移動荷載作用下桁架結構優化設計問題研究

李修干,何芝仙

(安徽工程大學 建筑工程學院， 安徽 蕪湖　241000)

桁架結構由于其受力構件僅受拉伸或壓縮作用，構件內應力分布均勻等優點在結構工程中應用十分廣泛。由于結構優化設計會帶來十分顯著的經濟效益，有關桁架結構的優化設計，一直是人們研究的熱點[1-2]。

桁架結構優化設計可分為尺寸優化、形狀優化和拓撲優化等類型[3]，其中桁架結構的尺寸優化也是桁架結構優化理論在工程應用中最為成熟的領域。桁架結構尺寸優化設計問題，其目標函數一般為結構最輕或造價最低，約束條件為桁架結構中的構件滿足強度和剛度等要求，設計變量為桁架結構中桿件的截面面積。其優化問題的求解需要進行結構分析與優化算法之間的反復迭代計算，當計算規模增大時，計算量也急劇增大，因而以滿足應力設計準則為代表的準則法備受人們的青睞。但目前有關桁架結構優化問題的研究，主要討論桁架結構在恒載作用下的優化問題。事實上工程中大量的桁架結構受到移動荷載作用，桁架在移動荷載作用下的優化問題的研究報道卻還很少見。

本文首先建立移動荷載作用下桁架結構優化設計數學模型，將其優化問題視為隨荷載移動而連續變化的具有無窮多個工況的優化問題[4]。根據桁架結構荷載作用在節點上的受力特點，再將其優化問題轉化為移動荷載在桁架節點上移動的多工況優化問題，利用準則法求出每個工況作用下的最優解(即局部最優解)，最后通過分析綜合(即求所有工況條件下設計變量的最大值)求出桁架在移動荷載作用下優化問題的最優解(全局最優解)。

1　移動荷載作用下桁架結構優化數學模型

移動荷載作用下桁架結構以質量最輕為目標函數的尺寸優化問題的優化設計數學模型如下。

設計變量：

A=[A1,A2,A3，…,An]T

(1)

目標函數：

(2)

應力約束條件：

(3)

位移約束條件：

(4)

與固定荷載作用下桁架結構尺寸優化問題相比，移動荷載作用下桁架結構尺寸優化問題的數學模型中，其應力和位移約束條件中的工作應力和節點位移隨著作用在桁架上的荷載的移動而連續變化。因而大大提高了求解的計算量，也增加了計算難度。

2　求解方法

(5)

(6)

則得到新的設計點，按式(7)完成射線步設定。

(7)

為將設計變量值拉到最嚴約束面上，式(7)中

(8)

圖1　計算流程

優化計算過程有內外兩大循環，內循環包括求解移動荷載一個作用位置對應的工況下結構優化及結構有限元分析，外循環控制荷載移動即工況的依次變換。荷載移動作用位置，即獲得一個桁架結構的最優解。重復上述過程直至遍歷所有工況。移動荷載作用下桁架結構尺寸優化問題的求解步驟如下：

1) 初始化，給定桁架幾何、物理參數，設計變量初始值即桿件截面積A=[A1,A2,A3，…,An]T、工況數J等,并令計數器j=1；

5) 上一工況計算完成，荷載移動一次，轉換到下一工況；

其計算流程圖如圖1所示。

3　算例

某黃河特大橋主橋為1孔156 m簡支鋼桁梁[12]，主梁是2片鋼桁梁，桁高17.0 m；主桁中心距8.6 m，節間距為14.1 m。主桁、縱橫梁材料均采用370qE鋼材，型鋼材質為Q235-B.Z。為了簡化，這里只取一片主桁為研究對象。該主桁有23個節點，43個單元，斜腹桿為無豎桿三角形桁簡支桁架結構，結構受到的約束按左邊固定右邊滑動鉸支座方式處理。節點及單元編號如圖2所示。

圖2　主桁結構示意圖

3.1　荷載的選取

單片主桁承擔橋梁自重10 625.16 kN，將其平均施加于所有節點，則每個節點承擔461.96 kN。根據1975年修訂的中-Z活載標準，選取設計荷載為中-活載，如圖3所示。本文取中-活載作用總長度為70.5 m，荷載大小6 500 kN，由于只研究一片主桁，則每片主桁承載3 250 kN外荷載，并平均分配到5個連續節點上，則每個節點上分配集中力650 kN。

圖3　中-活載圖式

如圖4所示，5個連續集中荷載為一組，從桁架結構下弦左端向右端移動。荷載從最左邊1號節點進入橋架下弦點，到荷載移動到最右邊的12號節點走完全程。由于移動荷載滿布桁架為最危險工況，故從第5號節點進行計算，每次荷載向右移動一個節點，共移動8次，共有8個不同的工況。

圖4　移動荷載示意圖

3.2　計算結果及分析

圖5給出了移動荷載作用位置與桿單元最優截面面積關系。當移動荷載依次在下弦桿單元節點上移動，移動荷載每一個作用位置，桁架結構每個桿單元就有一個對應的局部最優截面積。

圖5　移動荷載作用位置與桿單元最優截面積關系

荷載移動過程中桁架不同單元的最優截面面積差別很大，位于桁架結構中部的上弦桿單元如15～18號單元以及下弦桿如4～8號單元截面面積較大。對同一個桿單元，在荷載移動過程中，其最優截面積也發生變化，當荷載移動至桁架中部時，最優截面積數值最大。

圖6所示的移動荷載作用位置與桁架結構總質量之間的關系，也表現出類似的規律。

根據使用安全性要求，對于桁架結構中每一個桿件，荷載移動過程中的局部最優截面的最大值，就是在移動荷載作用下桁架結構尺寸優化問題的全局最優解。其數值如圖7所示，對應的目標函數值即結構總質量為92 743.55 kg。

一般桁架結構設計中，按照上、下弦桿及斜腹桿等類型對桿件分組，為便于制造及現場安裝，同一組中的桿件采用相同截面積。按照這樣的設計方法，對于本例，每一組按最大截面積進行計算，得到的桁架結構總質量為257 100.19 kg。而本文所提出的優化設計計算得到的桁架結構總質量為92 743.55 kg，結構總質量減少了63.93%。可見考慮荷載移動的桁架結構優化應用潛力很大，經濟性顯著。

圖6　移動荷載作用位置與結構質量關系

4　結論

根據移動荷載作用下桁架結構尺寸優化問題的特點，建立了移動荷載作用下桁架結構尺寸優化問題的數學模型，并采用準則法進行求解。得到的主要結論有：

1) 移動荷載作用下桁架結構尺寸優化問題可轉化為移動荷載在桁架節點上依次移動的多工況優化問題進行求解。移動荷載每個作用位置得到的桁架結構局部最優解的最大值，就是桁架結構的全局最優解。

2) 采用考慮荷載移動的桁架結構優化設計方法對桁架結構進行優化，總質量降低顯著，算例中桁架結構總質量減少了63.93%。

參考文獻：

[1]TONG W H,LIU G R.An optimization procedure for truss structure with discrete design variables and dynamic constrains[J].Computers and Structures,2001,79(2):155-162.

[2]ZHOU M,HAFTKA R T.A comparison of optimality criteria methods for stress and displacement constrains[J].Computers and Structures， 1995,124(2):253-271.

[3]周春平，常錦昕.基于單元生死功能的轉向架構架拓撲優化設計[J].計算機仿真，2010，27(5):267-270.

[4]WANG D,ZHANG W H,JIANG J S.Truss shape optimization with multiple displacement constrains[J].Computer Methods in Applied Mechanics ang Engineering,2002,191(33):3597-3612.

[5]朱伯芳，梨展眉，張壁成.結構優化設計原理與應用[M].北京：水利水電出版社，1984.

[6]錢令希.工程結構優化設計[M].北京：水利水電出版社，1983.

[7]錢令希.工程結構優化設計基礎[M].大連：大連理工大學出版社，2012.

[8]王棟.結構優化設計——探索與進展[M].北京：國防工業出版社，2013.

[9]XIE Y M,STEVEN G P.Evolutionary structure optimization[M].Berlin:springer,1997.

[10] GIL L,ANDREU A.Shape and cross-section optimization of a truss structure[J].Computers and Structures,2001,79(7):681-689.

[11] WANG D,ZHANG W H,JIANG J S.Combined shape and sizing optimization of truss structures[J].Computational Mechanics,2002,29(4-5):307-312.

[12] 陳侃.新黃河特大橋1孔156 m簡支鋼桁梁設計[J].工程與建設，2011,25(2)：215-217.