美國數(shù)學問題提出：是非與評述

于文華

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美國數(shù)學問題提出：是非與評述

于文華

（山東師范大學 數(shù)學科學學院，山東 濟南 250014）

從微觀與宏觀兩個視角，對美國數(shù)學認知領域內問題提出研究進行了述評．從宏觀研究視角出發(fā)，可以分為以下幾個方面：問題提出與問題解決的關系、問題提出與數(shù)學理解、問題提出的認知策略、問題提出的能力培養(yǎng)及教學模式．從微觀視角出發(fā)，可以分為以下幾方面：數(shù)學問題提出的類型、問題提出的情境、問題提出的策略、問題提出的干預手段、對所提問題的評估與分析等．對于國內的相關研究，有很好的借鑒意義，期望每個方面都有進一步更為優(yōu)化的研究．

數(shù)學問題提出；述評；是是非非

國內研究者，對于美國數(shù)學問題提出的研究，是存在一些誤讀的．其一，美國數(shù)學教育領域中，自20世紀80年代提出“問題解決”的口號以來，很多人認為“問題解決”是主流的研究領域和方向，而“問題提出”貌似作為“問題解決”的一個附屬領域，或是為了更好地“問題解決”而產生的非主流的方向．真的是這樣嗎？實際上，在美國數(shù)學教育領域，“問題提出”一直是一個非常受歡迎并且橫跨理論研究、模型建構研究、教學研究等多方面的“熱門方向”，且碩果累累，與“問題解決”之間的瓜葛只是其研究的一個小分支而已．因此，在數(shù)學教育領域中的“問題提出”研究是名副其實的“主流”．其二，國內仍然有很多旨在考察與借鑒美國數(shù)學問題提出的研究，但實際上研究范圍過窄．例如《中美兩國小學數(shù)學教材中問題提出的比較研究》等研究對于美國數(shù)學教育領域內“問題提出”的研究只局限于教材的視域之內；即使有針對課堂教學中問題提出的研究，也很多只與數(shù)學課堂的引入環(huán)節(jié)即數(shù)學情境創(chuàng)設相關聯(lián)，例如，夏小剛、汪秉彝的《數(shù)學情境的創(chuàng)設與數(shù)學問題的提出》，而很少考慮到數(shù)學問題提出作為探測學生數(shù)學理解的窗口等更微觀具體的層面．

為了辨別是非，全面了解美國數(shù)學教育中有關問題提出的方方面面，從宏觀、微觀兩個角度，對美國數(shù)學認知領域中的問題提出進行述評，旨在從大的方面把握其脈絡，從小的方面找尋其具體．

1 美國數(shù)學認知領域對問題提出的宏觀考察與述評

1.1 美國數(shù)學認知領域對問題提出的宏觀研究視角

在美國數(shù)學認知領域，對問題提出的研究主要基于四大視角．

其一，基于問題提出與問題解決關系視角：Silver等（1989）[1]對美國中學數(shù)學教師的問題提出進行測試發(fā)現(xiàn)，與問題解決之前提出的問題相比，問題解決之后提出的問題與他們解決過的問題更加相像，這說明問題提出受到了問題解決的影響，此外沒有發(fā)現(xiàn)其它關于問題提出和問題解決之間的關系．Silver等（1996）[2]對中學生問題提出的測試表明，好的問題解決者提出的數(shù)學問題的數(shù)量與復雜度都更大．也有一些研究考察了不同文化背景下學生的問題提出與問題解決之間的關系．Cai等（2002）[3]發(fā)現(xiàn)中美學生在問題提出方面的經(jīng)驗都明顯少于他們在問題解決方面的經(jīng)驗，提出的問題與其解題策略有關；中國學生比美國學生問題提出與問題解決的相關性要高．Cai（2003）[4]發(fā)現(xiàn)大多數(shù)新加坡學生能夠選擇合適的策略來解決問題，并且能夠提出一些抽象的數(shù)學問題．與中美兩國學生的數(shù)學思維相比，新加坡學生的數(shù)學思維與中國學生更加相似．

其二，基于問題提出與數(shù)學理解關系的的視角：Ellerton（1986）[5]認為，問題提出作為一個窗口，可以用來探測學生的數(shù)學理解能力，可以通過學生創(chuàng)造出的問題檢驗他們數(shù)學理解的深度．數(shù)學問題提出不僅展示了他們對數(shù)學概念發(fā)展的理解和水平，而且也反映了他們對數(shù)學本質的理解．Hashimotto（1987）[6]也發(fā)現(xiàn)：要求學生提出一些類似他們解決的問題是一個有用的教學技巧，因為它提供了學生對數(shù)學概念理解的一面鏡子．

其三，基于問題提出的認知策略研究的視角：Brown等（1983）[7]得到提出問題的一個很有用的方法——“否定假設法”（what-if-not），這種對原問題的條件和限定進行改變來產生新問題的方法在Lavy等（2003）[8]的研究中得到運用．Kilpatrick（1987）[9]也提出了一些數(shù)學問題提出策略：觀念的聯(lián)結、類比、一般化、反駁、換位思維法和觀念組合法等，通過運用這些策略，可以幫助學生提出更多的好問題．Silver等（1996）[2]在對算法問題的提出做研究時提出問題的產生包括兩個：接受已知條件（accepting the givens）和挑戰(zhàn)已知條件（challenging the givens）．

其四，基于問題提出的能力培養(yǎng)及教學模式視角：Kilpatrick（1987）[9]認為：問題提出不僅應當作為教學的目標，而且還應該作為教學的手段．English（1997）[10]在問題提出訓練中提出了一些行之有效的方法，對問題進行分類、識別和利用問題的結構等．Crespo（2003）[11]發(fā)現(xiàn)：職前教師在培訓后敢于提出一些有多種解法、開放性和探究性的、認知更為復雜的問題．Contreras（2003）[12]的PPM（problem posed model）教學模式認為教師可以通過例題來講授提出問題的一般模式，激發(fā)學生提出問題．

1.2 宏觀研究視角述評與啟示

從宏觀來看，美國數(shù)學認知領域中的研究涉及的方面較為廣泛，從問題提出與問題解決的關系的討論到問題提出與數(shù)學理解關系的挖掘，再到如何引導問題提出者利用各種策略去提出問題，到最終的實踐中的培養(yǎng)與教學模式．

上述很多研究涉及問題提出與問題解決之間的關系研究，但Silver（2013）[13]闡述了二者間關系的研究進展因一直缺乏一個明確的理論且符合現(xiàn)有證據(jù)的基礎解釋而受阻，并指出，現(xiàn)在已經(jīng)非常接近于能夠提供這樣一個解釋，而且一些研究在這個特殊問題上提供了一些有前途的方向追求．未來會繼續(xù)為解決這個問題而努力．

對于國內的相關研究來說，借鑒的意義在于，首先，可以從研究思路上進行拓展．從不同的民族、地域、文化背景之下的問題提出與問題解決間的關系是否一致，各方的特點所在；依據(jù)其特點，如何把問題提出作為一種探測學生數(shù)學理解的手段；在具體教學中，如何通過進行行之有效的策略，尋找可行的教學模式，幫助學生提出更多的好問題，而非為了提出問題而提出問題，只要提出問題即可的滿足感．方法與模式對學生形成問題提出的意識、培養(yǎng)問題解決的能力是很重要的．

2 美國數(shù)學認知領域問題提出的微觀考察與述評

2.1 數(shù)學問題提出的類型

美國數(shù)學問題提出的相關研究中，數(shù)學問題提出的類型是非常豐富的，按照不同的標準，可以把它們做如下梳理．

考慮到數(shù)學問題相對于教材中封閉型題目的開放程度，Vacc（1993）[14]在評估教師提出的問題時將問題分為事實型的（factual）、推理型的（reasoning）和開放型的（open）．Cai等（2002）[15]將學生提出的問題分為可延伸的問題（extension）和不可延伸的問題（non-extension）．Lowrie（2002）[16]研究發(fā)現(xiàn)，在一個問題提出活動的開放性的任務中，許多學生發(fā)明的數(shù)學問題類似于他們的教科書中的問題（similar to those found in their textbooks），還有一些獨創(chuàng)性問題（original）、開放性問題（open）和多種解決方案的問題（more than one solution）．

考慮到數(shù)學問題的新奇度，Lowrie（2002）[17]發(fā)現(xiàn)，實習教師將學生提出的問題分為一步文字題（one-step word）、二步文字題（two-step word）、非典型應用問題（non-typical word）和新奇問題（novel）．

考慮到數(shù)學問題的條件充足與否或可解性，Silver等（1996）[2]研究中學生提出有關算法問題的類型時，對中學生進行檢測，把他們提出的問題類型分為：可解性的（solvability）、語言學的（linguistic）和數(shù)學復雜性的（mathematical complexity）．Leung（2013）[18]主要報告了一項一位教師教育者和許多教師參與的研究，在第一階段，教師將學生提出的問題分為5大類：非問題（not a problem）、非數(shù)學問題（non-math）、不可能問題（impossible）、條件不充足問題（insufficient）、條件充足問題（sufficient or extraneous）．

考慮到數(shù)學問題與情境或任務是否相符，Cai等（2013）[19]把學生提出的問題分為有效問題（valid）、適合情境的問題（situated in a context）、反映線性關系的問題（reflected linearity）、符合至少一個條件（matched at least one condition）的問題．文章主要是利用問題提出測量不同的初中學習課程對高中學習的影響．通過兩項任務來評估：方程式和圖象．這兩項任務都包括問題解決和問題提出，而且問題解決在問題提出之前．關于學生問題提出方面，僅有三分之一的學生嘗試提出方程式問題，三分之二的學生提出圖象的問題．

也有研究充分考慮上述各方面因素，Bonotto（2013）[20]為了探究使用實際物體對問題提出活動的影響，做了兩項探索性研究．第一項研究中學生們提出的問題包括對原有問題的改變和對原有問題進行批判．第二項研究問題提出活動中，要求學生選擇4個問題進行解決，主要包括3種類型，一個多步問題（multi-step），兩個開放型問題（open-ended）和一個包含錯誤數(shù)據(jù)的問題（with incorrect data）．學生們提出的所有問題分為數(shù)學問題（mathematical）和非數(shù)學問題（non-mathematical），數(shù)學問題又被分為貌似數(shù)學問題的數(shù)學問題（plausible mathematical）和不像數(shù)學問題的數(shù)學問題（implausible mathematical），而貌似數(shù)學問題的數(shù)學問題又分為有充足的信息的問題（with sufficient information）和沒有充足的信息的問題（with insufficient information）．

有研究另辟蹊徑，根據(jù)被試的回答進行數(shù)學問題的分類．Crespo等（2008）[21]邀請22位職前教師完成4項任務并進行兩次干預，任務1中職前教師所提問題分為3種：分配問題（assignment）、關系問題（relational）、條件問題（conditional）．任務2中職前教師所提出的問題分為：引出信息的問題（elicit information）、理解形狀的問題（shape understanding）、推動反思的問題（press for reflection）．在做任務3時將教師分成兩組，但這兩組提出問題的類型都是采用了Vacc（1993）[14]的問題類型分法．在第二次干預時又將問題分成有營養(yǎng)的（nutritious）問題和有趣的（tasty）問題．

2.2 數(shù)學問題提出的情境

2.2.1 根據(jù)情境的結構化程度分類

Stoyanova和Ellerton（1996）[22]將問題提出的情境分為3種：自由的（free）、半結構化的（semi-structured）、結構化的（structured）．自由的提出問題情境是指讓學生無限制地提問題；半結構化的情境也是開放的，讓學生探索情境的結構并完成它；結構化的情境是指學生重新用公式表示已解決問題或改變條件．

2.2.2 根據(jù)問題的數(shù)學化水平分類

其一，問題情境為數(shù)學情境．

Crespo等（2008）[21]的4項任務中的兩項任務都是在數(shù)學圖形的情境下提出一系列的問題．Xianwei（2013）[23]的研究包含兩個測試：數(shù)學內容測試和數(shù)學問題提出測試．數(shù)學問題提出測試涉及3個任務，其中第二個任務是在半結構問題提出情境下，要求學生盡可能多地提出與圖片（圖片中有一個三角形和其內切圓）有關的問題．

其二，問題情境為模擬情境．

Koichu和Kontorovich（2013）[24]模擬了桌球任務的情境，要求學生提出問題．Ellerton（2013）[25]要求本科師范生根據(jù)握手問題創(chuàng)造其它問題以及這些問題的逆問題．Bonotto（2013）[20]的兩項探索性研究中以廣告?zhèn)鲉未蛘坌畔⒑秃笮麄鲉螢榍榫常贸鼋Y論“如果選用宣傳單、機票這樣的材料作為提出問題的情境，則不會因為文字問題而受限”．Xianwei和Bharath（2013）[23]中的數(shù)學問題提出測試中的第一個任務是在排隊情境下要求學生盡可能多的提出問題．第三個任務是在晚會情境下針對門鈴響數(shù)問題要求學生回答所提問題并盡可能多地提出有關問題．Cristian和Singer（2013）[26]提供了一個關于黑白瓷磚覆蓋地板的模擬情境，讓學生進行問題修改．通過修改已知問題提出新問題的能力來測量學生的認知靈活性．

其三，數(shù)學情境與相應的生活模擬情境相結合．

Cai等（2013）[19]主要是利用問題提出測量不同的初中學習課程對高中學習的影響．問題提出作為評估工具，通過兩個任務來評估，每個任務都包含了問題解決和問題提出．第一個任務是先以數(shù)學線性方程組為數(shù)學情境解出這個方程組的答案，然后提出可以用以上方程組解決的生活中的情境．第二個任務是先以一個數(shù)學圖形為情境解出圖中曲線的方程，然后同第一個任務一樣提出可以用此圖形表示的現(xiàn)實生活情境．

2.3 數(shù)學問題提出的策略

自從Brown和Walter（2005）[27]提出眾所周知的“what-if-not”策略，很多研究致力于數(shù)學問題提出具體策略的研究．

一種方案是側重于對原問題的修改，以生成新的問題．Martinez-Cruz等（2002）[28]提供了若干更加規(guī)范的策略，比如改變已知條件、改變限制條件、歸納和顛倒已知與未知．Cifarelli和Cai（2005）[29]的策略有依據(jù)數(shù)據(jù)處理（data-driven reasoning）和依據(jù)假設處理（hypothesis-driven reasoning）．Singer和Voica（2012）[30]的研究表明：當學生修改問題時，普遍會修改問題的背景主題（background theme）、參數(shù)（parameters）、數(shù)據(jù)（data）、一個或多個操作方案（one or more operating schemes）、對數(shù)據(jù)和操作方案的限制（constraints over the data and the operating schemes）和至少有一個未知參數(shù)的限制（constraints that involve at least one unknown value of the parameters）．Voica和Singer（2013）[26]運用了5種概念性框架來修改已知問題．第一種是初始框架（starting pattern frame），即使用已知問題的框架只是改變一些數(shù)據(jù)；第二種是棋盤框架（chess-board frame），即修改的問題中使用棋盤結構；第三種是新遞歸框架（new recursion frame），即使用一個新的不同的分配模式；第四種是網(wǎng)格框架（grid frame），即基于不同的對象來填充一個網(wǎng)格；第五種就是其他沒有特定結構的框架．

另一種方案著眼于條件與目標之間的關聯(lián)性，而提出問題．Silver等（1996）[2]提供的問題提出策略有：條件處理（constraint manipulation）、目標處理（goal manipulation）、條件和目標混合處理（symmetry），以及連環(huán)處理（chaining）．在問題提出的具體方法上，English（1997）[31]鼓勵學生關注已有問題的核心原理并且考慮核心原理與問題的關系，然后給學生一些衍生的問題幫助他們提出新問題．Singer和Moscovici（2008）[32]，Singer（2009）[33]研究了問題提出的策略．主要包括使用各種交涉進行問題換位，通過添加新的操作和條件進行問題延伸，通過評估相似性和差異性比較問題，分析不完整或冗余的問題，提高學生提出有意義的問題的能力．Koichu和Kontorovich（2013）[24]認為問題提出的策略是對已給的問題提出任務的分析和條件變形以及對問題產生的系統(tǒng)性方法．它包含了Silver等（1996）[34]、Cifarelli和Cai（2005）[29]在桌球任務情況下的認知過程．

2.4 數(shù)學問題提出的干預手段

Lowrie（2002）[17]中，采用了如下干預：（1）提出問題；（2）討論解決此問題的方法；（3）解決此問題；（4）反思解決此問題的方式與策略．顯然，這種干預方法旨在讓學生在討論、解決、反思的過程中認識到解決問題的方式與策略．干預前，83%的學生提出一步問題和二步問題，但在老師和學生的一對一的干預之后，學生提出的問題更加偏向非典型問題和新奇問題，且復雜性更強，而且他們樂意去解決這些問題．可見此種干預手段對學生的提出問題能力的培育是有效果的．Crespo等（2008）[21]邀請22位職前教師完成4項任務，并進行兩次干預．第一次干預是將研究對象分為兩組：一組是直接提出問題（pose immediately），另一組是先探究（explore first）再提出問題．研究發(fā)現(xiàn)先探究干預組提出更多問題．第二次干預是給職前教師講解評價問題有趣的美學標準，即驚奇（surprise）、新奇（novelty）、多實（fruitfulness）、簡潔（simplicity）等．研究發(fā)現(xiàn)美學標準干預使得職前教師提出的問題更加有趣．

2.5 數(shù)學問題提出的評估與分析

美國數(shù)學問題提出的研究中，對于學生所提問題的評估與分析，主要著眼于流暢性和驚奇性兩個方面．

著眼于問題的流暢性方面，Bonotto（2013）[20]為了評估提出問題的創(chuàng)造性（creativity），考慮了3方面：問題的流暢性（fluency）、問題的靈活性（flexibility）和問題的獨創(chuàng)性（originality）．Xianwei（2013）[23]借鑒了此種方法．Cristian和Singer（2013）[26]采用連貫性（coherence）和一致性（consistency）來分析問題．將問題分為具有連貫性和一致性的問題（coherent and consistent）、不具有連貫性但具有一致性的問題（incoherent, but consistent）、具有連貫性但不具有一致性的問題（coherent, but inconsistent）和既不具有連貫性也不具有一致性的問題（inconsistent and incoherent）．

著眼于問題的新奇性方面，Crespo等（2008）[21]采用美學標準進行評估，比如驚奇（surprise）、新奇（novelty）、多實（fruitfulness）、簡潔（simplicity）等．Koichu和Kontorovich（2013）[24]認為問題有意義就是問題有趣或者出色．它包括簡單（simplicity）、簡潔（brevity）、清晰（clarity）、優(yōu)雅（elegance）、多實（fruitfulness）、有數(shù)學深度和復雜度（mathematical deepness and complexity）、機靈的（cleverness）、符合認知要求的（cognitive demand）、新奇的（novelty）和讓人驚訝的（surprise）等方面．

2.6 微觀考察述評與啟示

在問題提出的微觀研究方面，有很多方面值得討論與借鑒．

在數(shù)學問題提出的類型方面，由于不同的研究者出于不同的研究目的、研究對象、研究材料，致使對被試提出的問題的分類很不統(tǒng)一．百家爭鳴一定程度上固然是好事，但是這也為后續(xù)的研究借鑒與研究的橫向比較造成一定程度上的困擾．

在問題提出的情境方面，其一，相對于結構化的問題情境來說，自由的、半結構化的問題情境下的問題提出，是未來研究的一個發(fā)展點．Florence等（2013）[35]認為很多研究分析了學生解決結構問題的推理過程，只有少數(shù)研究集中在說明和解釋被試在開放性問題情境下的數(shù)學探索的特性．依據(jù)目前來看，未來需要更多地研究當學生在開放性問題情境下或者任務的某些方面未被指明情境下，學生數(shù)學問題提出的過程．其二，相對于數(shù)學情境來說，近些年的研究更傾向于生活情境下問題提出的研究．但數(shù)學情境與相應的生活模擬情境相結合下的問題提出的研究卻剛剛開始，而這其中的兩種情境的比較與結合會衍生出更多的研究問題．

在問題提出的策略方面，問題提出需要很多的策略和方法，上述研究涉及這些方面，但還遠遠不夠，因此未來需要更多研究來分析和擴展問題提出的策略．

在問題提出的干預手段方面，F(xiàn)lorence等（2013）[35]提到很多實驗表明一些干預手段，例如系統(tǒng)的訓練、關注問題的修改及分析不完整或冗長的問題可以提高學生對問題一致性和問題本身的含義的認識，但是有些方面是有爭議的，需要進一步研究．未來一定會給出嚴謹?shù)淖C明來支持這些觀點，并將其運用到課堂實踐中去．

對所提問題的評估與分析方面，很多研究報道出學生和教師提出的問題不易表述或者不符合認知要求，所以未來需要更多的訓練來使學生或老師提出更好的問題，更需要嚴謹而有效的評估與分析問題的工具與方法．

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A Review of Mathematics Problem Posing in the United States: Research and Practice

YU Wen-hua

(School of Mathematics Science, Shandong Normal University, Shandong Jinan 250014, China)

In the field of cognitive psychology in the United States, macroscopic research on mathematics problem posing could be categorized in the following ways: based on the relationship of problem solving and problem posing, based on the relationship of problem posing and mathematical understanding, based on cognitive strategies, and based on training and teaching models. Meanwhile, microscopic studied on problem posing in the field of mathematics cognition could be categorized in the following ways: problem-posing types, situations, strategies, and interventions as well as evaluation and analyses of posed problems. Future direction of research was discussed.

math problem-posing; macro; micro; review

[責任編校：周學智]

2018–03–26

山東省高等學校人文社會科學研究項目——數(shù)學問題提出認知機理的探尋（J14WH07）；教育部人文社會科學研究青年基金項目——基于數(shù)學問題解決的模式識別的認知機理與實驗研究（10YJCXLX054）

于文華（1978—），女，山東乳山人，副教授，博士，碩士生導師，主要從事數(shù)學教育心理、數(shù)學課程與教學論研究．

G40–059.3

A

1004–9894（2018）02–0024–05

于文華．美國數(shù)學問題提出：是非與評述[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（2）：24-28．