一個包含兩個數論函數方程的解

張四保，官春梅

(喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844008)

0　引言

對任意正整數n，φ(n)為Euler函數，其取值為序列0，1，2，…，n-1中與n互素的數的個數.[1]Euler函數φ(n)是數論中的一類重要函數，對它的研究可謂豐富多彩.

對于方程φ(x)=n的解以及解的個數問題，許多學者進行過研究.[2-5]對于方程kφ(n)=n-1解的問題，Lehmer[6]證明了：當k=2時，該方程的解至少是7個互異奇素數的乘積；當k=3時，該方程的解至少是33個互異奇素數的乘積.1963年，柯召與孫琦[7]將這一結論進行了改進，證明了：當k=2時，方程kφ(n)=n-1的解至少是12個互異奇素數的乘積；當k=3時，方程kφ(n)=n-1的解至少是97個互異奇素數的乘積.

對于方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))解的研究也有很多.文獻[8-9]研究了k=3時的情況；文獻[10]研究了k=7時的情況.對于方程φ(xyz)=k(φ(x)+φ(y)+φ(z))的解也有所研究.[11-12]

定義ω(n)為正整數n相異素因數的個數.對于包含φ(n)與ω(n)兩個數論函數的方程的解的討論也引起了眾多學者的興趣.文獻[13]討論了方程φ(n)=2ω(n)的解，給出了其全部的6個解；文獻[14]討論了方程φ(φ(n))=2ω(n)的解，給出了其全部的20個解；文獻[15]討論了方程φ(φ(φ(n)))=2ω(n)的解，給出了其全部的59個解；文獻[16]討論了方程φ(n)=2tω(n)的解，給出了t≤230的所有解以及t>230時的33個具體解.

本文將探討方程φ(n)=2ω(n)3ω(n)的解，利用初等方法并結合Euler函數φ(n)的有關性質，給出了該方程的全部解，確定了該方程共有30個解.

1　主要結論

定理1方程

φ(n)=2ω(n)3ω(n)

(1)

有解n=1，7，9，57，63，74，76，399，494，518，532，654，666，684，702，756，810，3 458，4 218，4 446，4 578，4 662，4 788，4 890，4 914，5 130，31 122，34 230，35 910，49 210.

證明當n=1時，φ(1)=1，2ω(n)3ω(n)=2ω(1)3ω(1)=2030=1，因而n=1是方程(1)的解.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

情況1δ=0.

情況2δ≠0.

當δ1=1時，P1-1=2232，因而P1=37，從而n=2×37=74是方程(1)的解.

當δ1=2時，P1(P1-1)=2232.顯然不存在奇素數P使得P1(P1-1)=2232成立，因而此時方程(1)無解.同理當δ1≥3時，方程(1)也無解.

當δ1=1時，(P1-1)(P2-1)=2333.由P1，P2的對稱性以及其互異性，對于(P1-1)(P2-1)=2333，只需考慮以下幾種情況：當P1-1=2，P2-1=22×33時，P1=3，P2=109，此時n=2×3×109=654是方程(1)的解；當P1-1=22，P2-1=2×33時，P1=5，P2=55，由于55不是素數，因而此時方程(1)無解；當P1-1=2×3，P2-1=22×32時，P1=7，P2=37，此時n=2×7×37=518是方程(1)的解；當P1-1=2×32，P2-1=22×3時，P1=19，P2=13，此時n=2×13×19=494是方程(1)的解.

當δ1=2時，P1(P1-1)(P2-1)=2333.從而P1=3，P2=37，此時n=2×32×37=666是方程(1)的解.

情況2.2δ=2，此時n=22P1δ1P2…Pk.

當δ1=1時，P1-1=2×32，因而P1=19，從而n=22×19=76是方程(1)的解；

當δ1=2時，P1(P1-1)=2×32.顯然不存在奇素數P使得P1(P1-1)=2×32成立，因而此時方程(1)無解.同理，當δ1≥3時方程(1)也無解.

當δ1=2時，P1(P1-1)(P2-1)=2233，從而P1=3，P2=19，此時n=22×32×19=684是方程(1)的解.

故方程(1)無解.同理當δ1≥2時，方程(1)也無解.

[參考文獻]

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[16]馬靜.方程φ(n)=2tω(n)(t∈Z+)的解[J].安徽師范大學學報(自然科學版)，2009，32(1)：23-26.