Ford-Fulkerson算法在建設工程項目進度協調中的應用

劉 卿

上海前灘國際商務區投資（集團）有限公司 上海 200126

在目前社會上項目工期緊、勞動力資源緊缺成為普遍現象的大環境下，如何更科學、有效地進行項目進度控制，成為我們需要研究的問題。建筑工程是一項復雜的工程，融合了很多項目管理及管理學的知識體系，不僅要求整個團隊有技術及措施，還需要具備相應的管理技巧[1-2]。

解決資源沖突是項目進度管理中的重中之重，這不僅能夠使有限資源得到充分運用，同時也能有效控制資源型工期進度。

1 項目概況

前灘某商辦項目二期，位于上海市浦東新區前灘地區，總用地面積17 224 m2，總建筑面積130 618.5 m2，地上84 299.7 m2，地下46 318.8 m2，地上建筑為2棟核心筒-鋼框架結構高層辦公塔樓，以及4棟鋼框架結構的商業裙房，整體地下室3層，作為民防工程及地下車庫。項目由地面架空鋼結構連廊連接塔樓及裙房。其中，辦公塔樓地上21層，建筑高度為99.35 m；商業裙樓地上2～3層，建筑高度15.5 m。辦公塔樓外立面長55.5 m，寬31.3 m，首層大堂層高5.5 m，2～21層層高4.5 m，屋頂層幕墻檐口高3 m，幕墻頂高98.5 m，各樓層外立面帶不規則彩釉圖案（圖1）。

圖1 項目效果圖

項目于2014年4月開工，2015年6月完成±0 m節點，2015年12月結構封頂，2016年12月完成幕墻封閉，2017年10月通過各項竣工驗收，2018年1月正式交付使用。

2 進度計劃及勞動力配置研究

2.1 幕墻施工部署及進度計劃

標準層幕墻配置鋼化彩釉夾膠中空玻璃，每一層幕墻單元板塊數量為124塊，2層至屋頂層，共21個作業層，每棟塔樓共計2 604塊彩釉單元幕墻。

根據工況要求，2層以上為連續單元幕墻體系，首層大堂采用獨立單元幕墻體系，由于大堂需要供大型材料設備進出，故該區域幕墻封閉工作后置，本文不研究其進度協調問題。

根據現場施工方案布置，外立面區域布置大型垂直運輸工具，即塔吊、施工電梯，每一層分別影響6塊和7塊單元不能連續施工，故每一個標準層的施工段可連續施工的單元幕墻為111塊，影響范圍為2～21層，塔吊區域和施工電梯區域單元板塊最晚在屋頂層單元板塊吊裝之前封閉，分別有120塊和140塊單元。

根據本項目幕墻加工及安裝的工藝流程，按每5個標準層為一個工藝批次，最后塔吊、施工電梯及屋頂層為一個工藝批次。

根據施工部署，需對2棟塔樓依次進行幕墻深化設計和單元板塊加工、單元連接件及2層打底框安裝、標準層單元板塊安裝、塔樓口及貨梯口單元板塊安裝封閉、屋頂層單元板塊安裝。

塔樓幕墻規模如表1所示。

表1 塔樓幕墻單元板塊規模

塔吊區、施工電梯區以及最后的屋頂層體量與一個標準層相差無幾，該批次約等同于3個標準層的工作，最后形成幕墻吊裝的關鍵工作及工期計劃（圖2）。

圖2 幕墻吊裝工期計劃

該進度計劃中，幕墻加工占據了關鍵線路，同時為保證2棟塔樓的整體形象進度，2棟塔樓幕墻的加工工作交替進行，吊裝工作也交替穿插進行，是非關鍵線路工作，用時標網絡圖表述，理論上存在很多自由時差，進度計劃有很大的彈性量，在不考慮勞動力投入限制的情況下看似合情合理。

2.2 勞動力資源需求配置研究

依據LD/T 73.4—2008《建設工程勞動定額》[3]：“勞動力定額是總結某一段時期內先進生產方法的手段，通過對施工生產過程的觀察、分析綜合制定的。它比較科學地反映出生產技術和勞動組織的先進合理程度，所需的資源的前提是滿足普遍的平均先進水平，具有相對穩定，并根據生產力的提高逐步完善。”

由于單元板塊在工廠自動化流水線加工，故工廠勞動力資源配置不影響項目現場施工進度。本次研究現場安裝的勞動力資源限制條件下的進度協調問題，研究其中體量最大、工期持續最長并最具代表性的標準層吊裝期間的進度。

在《建設工程勞動定額》中，明框幕墻的基本勞動力需求為每10 m2需求3.511工日，標準層施工的勞動力強度基本投入總量為240工日，根據圖2計劃，每標準層需要6日安裝流水節拍，每標準層幕墻吊裝的每日勞動力基本需求為40工。

根據施工工藝，幕墻單元板塊現場完成吊裝需要2類工種。第1類為運輸工，其作用為從地面堆場將單元板塊運輸至起吊位置，并將單元板塊牢靠固定在纜風繩索吊鉤上。第2類為包括指揮司號在內的緊密配合吊裝的工人，其作用是通過操作頂層滑軌及卷揚機，將單元板塊進行垂直起吊并水平移位到工位，并進行一列輔材安裝及板塊精確就位、矯正、復核、固定等工作。

根據工程特點并參考市場常規取值，考慮施工單位實際的工效時間及成本，控制總勞動力工日投入量常規經驗比值為：安裝∶運輸=6∶1，人數取整=34∶6。

本項目標準層幕墻吊裝需要的最大工日為240工日，其中需要運輸工36工日，活動持續6 d，則每天需要6人；幕墻安裝施工需要安裝工204工日，活動持續6 d，則每天需要34人。每個單體需要的2種資源如表2所示。

表2 塔樓標準層施工勞動力資源需求

在施工單位投標文件及施工組織設計的現場勞動力計劃表中，安裝工單日投入最大人數限制為60人，運輸工單日投入最大人數限制為10人。在實際項目中，可能因施工單位對項目的理解以及技術、管理水平存在一定差距，故我們有必要對勞動力計劃進行校驗和復核。

3 勞動力資源限制復核

我們采用“最大流問題”對每項資源的投入進行復核研究，首先研究2個單體標準層平行施工時各工序工作的勞動力問題。

3.1 標準層安裝工

任一個單體工程的標準層幕墻安裝工在每天內投入不超過34工，完成此項工作均需204個工日，2個單體勞動力限制共60人，求解能否在6 d內如期完成。

依據上述建立模型方程：

方程中υs節點表示起點，υt節點表示終點；υi（i=1～m）分別表示發生在第1天、第2天、第3天、…、第n天（n為計劃工期）的工作，從υs到υi弧的流量表示為所投入在第i天針對所有單體的勞動力當天人數，記為，每天所有單體勞動力最大限制數記為，且應滿足。

υj（j=C、D）表示第i天完成 j單體的工作狀態，從υi到υj弧的流量表示第i天在j單體工作上所投入的當天勞動人數，記為，每天j單體的勞動力最大投入數記為，且應滿足。

從υj到υt弧的流量表示j單體在第1天至第n天累計的工日數，記為，而根據前文勞動力資源需求配置，j單體此項工作完成任務需要的總工日數記為，且應滿足。

根據以上分析，將工程用計劃網絡圖表示（圖3）。

圖3 標準層幕墻安裝6 d最大流網絡圖

根據數學模型，我們要研究在不超過勞動力限制條件下，現有的勞動力計劃能否保證工期的問題，我們采用福德-富克遜算法[4]進行計算，其中：bυs→υi=60，bυi→υj=34，bυj→υt=204。

先為網絡分配一個任意初始流，除υs及υt節點，每個節點流入和與流出和一致，標在圖中弧旁的括號內（圖4）。

圖4 標準層幕墻安裝6天最大可行流網絡圖

為υs標記[－,∞]，S={υs}，S={υ1,υ2,υ3,υ4,υ5,υ6,υC,υD}，可以得出，從S到S的 正向弧都是飽和弧，且逆向弧都是零流弧，因此S中 的點均不可標記，所以，當前可行流是最大流，且不存在增廣鏈。

最小割集為：{(υs,υ1), (υs,υ2), (υs,υ3), (υs,υ4),(υs,υ5), (υs,υ6)}，最大流量fmax=最小割集容量=360。

我們得到2個單體標準層幕墻吊裝工作平行施工，在6 d內的每日勞動力分配結果。從網絡圖中我們發現，fυC→υt，fυD→υt均未全部達到其最大流量204，其意義就是所投入的勞動力無法全部完成應有的任務，要增加工作天數。

設工作天數為7 d，并重新進行復核計算。通過迭代，在滿足的前提下，我們得出一個最大可行流網絡圖（圖5），并得出勞動力分配的可行解（表3）。所得的結果反映了2個單體的施工同步進行，按現有的勞動力資源限制及勞動力投入，至少需要7 d能將一個標準層的工作全部完成。如若標準層幕墻吊裝工作持續7 d，每天勞動力投入量可以低于60人的限制數。

圖5 標準層幕墻安裝7 d最大可行流網絡圖（安裝工）

表3 標準層幕墻安裝工7 d工期勞動力分配可行解

利用福德-富克遜算法也可以反推試算每天投入人數上限的最低值：

1）設人數限制為59，即：bυs→υi=59，bυi→υj=34，bυj→υt=204。得出勞動力分配結果（具體驗算過程同上文），如表4所示。

表4 安裝工59人限制的7 d工期勞動力分配可行解

2）設人數限制為58，即：bυs→υi=58，bυi→υj=34，bυj→υt=204。得出勞動力分配結果可行解，如表5所示。

表5 安裝工58人限制的7 d工期勞動力分配可行解

存在fυj→υt＜bυj→υt且Σjfυj→υt=406，說明已突破59人的最低限制。

3.2 標準層運輸工

任一個單體工程的標準層運輸工在每天內投入不超過6工，完成此項工作均需36個工日，2個單體勞動力限制共10人，考慮資源比重比較大的安裝工程持續了7 d，先求解能否在7 d內如期完成。

通過驗算，對各單體標準層運輸工進行復核，bυs→υi=10，bυi→υj=6，bυj→υt=36，通過迭代，我們得出一個7 d工期前提下的最大可行流網絡圖（圖6）。可知fmax=70＜72，且fυD→υt=34，未達到其最大流量36，我們可以得出人工的投入量略微不足，解決措施是要么再延長1 d工期，要么提高勞動效率。

圖6 標準層幕墻安裝7 d最大可行流網絡圖（運輸工）

因為fυD→υt僅僅與最大流量相差2個工日，假設每天增加1個勞動力配置上限數量，通過福德-富克遜算法，對各單體標準層運輸工再次復核，bυs→υi=11，bυi→υj=6，bυj→υt=36，得出運輸工的工期及勞動力分配結果，就明顯可以滿足7 d的工期需求（表6）。也可以得出一個定論，如果提高運輸工作10%的效率，也能滿足現有10個運輸工限制條件下7 d的施工任務。

表6 運輸工11人限制的7 d工期勞動力分配可行解

通過對勞動力資源限制的復核，在當前2種工種的勞動力限制的條件下，2個單體平行施工時，不能在6 d計劃工期內全部完成。首先，安裝工及運輸工作需要分別采用延長工種時長。其次，如按7 d的工期，安裝工投入量則相對比原計劃多，對決策者而言，可以視具體情況對存缺口的工種進行崗位調劑。當然，另外一點說明原有工期計劃沒有充分考慮勞動力資源的協調問題，資源限制會對工期計劃產生影響。

4 資源限制型進度對比及調整優化

原進度計劃（見圖2）通過與Microsoft Project 2016軟件資源—工期優化功能進行相比，在Project甘特圖的對應任務中分配資源，并在資源分配表設置勞動力上限，再用軟件檢查勞動力超限，最后進行軟件資源分層優化，得出Project軟件優化之后的進度計劃，顯然進度還延后了半個月（圖7）。

圖7 Project軟件資源—工期優化橫道圖

由于現場勞動力投入是一個相對固定值，如果勞動力分配不均，必然會出現勞動力瓶頸，很大程度上會影響實際工作推進，如果非關鍵線路的工作延遲時間大于自由時差，一定程度上又會轉換成關鍵線路，最后影響總工期，該計劃并未考慮幕墻工藝樣板施工及整改復核的時間。

通過前文的勞動力復核，我們得出在2個單體平行施工的最不利條件下，每天的勞動力需求都是一個比較均衡并緊湊連續的進程，充分發揮了勞動力的效率。

平行施工的每一批次每一標準層每天的勞動人數按照表4及表6所得的可行解投入，我們發現在前道工序的工作面及材料供應及時的前提下，2個工種每天的投入量沒有存在任何超限情況，勞動力總數不變，進度節點有保障，且從項目決策層角度出發，更注重前期的工藝樣板的復核確認，通過優化我們得到了更切實際、也更經濟有效的項目進度計劃（圖8）。

圖8 結合最大流算法的資源—工期優化橫道圖

5 結語

在多任務平行施工的狀態下，勢必會受到不同勞動力資源限制。因為有工期要求，不能隨意延長工期，但一旦出現勞動力瓶頸，就必須得調整計劃以滿足資源限制，并力求影響最小值。

受篇幅及研究所限，本文所得出的結果未能詳盡及充分地體現出其對整個項目起到的作用有多大，還值得更深層次的研究。但采用最大流的數學計算模型，能夠有效地解決在工期相對緊張、所需資源受到投入限制條件下，多單體同時施工時的勞動力資源分配問題，相對于當前一些學術理論的計算方法，該模型更加直觀、有效地闡述勞動力分配的過程[5-10]，更值得項目精細化管理借鑒。研究的內容也可為地產開發企業在當前經濟背景及普遍資源限制環境下進行進度控制工作提供借鑒，具有時代特點和現實意義。