帶有分段常數變量的Logistic模型的穩定性和Neimark-Sacker分支

豆中麗，王　瑞

(1.重慶工商大學融智學院，重慶 400055； 2.重慶大學數學科學學院，重慶 401331)

1　預備知識

在生態系統中，具有分段常數變量微分方程模型的穩定性、分支、混沌等動力學行為逐漸受到眾多學者關注.文獻[1]討論了帶有分段常數變量的單種群Logistic模型

(1)

其中t，r，K∈(0，+∞)，[t]表示參數t的整數部分.該文討論了模型在正平衡點處的穩定性和分支行為，指出當參數r等于某特殊值時，該模型在正平衡點附近出現混沌現象.文獻[2]討論了一類具有功能反應函數與食餌數量成正比的模型，但捕食者總有吃飽的時候，這就意味著忽略了消化飽和因素，與實際情況不太相符.因此研究具有飽和因素的功能反應函數更加符合實際情況，而具有Holling-Ⅱ功能的反應函數

就有飽和關系.本文研究了捕食者Y(t)滿足Logistic方程，且其數量按照Logistic方式增長的模型

(2)

其中：X為食餌種群密度；Y為捕食者種群密度；r為食餌內稟增長率；e∈(0，1)為氣象環境對食餌種群密度的影響因子；K為環境容納量，可解釋為食餌所取作物狀況；a為捕食者的捕食率；β∈[0，1)為食餌逃避率，即捕食種群能捕捉到食餌數量為(1-β)X(t)；c∈(0，1]為捕食者捕食食餌的轉化率；d為捕食者的死亡率.根據生態學意義可知模型(2)的初始條件為X(0)=X0>0，Y(0)=Y0>0.

2　平衡點的存在性和穩定性

當n≤t≤n+1(n=0，1，2，…)時，系統(2)轉化為

(3)

對(3)式兩端從n到t積分，并令t→n+1，得

(4)

通過簡單計算可得：對于任何參數，系統存在不動點E0(0，0)，E1(K，0)；當ac-d>0，K>K0時，系統(4)存在唯一正平衡點[3]

定理2.1系統(4)的平凡平衡點E0(0，0)是鞍點.

證明系統(4)的Jacobian矩陣為

當(x(n)，y(n))=(0，0)時，由文獻[5]可知系統(4)對應線性系統的特征方程為(λ-er)(λ-de-d)=0，從而λ1=er，λ2=-de-d.因為r>0，故|λ1|>1，|λ2|<1，所以平凡平衡點E0(0，0)是鞍點.

定理2.2(1) 當0d，則平衡點E1(k，0)是鞍點.

(2) 當r>2，k(1-β)(ac-d)>d時，平衡點E1(k，0)是不穩定的.

(3) 當r≠1，3，k(ac-d)(1-β)=d時，模型在平衡點E1(k，0)處產生Flip分支

證明模型(4)在平衡點E1(k，0)的Jacobian矩陣為

(1) 當01+d，則|λ1|<1，|λ2|>1，從而E1(k，0)是鞍點.

(2) 當r>2，k(1-β)(ac-d-1)>1+d時，有|λ1|>1，|λ2|>1，所以E1(k，0)是不穩定的.

成立，則系統(3)在無病平衡點E1(k，0)處產生Flip分支.

(1) 若d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0<0，且

由于正平衡點的穩定性由特征方程的特征根決定，令p(λ)=λ2+μ1λ+μ2，可得

3　分支解的存在性和穩定性

以及特征根

設p，q分別是對應于特征值eiθ0，e-iθ0的特征向量，則

Aq=eiθ0q，ATp=e-iθ0p.

通過計算系統可表示為

其中：O(‖x‖4)是高階無窮小量；B(x，y)和C(x，y，z)是多重線性函數，且在坐標下的分量為

于是：

具有N-S分支的系統出現的閉不變曲線方向，可以用下面公式計算：

4　數值模擬

情形Ⅲ取參數值d=0.01，c=0.1，β=0.1，a=0.4，K=10.根據定理計算可知當r>r0>0.712時，差分方程(4)對初值迭代解非常敏感，看不出穩定的平衡點，系統已經失穩，產生混沌現象，見圖3—4.

圖1　r

圖2　0.67

圖3　r>r0>0.712時N-S分支解的平面和相平面圖

圖4　混沌分岔圖

[參考文獻]

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