與整數有序分拆的分部量1相關的一些恒等式

郭 育 紅

(河西學院數學與統計學院，甘肅 張掖 734000)

1　預備知識

在經典的分拆理論中，MacMahon[1]給出了正整數有序分拆的定義，從而正整數n被表示成了若干正整數的有序和，其中每一項被稱為該分拆的分部量.例如，可將4有序分拆成4，3+1，1+3，2+2，2+1+1，1+2+1，1+1+2，1+1+1+1；而無序分拆有4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1.

圖1　14的有序分拆(6，3，1，2，2)的zig-zag圖

有序分拆的zig-zag圖：將有序分拆的每個分部量λ按照順序用含有λ個點的行表示，同時要求下一行的第一個點與上一行的最后一個點對齊.分拆14的有序分拆(6，3，1，2，2)的zig-zag圖如圖1所示.

利用有序分拆的zig-zag圖可得到有序分拆的共軛分拆，即將zig-zag圖從左到右按照列讀得到的分拆就是原分拆的共軛分拆.例如，圖1按列讀產生的有序分拆(1，1，1，1，1，2，1，3，2，1)就是(6，3，1，2，2)的共軛分拆，它們互為共軛.Munagi[2-3]介紹了包括zig-zag圖在內的五種有序分拆的共軛分拆的求法.

分拆恒等式的研究一直是分拆理論中有趣而內容豐富的一個課題，近年來涌現許多研究結果.[4-10]2015年，Munagi和Sellers[11]指出：如果正整數的一個有序分拆中分部量λ連續出現j次，則稱分部量λ出現Inplacej次.該文還給出了關于有序分拆的若干Inplace恒等式.

定理1.1[11]設n≥1，正整數n的偶分部量出現Inplace偶數次的有序分拆數等于正整數n不含分部量≡2(mod 4)的有序分拆數.

定理1.2[11]設n≥1，正整數n的奇分部量出現Inplace偶數次的有序分拆數等于正整數2n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數.

文獻[11]將分部量λ有兩種形式表示成：λ，λ*，同時將上述恒等式中分部量做了推廣，得到了更一般的Inplace分拆恒等式.

本文考慮正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆問題，發現正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆數等于第2n+1個Fibonacci數F2n+1.于是結合Fibonacci數與正整數的一些有約束的有序分拆之間的關系，得到了關于正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆數與正整數n的分部量是奇數的有序分拆數，分部量是1或2的有序分拆數，分部量大于1的有序分拆數之間的一些恒等式.

2　主要結果

關于正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆，本文沿用文獻[11]中記號，即用1與1*表示分部量1的兩種形式.

定理2.1設n≥1，正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆數等于2n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出現Inplace偶數次的有序分拆數.

證明類似于文獻[11]中的證法，對于正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆，作如下變換：將每個大于1的分部量λ變換成2λ，把沒有帶*號的分部量1變換成2，把帶*號的分部量1*變換成(1，1).于是得到了正整數2n的不含大于1的奇分部量，而分部量1出現Inplace偶數次的有序分拆.顯然，上述變換是可逆的，故結論成立.

這里給出該遞推關系的一個組合雙射證明.

證明將n的分部量1有兩種形式的有序分拆和n-2的分部量1有兩種形式的有序分拆分成兩類：

(A)n的有序分拆中右端分部量是1或1*；

(B)n的有序分拆中右端分部量是h，h>1以及n-2的有序分拆.

將分部量是1或2的有序分拆稱為1-2有序分拆，分部量是奇數稱為奇有序分拆.

引理2.1[12]正整數n的1-2有序分拆數等于Fn+1.這里Fn是第n個Fibonacci數.

引理2.2[12]正整數n的奇有序分拆數等于Fn.這里Fn是第n個Fibonacci數.

引理2.3[12]正整數n的分部量大于1的有序分拆數等于Fn-1.這里Fn是第n個Fibonacci數.

考慮關于正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆與1-2有序分拆、奇有序分拆、分部量大于1的有序分拆之間的關系，得到下面幾個恒等式.

定理2.3設n≥1，正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆數等于2n的1-2有序分拆數.

證明將n的分部量1有兩種形式的有序分拆分成以下兩類：

(A)n的有序分拆中分部量都是1；

(B)n的有序分拆中分部量至少有一個不是1.

對于(A)類中的任意一個有序分拆，由定理2.1證明中給出的對應關系，可知這類分拆對應著2n的1-2有序分拆中分部量1出現Inplace偶數次的分拆.

定理2.4設n≥1，正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆數等于2n+1的奇有序分拆數.

這里仍給出該恒等式的組合證明.

證明由定理2.3的證明知道，正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆對應著2n的1-2有序分拆.于是，對于2n的任何一個1-2有序分拆，在其右端添上分部量1，然后按照從右向左的順序將1及其左邊的所有2合并成一個新的分部量，便得到2n+1的奇有序分拆.反之亦然.

定理2.5設n≥1，正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆數等于2n+2的分部量>1的有序分拆數.

證明由定理2.3的證明可知，正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆對應著2n的1-2有序分拆.于是對于2n的任何一個1-2有序分拆α，在其左右兩端分別添上分部量1，就得到2n+2的兩端分部量都是1的1-2有序分拆β.下面求分拆β的共軛分拆β′，由于分拆β是左右兩端分部量都是1的1-2有序分拆，故其共軛分拆β′就是分部量大于1的有序分拆.從而得到了2n+2的分部量大于1的有序分拆.反之亦然.

表1給出了當n=3時，正整數n的分部量1有兩種形式的有序分拆與正整數2n的1-2有序分拆、正整數2n+1奇有序分拆、正整數2n+2分部量大于1的有序分拆之間的對應關系.

表1　3，6，7，8的各種有序分拆之間的對應關系

由定理2.1，2.3—2.5，自然有下面關于正整數n的分部量1出現Inplace偶數次的有序分拆數與正整數n的1-2有序分拆數、奇有序分拆數、分部量大于1的有序分拆數之間的關系式.

推論2.1設n≥1，正整數n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出現Inplace偶數次的有序分拆數等于n的1-2有序分拆數.

推論2.2設n≥1，正整數n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出現Inplace偶數次的有序分拆數等于n+1的奇有序分拆數.

推論2.3設n≥1，正整數n的不含分部量2k+1，k>0，且分部量1出現Inplace偶數次的有序分拆數等于n+2的分部量>1有序分拆數.

下面給出推論2.1的一個例子.

例2.1取n=6，則6的不含大于1的奇分部量，且分部量1出現Inplace偶數次的有序分拆有13個：(6)，(4，2)，(4，1，1)，(2，4)，(1，1，4)，(2，2，2)，(2，2，1，1)，(2，1，1，2)，(1，1，2，2)，(2，1，1，1，1)，(1，1，2，1，1)，(1，1，1，1，2)，(1，1，1，1，1，1).

同樣，6的1-2有序分拆有13個：(1，2，2，1)，(1，2，1，2)，(1，2，1，1，1)，(2，1，2，1)，(1，1，1，2，1)，(2，2，2)，(2，2，1，1)，(2，1，1，2)，(1，1，2，2)，(2，1，1，1，1)，(1，1，2，1，1)，(1，1，1，1，2)，(1，1，1，1，1，1).

[參考文獻]

[1]MACMAHON P A. Combinatory analysis：volumes 1[M].Cambridge：Cambridge University Press，1915：6-32.

[2]MUNAGI A O. Primary classes of compositions of numbers [J].Annales Mathematicae et Informaticae，2013，41：193-204.

[3]MUNAGI A O. Zig-zag graphs and partitions identities of A K Agarwal [J].Annals of Combinatorics，2015，19(3)：557-566.

[4]ANDREWS G E，HIRSCHHORN M D，SELLERS J A. Arithmetic properties of partitions with even parts distinct [J].Ramanujan Journal，2010，23：169-181.

[5]CHEN S C. On the number of partitions with distinct even parts [J].Discrete Math，2011，311(12)：940-943.

[6]HEUBACH S，MANSOUR T. Combinatorics of compositions and words [M]// Discrete mathematics and its applications.Boca Raton：CRC Press，2010：61-86.

[7]HIRSCHHORN M D，SELLERS J A. Arithmetic properties of partitions with odd parts distinct [J].Ramanujan Journal，2010，22(3)：273-284.

[8]MUNAGI A O. Euler-type identities for integer compositions via zig-zag graphs [J].Integers，2012，A62：1-10.

[9]RADU S，SELLERS J A.Congruence properties modulo 5 and 7 for the pod function [J].Int J Number Theory，2011，7(8)：2249-2259.

[10]TOH P C. Ramanujan type identities and congruences for partition pairs [J].Discrete Math，2012，312(6)：1244-1250.

[11]MUNAG A O，SELLERS J A.Some inplace identities for integer compositions [J].Quaestiones mathematicae，2015，38(4)：535-540.

[12]GESSEL I M，LI J. Compositions and Fibonacci identities [J].Journal of Integer Sequences，2013，16(4)：1-16.

[13]ANDREWS G E.The theory of partitions [M].Cambridge：Cambridge University Press，1984：3-15.