Bergman-Hartogs域上的兩類雙全純映照子族

王朝君，崔艷艷，劉　浩

(1.周口師范學院數學與統計學院，河南 周口 466001； 2.河南大學現代數學研究所，河南 開封 475001)

1　預備知識

1995年，Roper-Suffridge算子的引入在單變量解析函數與多復變量雙全純映照之間架起了一座橋梁，也為在多復變空間中構造具有特殊幾何性質的雙全純映照提供了保障.雙全純映照及其延拓主要研究各類雙全純映照子族，而隨著各類雙全純映照子族的不斷出現，其在Roper-Suffridge延拓算子下的幾何不變性引起了眾多學者的關注.

本文將Roper-Suffridge延拓算子進一步推廣為

F(w，z)=(w(1)(f′(z1))δ1，…，w(s)(f′(z1))δs，f(z1)+G([f′(z1)]γz0)，(f′(z1))γz0)′.

(1)

F(z)=(f(z1)+G([f′(z1)]γz0)，(f′(z1))γz0)′.

(2)

下面主要討論算子(1)在域

上保持α次β型螺形映照及復數λ階殆星映照的性質，并得到算子(2)也具有同樣性質.

引理1[1]設Ω∈Cn是有界星形圓形域，其Minkowski泛函ρ(z)除去一個低維流形Ω0外一階可導，則?z=(z1，…，zn)∈ΩΩ0，

引理4[3]設f(z)是單位圓盤D上的正規化雙全純函數，α≥2，則

2　主要結論及其證明

(3)

由引理2得

(4)

其中

令

(5)

則q(z1)∈H(D)，|q(z1)|<1且

(6)

(1+2)I=2α(1-itanβ)G(w，z)+(i2αtanβ-1)(1+2)=

(7)

(8)

從而由(7)—(8)式及引理5―7得

注1在定理1中若只考慮算子(1)中的后兩個元素，則得到算子(2)在單位球Bn上也保持α次β型螺形性.若令β=0，則得到相應的關于α次星形映照的結論.

證明由復數λ階殆星映照的定義，只需證明

(9)

(10)

由f(z1)是D上的復數λ階殆星函數知Req(z1)>0，q(z1)∈H(D)，q(0)=1且

(11)

由引理8，

(12)

根據(4)，(10)與(11)式，

與定理1類似論證可得結論成立.

[參考文獻]

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