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系。本課簡約獨(dú)特、視角新穎。

1.從度量入手，理解體積的本質(zhì)。

學(xué)習(xí)“長方體的體積”是學(xué)習(xí)“體積與體積單位”的延續(xù)，教師準(zhǔn)確把握學(xué)生知識起點(diǎn)，從猜測1立方分米、3立方分米的立體圖形開始，從規(guī)則走向不規(guī)則，從意料之中到意料之外，既能讓學(xué)生突破思維定式，又能總結(jié)出相同單位體積累加得到的就是所組成立體圖形的體積，再增加1個(gè)，總體積就會(huì)增加一個(gè)單位體積。

2.層層抽象說理，感悟?qū)?yīng)關(guān)系。

教學(xué)中，教師在每個(gè)環(huán)節(jié)都關(guān)注讓學(xué)生去說明道理，特別是在當(dāng)有學(xué)生說出用1立方分米的正方體往長方體里擺時(shí)，老師既肯定了學(xué)生的空間想象能力，又不斷追問，讓學(xué)生說說每行擺幾個(gè)、擺幾行，又有幾層，學(xué)生在這個(gè)過程中慢慢領(lǐng)悟長方體的體積就是看每行有幾個(gè)體積單位，有幾行，再有幾層，算出總個(gè)數(shù)，也就是體積。

3.追問中厘清本質(zhì)，交流中總結(jié)公式。

在逐漸形成長方體的體積計(jì)算公式后，老師給出一個(gè)“光禿禿”的長方體，讓學(xué)生計(jì)算體積。基于前面的鋪墊，即使沒有任何數(shù)學(xué)信息，學(xué)生首先也能想到用“1立方分米的小正方體去鋪擺”，當(dāng)學(xué)生猜測紛紜時(shí)，教師又適時(shí)地提出：要想解決這個(gè)問題，你需要老師給你怎樣的提示，學(xué)生自然想到長、寬、高的數(shù)據(jù)。學(xué)生這一次的解釋，對長方體體積的認(rèn)識逐漸走向深刻。在總結(jié)出長方體計(jì)算公式后，教師又讓學(xué)生思考每一個(gè)數(shù)所表示的意義，徹底領(lǐng)悟長方體的體積為什么是“長×寬×高”。

4.突破思維定式，讓思考更加深入。

在教學(xué)最后環(huán)節(jié)，老師出示了兩個(gè)形狀不同，但是體積相同的立體圖形，分別是一個(gè)長方體、一個(gè)正方體。在求得體積之后，教師再次出招：還有一個(gè)長方體，體積相同，形狀與它們不同。學(xué)生想到了長27、寬1、高1的長方體，這樣給出體積，猜測圖形的環(huán)節(jié)讓學(xué)生領(lǐng)悟得更深了、更遠(yuǎn)了，然而老師又不失時(shí)機(jī)地再次追問，這個(gè)長方體還能更長嗎？突破“整數(shù)個(gè)”單位體積的計(jì)量，把學(xué)生的思維帶向更深、更遠(yuǎn)處。

編輯/魏繼軍