理想和濾子的S-收斂

潘　偉，徐振國

(1.牡丹江師范學院數學科學學院，黑龍江 牡丹江 157000； 2.國家科技基礎條件平臺中心，北京 100862)

1　預備知識

收斂理論不僅在拓撲和分析方面有重要的應用，在推理和其他學科中也有重要應用.文獻[1]在I-拓撲中引入了具有開創性的重域概念，由此確立了完整的網的Moore-Smith收斂理論.王國俊[2]借助分子的閉遠域將該理論推廣到L-拓撲中.隨后又出現了多種收斂理論.[3-7]文獻[8]引入了半開L-集、半閉L-集和半連續映射的概念.基于文獻[2]的思想，借助于文獻[8]中半閉L-集概念并利用半閉遠域，本文引入了理想的S-極限點、S-聚點，濾子的S-極限點、S-聚點等概念，并給出了網的S-極限點、S-聚點，理想的S-極限點、S-聚點和濾子的S-極限點、S-聚點之間的關系，確立了理想和濾子的S-收斂理論.

定義1.1[8]設(X，τ)是L-拓撲空間，A∈LX.則：A稱為半開L-集，當且僅當A≤cl(int(A))；A稱為半閉L-集，當且僅當int(cl(A))≤A.記LX中所有半開L-集的集合為SO(X)，所有半閉L-集的集合為SC(X).

定義1.2[8]令(X，τ)是L-拓撲空間，A∈LX.則：scl(A)=∧{B|B≥A，B是半閉L-集}；sint(A)=∨{B|B≤A，B是半開L-集}.

定義1.4[10]Γ?LX稱為是X上的濾子，如果：(1)P1∈Γ，P2≥P1意味著P2∈Γ；(2)P1，P2∈Γ意味著P1∧P2∈Γ.一個濾子Γ稱為超濾子，如果Γ≠0.

定義1.5[2]設(X，≤)是偏序集，a∈X，A?X，規定↑a={x∈X|a≤x}，↑A=∪{↑a|a∈A}.當A=↑A時，A稱為上集；若對A中任意兩個元素a，b，?c∈A使得a≤c，b≤c，則稱A為上定向集.對偶地，可以定義下集與下定向集.

定義1.6[2]設L是完備格，I是L的非空子集.若I是上定向集且1∈I，則稱I為L中的理想基.此外若I是下集，則稱I為L的理想.

2　理想的S-收斂

證明簡單，故略去.

證明令P∈ηS(xλ)，則由ηS(xλ)?I且I是下集，有G≤P，所以xλ是G∈I的S-附著點，從而xλ≤scl(G).

證明令P∈ηS(xλ)，則ηS(xλ)?I，從而P∈I.因為I是下集，有G-x1≤P，所以G≤P∨xG(x).特別地，對每一個xμ∈M(IX)滿足xλ≤xμ≤P，有G≤P∨xμ，因此xλ是G中S-聚點.

定理2.5令(X，τ)是L-空間，I是LX中理想.則limSI和adSI是半閉L-集.

該結論證明較簡單，此處略去.

3　濾子的S-收斂

證明由于結論(2)可以由結論(1)推導出來，結論(5)和(6)的證明類似于定理2.4的證明，因此只證明結論(1)和(3).

定義3.3令(X，τ)是L-空間，Γ，Φ是LX中超濾子，e∈M(LX).稱Φ比Γ細(或Γ比Φ粗)，如果Γ?Φ.

此定理的證明較為簡單，此處略去.

4　網、理想和濾子之間的關系

定義4.1[10]設(X，τ)是L-空間.則：

(1) 若I是LX中理想，定義D(I)={(e，G)|e∈M(LX)，G∈I，e≤G}.對于D(I)中的點(e1，G1)，(e2，G2)，定義(e1，G1)≤(e2，G2)當且僅當G1≤G2.那么(G(I)，≤)是定向集，S(I)={S(I)(e，G)=e|(e，G)∈D(I)}是LX中的網，稱為由I誘導的網.

(2) 若N是LX中網，那么I(N)={G∈LX|N最終不在G中}是LX中理想，稱為由N誘導的理想.

(4) 令N是LX中網，那么Γ(N)={G∈LX|N最終和G相重}是LX中濾子，稱為由N誘導的濾子.

證明結論(1)的證明較簡單故略去.

根據《扎賚特旗國民經濟和社會發展第十二個五年規劃綱要》，對2015年區域內各行業需水進行預測（見表3）。由表3可見，項目區地下水可開采量能夠滿足節水增糧行動項目對地下水的需求。

[參考文獻]

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