三維Minkowski空間中的對(duì)偶直紋面

黃　杰，魏斯寧，陳　亮

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

很多學(xué)者對(duì)三維Minkowski空間中的直紋面進(jìn)行了研究.[1-4]由類(lèi)光直母線(xiàn)生成的直紋面因其特殊性，引起了幾何學(xué)家的興趣.文獻(xiàn)[5]討論了三維Minkowski空間中具有類(lèi)光直母線(xiàn)直紋面的性質(zhì)；文獻(xiàn)[6]給出了三維Minkowski空間中具有類(lèi)光直母線(xiàn)的直紋面分類(lèi).

本文主要從對(duì)偶的角度研究了三維Minkowski空間中具有類(lèi)光直母線(xiàn)的直紋面.

1　三維Minkowski空間中的基本概念

〈x，y〉=x1y1+x2y2-x3y3，

x×y=(x2y3-x3y2，x3y1-x1y3，-x1y2+x2y1).

〈a×b，c×d〉=-(〈a，c〉〈b，d〉-〈a，d〉〈b，c〉).

三維Minkowski空間中的直紋面記為X(u，v)=a(u)+vb(u)，稱(chēng)a(u)為直紋面的導(dǎo)線(xiàn)，b(u)為直紋面的母線(xiàn).特別地，如果b(u)為常向量，則稱(chēng)直紋面X為柱面；如果a(u)為常向量，則稱(chēng)直紋面X為錐面；如果a′(u)‖b(u)，則稱(chēng)直紋面X為a的切線(xiàn)面.柱面、錐面與切線(xiàn)面為可展直紋面，否則X為非可展直紋面.

稱(chēng)：γ為錐曲線(xiàn)，{α(s)，β(s)，γ(s)}為錐Frenet標(biāo)架，κ(s)為錐曲率.

其中：a′(u)=α(u)，β(u)=b(u)×α(u)，〈β(u)，β(u)〉=1，μ是常數(shù)，λ(u)≠0.則稱(chēng)X(u，v)是B-scroll直紋面.

2　主要結(jié)論及證明

證明因?yàn)閎(u)∈Q2，則有錐Frenet標(biāo)架{α(u)，β(u)，b(u)}.由腰線(xiàn)的定義，如果導(dǎo)線(xiàn)a(u)是直紋面X(u，v)的腰線(xiàn)，那么〈a′(u)，b′(u)〉=0，從而〈a′(u)，β(u)〉=0.又因?yàn)椤碼′(u)，α′(u)〉=〈a′(u)，κ(u)β(u)〉=0，所以a(u)也是直紋面X1(u，v)=a(u)+vα(u)的腰線(xiàn).

(1) 當(dāng)λ≠0，μ≠0時(shí)，X(u，v)與X1(u，v)都是非退化、非可展的直紋面.

(2) 當(dāng)λ≠0，μ=0時(shí)，X(u，v)是非退化、非可展的直紋面，特別地當(dāng)λ=1時(shí)，X(u，v)為B-scroll直紋面；X1(u，v)是a(u)的類(lèi)光切線(xiàn)面.

(3) 當(dāng)λ=0，μ≠0時(shí)，X(u，v)是a(u)的類(lèi)光切線(xiàn)面；X1(u，v)是非退化、非可展的直紋面，特別地當(dāng)μ=1時(shí)，X1(u，v)為B-scroll直紋面.

(4) 當(dāng)λ=0，μ=0時(shí)，X(u，v)與X1(u，v)都是錐面.

證明直接計(jì)算可得

以X(u，v)為例，當(dāng)λ≠0，μ≠0時(shí)，因?yàn)镈≠0，所以X(u，v)為非退化直紋面.又因?yàn)?a′(u)，b(u)，b′(u))=(λ(u)α(u)+μ(u)b(u)，b(u)，β(u))≠0，所以X(u，v)為非可展曲面.當(dāng)λ=1，μ≠0時(shí)，a′(u)=α(u)，由B-scroll定義知X(u，v)為B-scroll直紋面.當(dāng)λ=0，μ≠0時(shí)，D=0.又因?yàn)閍′(u)=μ(u)b(u)，所以a′(u)‖b(u)，X(u，v)是a(u)的類(lèi)光切線(xiàn)面.當(dāng)λ=0，μ=0時(shí)，因?yàn)閍′(u)=0，a(u)為常向量，所以X(u，v)是錐面.同理上述結(jié)論對(duì)X1(u，v)也成立.

(1) 當(dāng)κ(u)=μ(u)時(shí)，K1=H1；

(3)X(u，v)與X1(u，v)沿著腰線(xiàn)a(u)的測(cè)地曲率互為相反數(shù)；

(4) 當(dāng)λ，μ為常數(shù)時(shí)，腰線(xiàn)a(u)是X(u，v)與X1(u，v)的測(cè)地線(xiàn).

證明由文獻(xiàn)[6]知X(u，v)的高斯曲率與平均曲率分別為

同理知X1(u，v)的高斯曲率與平均曲率分別為

故結(jié)論(1)和(2)得證.

此外，直接計(jì)算可得

當(dāng)λ，μ為常數(shù)時(shí)，因?yàn)檠刂鴄(u)的測(cè)地曲率κg=0，所以a(u)是X(u，v)的測(cè)地線(xiàn).同理可知a(u)也是X1(u，v)的測(cè)地線(xiàn).

(1)X(u，v)與X1(u，v)的pitch函數(shù)δ(u)，δ1(u)不能同時(shí)為零；

(2)X(u，v)與X1(u，v)不能同為B-scroll直紋面.

證明因?yàn)閎(u)∈Q2，那么有錐Frenet標(biāo)架{α(u)，β(u)，b(u)}.由pitch函數(shù)定義知

δ(u)=-a′(u)·α(u)，δ1(u)=-a′(u)·b(u).

根據(jù)文獻(xiàn)[8]定理3.2可知：δ(u)=0的充要條件為X(u，v)是腰線(xiàn)a(u)的副法向量面，即b(u)是a(u)的副法向量；δ1(u)=0的充要條件為X1(u，v)是腰線(xiàn)a(u)的副法向量面，即α(u)是a(u)的副法向量.結(jié)論矛盾，因此δ(u)和δ1(u)不能同時(shí)為0.此外，由文獻(xiàn)[8]定理3.3知X(u，v)與X1(u，v)不能同為B-scroll直紋面.

證明由null-scroll直紋面的定義，〈a′(u)，a′(u)〉=0，〈b(u)，b(u)〉=0，〈a′(u)，b(u)〉=1.又因?yàn)閄1(u，v)是X(u，v)的對(duì)偶直紋面，〈α(u)，b(u)〉=1，從而α(u)‖a′(u).因此X1(u，v)不是null-scroll直紋面，而是a(u)的切線(xiàn)面.

[參考文獻(xiàn)]

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