隨機(jī)SIVS傳染病模型的持久性和滅絕性

陳易亮，滕志東

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

0　引言

傳染病極大地危害著人類(lèi)的健康和生活.為了更好地預(yù)防和控制傳染病，可通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究傳染病的傳播和發(fā)展規(guī)律.許多學(xué)者對(duì)確定性傳染病模型進(jìn)行研究，并得到了一些很好的結(jié)果.但在現(xiàn)實(shí)生活中，傳染病在傳播過(guò)程中不可避免地受到一些隨機(jī)因素的影響，所以近幾年對(duì)隨機(jī)傳染病模型的研究得到了廣泛重視.[1]由于引入擾動(dòng)的方法不同，得到的隨機(jī)傳染病模型也不盡相同.引入擾動(dòng)的方法主要有兩種：一種是對(duì)確定性模型中的參數(shù)進(jìn)行擾動(dòng)；另一種是對(duì)確定性模型圍繞其地方病平衡點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng).[2-3]

因?yàn)榘l(fā)生率包含了易感者和感染者個(gè)體的行為變化和擁擠程度，其對(duì)保證傳染病模型的準(zhǔn)確描述起著關(guān)鍵作用.在許多經(jīng)典的傳染病模型中，雙線性發(fā)生率和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率被經(jīng)常使用，如Wang等[4]研究了具有雙線性發(fā)生率的SIR傳染病模型.此外，一些學(xué)者對(duì)具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)傳染病模型進(jìn)行了研究，如Liu[5]研究了具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)和確定性SIRS 傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為.Zhao等[6]研究了具有飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIVS傳染病模型

(1)

得到如下結(jié)果：

為了更好地描述和預(yù)測(cè)傳染病的動(dòng)力學(xué)行為，在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，本文討論具有非線性發(fā)生率的隨機(jī)SIVS傳染病模型

(2)

其中：S(t)和I(t)分別表示種群的易感者和感染者；V(t)表示通過(guò)接種獲得免疫的人群數(shù)量，即接種者；Λ表示人口的輸入率；β表示S(t)和I(t)之間的傳輸率；μ表示自然死亡率；p是對(duì)易感者接種的比例系數(shù)；q是對(duì)新生兒的接種率；δ表示接種個(gè)體的喪失免疫率；ν表示因病死亡率；γ表示恢復(fù)率；同時(shí)假定所有的系數(shù)非負(fù).

1　預(yù)備知識(shí)

引理1假設(shè)(H1)與(H2)成立，D={(S，I)|0≤S≤Λ/μ，0≤I≤Λ/μ}.則

(3)

(4)

即存在常數(shù)M1>0，?(S，I)∈D，

證明(3)式顯然成立.對(duì)(S，I)∈D，定義函數(shù)

由L’Hospital準(zhǔn)則，

因此對(duì)于(S，I)∈D，H(S，I)和G(S，I)均連續(xù)，故(4)式成立.

是系統(tǒng)(2)的正向不變集.

這個(gè)引理可用類(lèi)似文獻(xiàn)[7]的方法證明，這里省略.

由引理1，d(S+I+V)≤[Λ-μ(S+I+V)]dta.s.，于是

這個(gè)引理可用類(lèi)似文獻(xiàn)[6]的方法證明，這里省略.

令

2　疾病的滅絕性

證明對(duì)系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程應(yīng)用It公式得

(6)

對(duì)(6)式兩邊從0到t進(jìn)行積分，再同時(shí)除以t有

(7)

2012年前后，杭州市政府大力探索智慧城市建設(shè)，區(qū)域醫(yī)療信息化建設(shè)推進(jìn)迅速，希望實(shí)現(xiàn)醫(yī)療機(jī)構(gòu)互聯(lián)互通，達(dá)成“智慧醫(yī)療”概念。最終，市民卡成為患者進(jìn)入杭州醫(yī)療服務(wù)體系的一個(gè)“公共載體”。這些網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，為醫(yī)院一系列后續(xù)流程變革創(chuàng)造了條件。

若條件(A)成立，則有

若條件(B)成立，由假設(shè)條件(H1)，(H2)及中值定理，

(8)

(9)

對(duì)充分小的常數(shù)ε>0，由(7)式得

(10)

由(7)和(8)式及引理2，進(jìn)一步有

(11)

(12)

(13)

從而有

(14)

當(dāng)ε→0時(shí)，

(15)

3　疾病的持久性

其中

由中值定理，存在(ξ，θ)∈D，η位于S0和S之間，使得

從而

對(duì)上式兩邊從0到t進(jìn)行積分再除以t，由引理2得

故

因?yàn)?ξ，θ)∈Γ，由引理1可知

再根據(jù)假設(shè)(H1)，

從而

由于

從而

同理可得

因此

進(jìn)一步地，

并且

此外，

由于

綜上，

4　總結(jié)

[參考文獻(xiàn)]

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