高中數學課程標準修訂中的關鍵問題

史寧中

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高中數學課程標準修訂中的關鍵問題

史寧中

（東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春 130024）

高中數學課程標準修訂中的關鍵問題有：凝練數學核心素養；數學核心素養與傳統數學教育；課程結構與課程標準表述；基于核心素養的教學和評價．

數學核心素養；課程結構；課程標準表述；基于核心素養的教學；基于核心素養的評價

雖然按照慣例，課程標準實施10年以后就要進行修訂，但是，這次高中數學課程標準的修訂卻有兩個重要的背景．一個背景，教育部在2012年就組織了以華東師范大學為主體的專家組，對2003年形成的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》的使用情況進行了廣泛調查，形成了詳實的調查報告，其中的經驗和問題都是修訂的重要依據．另一個背景、也是更重要的背景，為了落實“十八大”提出的教育“立德樹人”的根本任務，教育部2014年發布《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》的文件，提出核心素養、以及學科核心素養，并且明確要求“研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準”，這個要求成為修訂的重要原則．

關于數學核心素養．為了落實上述重要原則，高中數學課程標準修訂組不僅要研制出高中階段數學學科的核心素養是什么，還要在數學內容的闡述中突出核心素養，基于學科核心素養提出教學建議、評價建議、制定學業質量標準．為了做好這個工作，教育部成立了由北京師范大學專家牽頭的小組，專門研究核心素養，于2016年9月13日公布了研究結果，將核心素養定義為“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”．并且，基于社會參與、自主發展、文化修養3個方面，提出6個條目18個具體指標．為此，課程標準把數學核心素養定義為“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的、與數學有關的思維品質和關鍵能力”．

為了具體表述高中數學核心素養，首先需要描述，通過高中階段的數學教育，培養出來的人是什么樣的．數學學科是基礎教育階段最為重要的學科之一，通過基礎教育階段的數學教育，不管接受教育的人將來從事的工作是否與數學有關，終極培養目標都可以描述為：會用數學的眼光觀察世界；會用數學的思維思考世界；會用數學的語言表達世界．因此，在本質上，這“三會”就是高中階段的數學核心素養，是超越具體數學內容的教學目標．

為了廣大的數學教育工作者能夠在教材的編寫、數學教育研究、數學教育過程中有機地融入數學核心素養，課程標準需要把“三會”具體化，賦予內涵．

數學的眼光是什么呢？就是數學抽象．因為①：數學的研究源于對現實世界的抽象，通過抽象得到了數學的研究對象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等數學方法，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律．正因為有了數學抽象，就形成了數學的第一個基本特征，這就是數學的一般性，使得數學能夠揭示普遍規律．與數學抽象關系密切的是直觀想象，直觀想象是實現數學抽象的思維基礎，是人在思維的過程中逐漸形成的思想方法和思考能力，因此在高中數學階段，也把直觀想象作為數學核心素養的一個要素提出．

數學的思維是什么呢？就是邏輯推理．數學的發展依賴的是邏輯推理，通過邏輯推理得到數學的結論，也就是數學命題．所謂推理是指從命題判斷到命題判斷的思維過程，其中的命題是指可供判斷正確或者錯誤的陳述句；所謂邏輯推理，就是從一些前提或者事實出發，依據一定的規則得到或者驗證命題的思維過程，這里所說的規則是指推理過程具有傳遞性[1]．正因為有了邏輯推理，就形成了數學的第二個基本特征，這就是數學的嚴謹性．雖然數學運算是邏輯推理的一種特殊的形式，但在高中階段，數學運算非常重要，因此在高中數學階段，也把數學運算作為數學核心素養的一個要素提出．

數學的語言是什么呢？就是數學模型．數學模型使得數學回歸于外部世界，構建了數學與現實世界的橋梁．在現代社會，幾乎所有的學科在科學化的過程中都要使用數學的語言，除卻數學符號的表達之外，主要是通過建立數學模型刻畫研究對象的性質、關系和規律．正是因為有了數學建模，就形成了數學的第三個基本特征，這就是數學應用的廣泛性．因為在大數據時代，數據分析變得越來越重要，逐漸形成了一種新的數學語言，因此在高中數學階段，也把數據分析作為數學核心素養的一個要素提出．

這樣，課程標準就確定了高中數學核心素養的6個要素：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析．為了便于理解，課程標準對每一個要素，都分別從概念內涵、學科價值、學生表現3個層次進行了述說．因為上面提到的數學3個基本特征，即一般性、嚴謹性和應用的廣泛性，是全世界數學家的共識，而數學核心素養的6個要素是實現這3個基本特征的思維基礎，是高中數學內容體現出來的思維品質和基本能力，因此，課程標準把數學核心素養的這6個要素寫進課程目標，希望能夠貫穿在高中數學教育的全過程．

數學核心素養與傳統數學教育．中國數學基礎教育的傳統和特色是“雙基”，是指基礎知識和基本技能，傳統數學教育的目標就是要求：基礎知識扎實、基本技能熟練．在中國，從2001年開始的課程改革的核心，就是變一維目標到三維目標，也就是，把知識技能這個一維目標，變為知識技能、過程方法、情感態度價值觀這樣的三維目標．

三維目標中所說的情感態度價值觀屬于核心素養所說的必備品格，重要性不言而喻．但是，三維目標中所說的“過程方法”在課程標準中并沒有成為目標，這是因為在描述“過程方法”時使用的行為動詞是“經歷”、“體驗”、“探索”，并沒有說明通過這些“過程”讓學生獲得什么．為此，在修訂義務教育數學課程標準時，把“過程”目標表述為：通過學生參與其中的數學教學活動過程，讓學生感悟數學的基本思想，積累數學思維和實踐的基本經驗．這就把傳統數學教育的“雙基”發展為“四基”，并且在《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》中特別強調“‘四基’的提出是在傳統‘雙基’的前提上，又加上了基本思想和基本活動經驗，目的是通過數學的學習，學生不僅把數學作為一種技術和手段，更要讓學生學會思考，逐步具有抽象的能力和邏輯推理能力．”與此同時，義教數學課程標準又在“分析問題的能力和解決問題的能力”的基礎上，增加了“發現問題的能力和提出問題的能力”，這就把“兩能”擴展為“四能”．無論是把“雙基”擴展為“四基”、還是把“兩能”擴展為“四能”，都是為了社會和個人發展的需要，是為了培養創新型人才的需要．

為了清晰什么是數學的基本思想，曾經建立了兩個判斷標準，這就是：數學產生和發展必須依賴的思想；學習過數學的人應當具備的基本思維品質．基于這兩個判斷標準，數學基本思想包括3個要素：抽象、推理和模型．由此可以看到，現在所說的數學核心素養與傳統數學教育、與“四基”是一脈相承的，只不過，現在把數學核心素養放在了一個更加突出的位置[2]．

課程結構與課程標準表述．基于上面所說的兩個背景、為了適應未來數學高考“文理不分科”的要求，課程標準設計了3類課程：必修課程、選擇性必修課程和選修課程．

必修課程設計8學分，必修課程的內容是對高中畢業的要求；選擇性必修課程設立6學分，必修課程內容加上選擇性必修課程內容是高考的要求，這兩個課程一共14學分，與原來文科學分一致；選修課程設立6學分，供學校自主設定、學生自主選修，內容設計基于4個原則：為學生確定發展方向提供引導，為學生展示數學才能提供平臺，為學生發展數學興趣提供選擇，為大學自主招生提供參考．

為了便于初中數學與高中數學的銜接，課程標準設計了“預備知識”主題；因為數學核心素養蘊含于數學內容的邏輯體系之中，課程標準舍棄了模塊結構，設計了3條內容主線：函數、幾何與代數、統計與概率，這3條內容主線貫穿必修課程和選擇性必修課程；此外，課程標準還設計了“數學建?；顒优c數學探究活動”主題，貫穿必修課程和選擇性必修課程．

課程標準在《課程內容》的表述中增加了“教學提示”和“學業要求”的欄目，分別從學習內容和學業質量的角度提出要求，希望教科書的編寫和教師的教學，能夠把數學內容與相應的數學核心素養有機結合．并且，在《課程內容》之后專門設立《學業質量標準》一章，把數學內容與相應的數學核心素養合為一體、劃分出3個水平，分別對應于必修課程、選擇性必修課程和選修課程；每一個水平的表述都涉及“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達”、“交流與反思”4個方面，并且對每一個方面都定義了相應的內涵．希望教材編寫者和教師能夠把握學業質量標準的整體性和階段性，統籌設計有利于學生達成學業目標的教學過程；能夠深入研究學業質量標準，在關注學生知識技能掌握的同時，關注學生相應數學核心素養的達成．

在《實施建議》一章中，包括教學與評價建議、學業水平考試與高考命題建議、教材編寫建議、地方與學校實施課程標準建議，這些都是課程標準能夠得以實施的關鍵環節．

最后，課程標準設置了兩個附錄：《附錄A》從數學核心素養6個要素的角度，對學業質量標準的3個水平進行了整理；《附錄B》給出大約40個案例，是為了更好地理解課程標準的述說，包括內容的理解、教學的實施；特別是通過案例解釋在考試評價過程中，如何把數學核心素養融入數學內容，如何設計開放題、以及在閱卷過程中使用“滿意原則”和“加分原則”．

基于核心素養的教學．既然數學核心素養是“四基”的繼承和發展，那么“四基”就是學生形成和發展數學核心素養的有效載體．強調“四基”就要把握數學知識的本質，在數學教學活動中，讓學生在掌握知識技能的同時理解知識的本質，感悟知識所蘊含的數學基本思想，積累數學思維和實踐的經驗，在這個基礎上促進學生形成和發展數學核心素養．

學生數學核心素養的形成和發展，是在教師的啟發和引導下，學生通過自己的獨立思考、或者與他人交流，最終是自己“悟”出來的，是一種逐漸養成的思維習慣和思想方法，因此在教學活動中，把握數學內容的本質、精心設計合適的教學方案就非常重要．

比如，關于函數概念的教學．高中階段的數學，函數是非常重要的內容，因此課程標準把函數作為高中數學內容3個主線之一．函數教學首先遇到的問題是，學生在初中階段已經學過函數的概念，是用變量關系講授的，高中階段又要通過對應關系重新定義函數，這是為什么呢？重新定義有必要嗎？在過去的教學中，教科書沒有論及這個問題，教學過程中也不涉及這個問題，于是給學生留下這樣的知識：函數有兩個定義，這兩個定義是有區別的、是應當記憶的．顯然，這樣的教學無法讓學生理解函數概念表述方式改變所蘊含的數學思想，也無法感悟數學抽象的層次性．事實上，為了闡述函數概念表述方式改變的必要性，可以舉例說明．

進一步，在函數對應的定義中，為什么要求“實數集合到實數集合”的對應呢？過去高中數學教學也不論及這個問題，但是，這個問題是非常本質的．還是可以通過舉例讓學生明白其中的道理，比如，自變量是角度時，如果仍然定義sin是函數，那么可以提出這樣的問題：+sin是不是函數？如果是函數，那么會出現函數值是個實數、但自變量角度不是十進制實數情況，怎么相加呢？如果不是函數，那么會出現自變量與函數值不可以相加的情況，這就無法建立一般意義上的初等函數．究其原因可以知道，函數必須是實數到實數的對應．這也從另一個角度說明建立弧度制的必要性．

無論是數學概念的述說、還是計算方法的使用，高中數學與初中數學都有一個顯著的變化，這就是更加抽象．正是因為有了這樣的抽象，才使得數學的表達具有了一般性，就像前面論述的那樣．因此在函數概念的教學中，應當讓學生感知這樣的變化、啟發學生思考，進而引導學生理解數學的本質、感悟數學的思想、形成和發展數學核心素養．

無論是教材的編寫、還是教學的設計，都可以考慮改變傳統的設計思路，不是每一節課或每一個知識點進行設計，而是把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計．碎片化的數學內容，無法把數學的本質表述清楚，更無法體現數學核心素養．可以把這樣的整體稱為單元或者主題，把這些內容前后照應進行教學設計，就可以在關注知識技能的同時，思考知識技能所蘊含的數學本質、體現的數學思想，最終實現學生形成和發展數學核心素養的目標．

基于核心素養的教學，要特別重視情境的創設和問題的提出．核心素養是在特定情境中表現出來的知識、能力和態度，只有通過合適的情境才有利于學生感悟和形成．設計情境和提出問題的目的是啟發學生思考，設計情境和提出問題的根基是數學內容的本質．

情境與問題是多樣的、多層次的．情境可以包括：現實情境、數學情境、科學情境；每種情境可以分為：熟悉的情境、關聯的情境、綜合的情境．問題是指情境中的問題，從學生認識的角度可以分為：簡單的問題、較為復雜的問題、復雜的問題；從學生思維的角度可以分為：模仿的問題、聯系的問題、創造的問題．情境與問題是聯系在一起的，一個情境是否合適并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出的問題是否能夠揭示數學的本質．

綜上所述，理想的數學教學過程，應當注意幾個環節：把握數學知識本質，把握學生認知過程；創設合適教學情境，提出合適數學問題；啟發學生獨立思考，鼓勵學生相互交流；掌握知識技能，理解數學本質；感悟數學基本思想，發展數學核心素養．

上面說的環節不是教學模式，也不要求在每一堂課都實現，是整體教學設計時應當考慮的，是在整體教學實施時應當實踐的．因為數學核心素養的養成是學生日積月累的結果，因此需要整體設計、分步實施．教學過程要注意到這個問題，教材編寫也要注意到這個問題．

基于核心素養的考試評價．無論學業質量考試還是高考，都涉及到兩個方面的問題，一個方面是評價的方式，另一個方面是命題的形式．

要改變單純依賴一張試卷的評價方式．對于日常評價，除了期末考試的成績以外，還可以參考其他內容進行評價，比如，期中考試的成績、日常作業完成的情況、日常教學活動中的表現；特別是“數學建?；顒雍蛿祵W探究活動”這個主題，要求學生通過研究報告或者小論文的形式完成，也可以作為日常評價的依據．高等院校招生評價、特別是自主招生評價，除了高考的成績外，還要參考學生其他信息，比如，放在學生學習檔案中的相關材料：學生參加社會活動的評價、學生完成的研究報告或者小論文、選修課程中各類課程的成績、高中奧數的成績，等等．不言而喻，實現這個轉變的前提是學生的學習檔案中要有豐富的材料，可供高等院校錄取時參考．

關于命題的形式，知識技能的考核還是重要的，但不能過分強調解題的速度，這是為了避免高中學習階段過分的大強度訓練．因此，在不增加題量的前提下，可以考慮適當延長考試的時間．

關于命題的設計，可以考慮兩個轉變，一個轉變是關注學生數學核心素養的達成；一個轉變是考察學生的思維能力．關于第一個轉變，命題設計不僅要關注知識點，還要關注數學核心素養的達成．可以從數學知識出發考慮所蘊含的數學核心素養，或者反過來，可以從數學核心素養出發考慮相應的數學知識，在題目中把數學知識與數學核心素養有機結合、融為一體．關于第二個轉變，可以通過開放題的形式實現，問題的答案不是在題目中給定的，需要學生自己想象，因此在解答的過程中，還需要學生回答想象的理由是什么．課程標準在“學業水平考試與高考命題建議”提出“滿意原則”和“加分原則”，并且在《附錄B》中給出一定數量的案例，供命題設計時參考．

課程標準的修訂經歷了兩年多的時間，在這個過程中，得到許多教育家、數學家、數學教育家、高中教材編寫專家、以及廣大的教研員和高中數學教師的關心和支持，他們提出了許多寶貴的意見和建議，使得修訂工作能夠順利進行，在此深表感謝．

[1] 史寧中．試論數學推理過程中的邏輯：兼論什么是有邏輯的推理[J]．數學教育學報，2016，25（4）：1-16．

[2] 朱雁，鮑建生．從“雙基”到“四基”：中國數學教育傳統的繼承與超越[J]．課程·教材·教法，2017，37（1）：62-68．

Key Problems in the Revision of High School Mathematics Curriculum Standards

SHI Ning-zhong

(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jinlin Changchun 130024, China)

Key problems in the revision of high school mathematics curriculum standards are condensing the core literacy of Mathematics, the core literacy of mathematics and the traditional mathematics education, structure and expression of curriculum standard, teaching and evaluation based on core literacy.

the core literacy of mathematics; structure of curriculum; expression of curriculum standard; teaching based on core literacy; evaluation based on core literacy

[責任編校：周學智]

① 下面一段論述也是課程標準對數學的理解，這樣的理解不僅強調了數學的工具性，也強調了數學的思想性和文化性，因此突出了形成數學素養的基礎．

2018–01–23

史寧中（1950—），男，江蘇南京人，教授，博士生導師，中國教育學會學術委員會主任、教育部課程教材專家委員會副主任、高中數學課程標準修訂組組長、東北師范大學前校長、CAP數學專家委員會主任，主要從事數理統計與數學教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）01–0008–03

史寧中．高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J]．數學教育學報，2018，27（1）：8-10．