基于隨機森林方法的地震插值方法研究

徐凱，孫贊東

中國石油大學(北京)地質與地球物理綜合研究中心，北京 102249

0 引言

在地震勘探中，采集資料的準確與否對勘探結果有著至關重要的作用。但是在地震資料的采集過程中，由于地形、實際采集方法等條件限制，采集得到的地震數據經常會存在壞道、死道、空道等情況，嚴重影響了后續(xù)的偏移解釋等工作。地震插值是一種較為有效的解決該問題的方法。

地震插值主要有以下幾種方法：(1)基于變換域的插值方法。該方法主要是將地震信號變化到其他域內進行操作，然后再反變換到時空域。主要有Radon變換，Fourier變換，曲波變換等方法。Fourier變換方法是將其變換到波數域進行道集重建。在波數域可以實現五維插值的效果[1-3]。Sacchi[4]等在反演的思想下實現了五維插值的方法。曲波變換是小波變換的另一種形式，可以較好的描述地震數據的稀疏特性，可以采用壓縮感知的方法來進行插值[5-7]。(2)基于預測濾波的插值方法。Spitz[8]在f-x域實現了基于預測濾波的插值方法，Claerbout[9]在此基礎上研究了t-x域的預測誤差濾波地震插值方法，實現了含假頻的數據重構。上述傳統插值方法都是基于較為復雜的數學變換或者波場重構理論，計算較為繁瑣，而且在變換重構過程中需要多種近似，難以精確預測缺失地震道的真實情況。

機器學習方法在地球物理中得到了廣泛的應用。目前應用主要集中于地震屬性預測領域[10-14]。在地震插值領域，機器學習方法應用較少。由于地震道缺失問題可以看作是一個隨機的、非線性的數學問題，而且地震道插值主要用了周圍幾道的的信息，所以本文嘗試采用機器學習中有監(jiān)督學習，從局部規(guī)律學習的角度出發(fā)來進行缺失道數據的補全處理。有監(jiān)督學習是一種從標簽化訓練數據集中推斷出抽象函數的機器學習技術，常見的算法包括決策樹、神經網絡、支持向量機、梯度下降樹和隨機森林等算法。各類算法各有利弊，其中隨機森林算法是由Brieman于2001年提出的一種集成機器學習算法[15]，可用于解決高維非線性的分類預測、回歸預測與特征選擇。它是Bagging集成學習算法[16]的改進版本，大量實踐證明隨機森林能夠有效解決高維非線性問題，是目前階段被廣泛使用的一種機器學習算法[17]。

本文首先介紹了基于機器學習思想的隨機森林回歸預測方法。從理論上推導了本文方法的可行性。隨后在機器學習的思想下，以無缺失道為學習樣本集，補全缺失的地震數據。最后將該方法分別應用于模型資料與實際資料，驗證了該方法的正確性與有效性。

1 基于隨機森林的缺失道補全

1.1 隨機森林回歸預測算法

隨機森林回歸預測算法是一種集成大量隨機決策樹模型的集成學習算法[13]，其基礎是CART回歸決策樹算法[14]。對于y=F( X)，其中X={x1, x2... xP}型的回歸問題，CART回歸樹算法通過優(yōu)選分割變量及其閾值，將原始的P維輸入空間遞歸分割為有限個子空間。在具體的遞歸分割過程中，假設當前父節(jié)點所對應子空間為XC，記對于第i個輸入變量xi閾值為的分割為S()，則S()等效于將其分割為左右兩個節(jié)點，設左邊節(jié)點對應子空間XL，右邊節(jié)點對應的子空間為XR，分割規(guī)則可表示如下：

對于回歸問題CART決策樹將遍歷XC中P維輸入x1, x2... xP中每一個潛在的分割S()，優(yōu)選最佳分割使得“不純度”I()最小，其中I()可表示為：

(1)當前父節(jié)點中所有樣本P維特征均一致；

(2)當前父節(jié)點中樣本個數小于給定最小葉子節(jié)點樣本個數；

(3)當前父節(jié)點中樣本的y值方差小于給定方差閾值。

條件滿足時，停止遞歸分割并將當前父節(jié)點設置為葉子結點。在完成遞歸分割后，所生成的CART決策樹等效于將整個樣本空間X分割為X1, X2... XS，并以二叉樹的形式存儲分割邏輯。在預測時，CART決策樹取每個空間內的樣本在預測變量y上的均值作為該子空間內的預測值，建立回歸預測函數：

式中，I為脈沖函數，E為期望值。

綜上所述，可見CART可通過對訓練樣本的學習擬合出一個分段常數函數，該函數能夠在一定程度上有效表示原始訓練樣本中的潛在統計關系，但往往過于粗糙且不穩(wěn)定。對此Brieman利用集成學習的思想，通過對原始樣本集進行Bootstrap抽樣獲取N個樣本子集，而后在這N個樣本子集的基礎上分別構建CART回歸樹，在預測時取這N個CART回歸樹的預測均值作為最終的預測結果，這種方法被稱之為Bagging集成，它能夠在一定程度上克服單個CART預測模型的弊端。

而后Brieman通過數學證明和數據實驗表明，在保證Bagging集成模型中每棵樹的有效性同時，使得每棵樹間的差異越大則最終的集成預測效果越好。在此思路的指導下，Brieman通過對決策樹的生成過程中引入更多隨機性來提高每棵樹間的差異。該算法被稱之為隨機森林算法，其算法框架如圖1所示，其隨機性的引入通過兩方面進行：

(1)與Bagging集成相同，隨機森林首先對全部樣本集進行Bootstrap抽樣，生成一系列隨機樣本子集，在各樣本子集的基礎上進行決策樹的構建。

(2)在節(jié)點分割過程中，與CART決策樹遍歷所有輸入的所有潛在分割不同，隨機森林中隨機決策樹僅在K個隨機抽選的特征子集中進行優(yōu)選來分割當前節(jié)點。

根據上述方法構建出的隨機決策樹在保證每棵樹具有相當的準確性的同時，使得樹與樹之間的差異性足夠大。較之于Bagging集成隨機森林模型具有抗噪性好、有效避免過擬合且得到的函數關系更為平滑。大量實踐證明，隨機森林回歸預測算法能夠有效學習樣本集中的高維非線性統計關系，因此本文主要基于隨機森林算法學習缺失道集臨近道各點振幅間的高維非線性統計關系，據此進行缺失道的補全。

1.2 從局部學習角度進行缺失道補全

目前常用的地震插值方法雖然易用性較高，但是存在以下問題：

第一，各類插值方法本身具有其模型假設，例如三次樣條插值方法假設相鄰數據點間滿足三次多項式關系，而克里格類插值方法假設整個剖面上的數據點滿足二階平穩(wěn)假設，當實際資料中的地震數據與這些假設偏差較大時，強行基于這些插值方法進行缺失道補全，將造成不可避免的計算誤差。

圖1 隨機森林回歸預測算法示意圖Fig. 1 A schematic diagram of random forest regression prediction algorithm

第二，插值方法完全忠實于所給出的數據點(插值得到的一維曲線、二維曲面一定過各數據點)，對于噪音干擾較大的數據無法保證各數據點上數據測量結果的準確性，完全忠實于所有數據點進行插值會把采集誤差、隨機噪音等引入到插值結果中。

此外，作為一種全局方法，通過插值方法進行缺失道補全將依賴整個道集剖面中的所有數據，而實際上對缺失道某一時間點振幅補全結果產生實質影響的僅僅是臨近道臨近時間范圍內的數據點。考慮到對于缺失道Ti的給定時間點t處的振幅Ai,t，在整個共炮集剖面中與其具有較強相關性的數據點僅是Ti的臨近道Ti+n的t+m范圍內數據點的振幅Ai?n,t?m,…,Ai,t,…,Ai+n,t+m。本文所提出方法的基本思路是以Ai,t為學習目標，而以Ai?n,t?m,…,Ai,t,…,Ai+n,t+m等為輸入，基于隨機森林算法基于機器學習過程，根據未缺失部分數據建立回歸關系Ai,t=F( Ai?n,t?m,…,Ai,t,…,Ai+n,t+m)，而后將回歸預測函數F( x)應用到缺失道位置處，基于缺失道的臨近道數據對其進行補全。

對于真實的地震數據，數據道的確實情況可分為兩種，一種為單道缺失(如圖2(a)中所示），對于這種情況缺失道左右兩側的臨近道均可獲取；另一種情況則為連續(xù)缺失(如圖2(b)中所示），這種情況下僅有最邊緣缺失道的左側或者右側的臨近道可確定。針對這兩種情況，分別采用不同的策略進行缺失道補全。

對于單道缺失的情況，以同一道集剖面中未缺失數據道為基礎，分別以Ti道的t時間點處的振幅Ai,t，以及Ti左右Ti±2的t±5范圍內的共44個數據點的振幅Ai±2,t±5等構建機器學習樣本集，在此樣本集的基礎上使用隨機森林方法，通過機器學習得到統計關系Ai,t=Fm(Ai±2,t±5)。其中m代表缺失道兩側。同時考慮到這一統計映射關系可能隨著空間位置(道號i)和時間發(fā)生變化，因此同時將道號i和時間t也納入輸入空間之中，所得到的Fm實質上為Ai,t=Fm(Ai±2,t±5,i, t)。對于單一缺失道Tj時間點為t處的振幅，可通過將其所在左右臨近道t附近44個點的振幅Ai±2,i±5道號i、時間t帶入Fm按照Aj,t=Fm(Ai±2,t±5,j, t )計算得到。

對于連續(xù)缺失的情況，由于無法獲取各道左右臨近兩道數據，無法按照回歸預測函數Fm(x)進行預測，對于這種情況采用遞推方法進行預測補全。以最左側缺失道的補全為例，按照與單道缺失相同的方法，以同一道集剖面中未缺失數據道為基礎，分別以Ti道的t時間點處的振幅Ai,t，以及Ti左側Ti?1,Ti?2,Ti?3,Ti?4,范圍內的t±5范圍內的共44個數據點的振幅、道號等構建機器學習樣本集，在此基礎上利用隨機森林算法學習得到Ai,t=Fl( Ai?1…5,t±5,i, t )統計關系，其中l(wèi)代表缺失道左側。對于連續(xù)缺失的最左側道Tj，帶入Aj,t=Fl( Aj?1…5,t±5,j, t)計算其各點振幅，而后將預測的到的T*j作為未缺失道，按照同樣的方法計算Tj+1道各點的振幅。以此類推得到連續(xù)缺失各道的振幅響應。

圖2 單道缺失和連續(xù)缺失情況下的輸入點分布示意圖Fig. 2 A schematic diagram of input point distribution for single trace loss and continuous loss

與此同時，以同一道集中未缺失數據道為基礎，分別以Ti道的t時間點處的振幅Ai,t，以及Ti右側Ti+1,Ti+2,Ti+3,Ti+4范圍內的t±5范圍內的共44個數據點的振幅、道號等構建機器學習樣本集。在此基礎上利用隨機森林算法學習得到Ai,t=Fr( Ai+1…5,t±5,i, t)的統計關系，其中r代表缺失道右側。按照同樣的方法從最右側缺失道開始，從右至左預測各道振幅。最終，取從右至左和從左至右個點兩個振幅預測結果的均值作為最終預測結果。

2 方法應用分析

我們將本文方法分別應用于正演模型資料與r1區(qū)域的實際采集資料，分析預測結果，驗證該方法的正確性與有效性。隨機森林主要的算法參數包括：(1)隨機樹的個數，(2)隨機特征子集的大小，(3)葉子結點中最少樣本點個數。一般而言樹越多越好，但過多的隨機樹會帶來巨大的計算時間，權衡利弊后，選擇使用500棵隨機決策樹構建隨機森林。而在樹的生長過程中，考慮到46個隨機特征子集輸入中可能存在無效輸入，通過從1到46逐個嘗試，最終確定取23個隨機特征子集預測時效果最佳。而葉子結點中最少樣本點個數往往取決于樣本集中的噪音強度，考慮到地震數據中不可避免的存在測量誤差，為提高機器學習預測模型抗噪性、防止過擬合，最小葉子節(jié)點樣本個數不應太小，在本文的實驗中將其設置為20。

2.1 正演模擬數據應用驗證

首先將本文所提出方法應用到正演模擬數據上來驗證方法的正確性。地層模型采用的是Marmousi模型。該模型里還有較多的斷層、背斜、尖滅等地質情況存在，可以較好的驗證該插值方法在復雜地質條件下的插值效果。對于給定地層模型，通過交錯網格正演方法得到各道的波形記錄(共100道，每道以2 ms為采樣間隔，如圖3(a)中所示），然后人為將第10、20、30、40、50、60-63、80-85道數據設置為缺失道(在圖3(a)中使用虛線標出），而后利用在前文中所提出的方法，根據缺失道之外的各道數據構建機器學習樣本集，得到回歸預測函數Fm(x )、F1( x )和Fr( x)。據此對人為設置為缺失的道進行補全，補全結果在圖3(b)中用紅線標出。圖3(b)中看出該方法能較完整的補缺道集。對于10、20、30、40等單道來說，該方法得到的補全道同相軸的連續(xù)性較好,與周圍各地震道保持了連貫性。振幅的相似性較高，與周圍各道保持一致。對于60-63、80-85各道的連續(xù)缺失來說，該方法也能較好的補全連續(xù)缺失道。從圖中可以看出，補全連續(xù)缺失道中的第2道和第3道的振幅依然飽滿，與前道相似度較高，同相軸連續(xù)性極佳，與單一缺失道的補全基本沒有區(qū)別。

圖3 正演數據模型及數據補全效果Fig. 3 Forward modeling data interpolation result

圖4 單道振幅對比圖Fig. 4 Single channel amplitude contrast diagram

為了測試該插值方法的保幅性，本文又抽取了第10、20、30、40、50、60、80、85道做單道振幅對比。由于這幾道是人為設置缺失的，其真實模型振幅是可通過正演模擬得到的，因此可通過對比這些道的正演波形和補全波形，從而驗證補全波形的正確性。圖4中分別為第10、20、30、40、50、60、80、85道的正演波形(紅色)和補全波形(藍色)。從圖中可以看出，除去在振幅非常強的波峰和波谷處存在差異外，正演波形和補全波形整體而言非常相似，各層振幅能量均衡，補全道與正演值匹配性較好。對于單道缺失跟多道缺失的第一道來說，本方法預測的振幅值在0.13左右，而真實振幅值在0.15左右，誤差在10%左右。對于多道缺失的最后一道來說，預測值與真實值誤差變大，大約在30%左右。但是振幅形態(tài)分布、波峰波谷位置保持一致，有效的證明了本方法的適用性。此外，搜集第10、20、30、40、50、60-63、80-85道上各點正演波形和補全波形振幅值，以正演波形的振幅值(真實幅度)為X軸、以補全波形的振幅值(預測幅度)為Y軸繪制散點圖如圖5所示。可以看出在幅度為(-0.2,0.2)范圍內的數據點，真實幅度和預測幅度的點基本處于Y=X的對角線上，而對于幅度大于0.2的點還是存在著一定的偏差，這是因為決策樹的預測本身為局部均值，而隨機森林又為多顆決策樹的估計均值，對于振幅過高的波峰和波谷將帶來一定的平滑作用。但整體而言對于數據較為密集的區(qū)域，兩者之間一致性非常高，整體相關系數R2可達0.906。

圖5 各道波形真實幅度與預測幅度對比分析圖Fig. 5 Comparison of real amplitude and predictive amplitude

眾所周知，噪音是地震采集資料中不可忽視的一個重要影響因素。為了測試本算法的抗噪音能力，本文將模型數據加了20%的白噪，隨后對再進行插值測試，如圖6(a)所示。從圖6(a)中可以看出，加噪音的插值結果與無噪音的補全結果基本一致，且與原始道集相似性高。圖6(b)與圖5相似，也是各道波形真實幅度與預測幅度的對比分析圖。從圖中可以看出，相關系數有一定的減少，但是整體形態(tài)變化不大，說明有噪音情況下的插值結果與真實值較為接近，可信度較高，證明了該方法有較好的抗噪性。

2.2 實際資料數據處理

圖6 加噪音后的補全剖面與振幅散點圖Fig. 6 Interpolation section and amplitude

同時本文將該方法應用于工區(qū)中的疊前采集數據，首先考慮對工區(qū)中無缺失道數據進行人工缺失，對比利用該方法得到補全道集與真實道集間的相似性，驗證方法的有效性。將r1剖面(如圖7(a)中所示）中的第10、70-75道人為設置為缺失道(如圖7(b)中所示），而后按照前述方法以未缺失道部分數據為基礎對第10、70、72道這三道進行補全，補全效果如圖7(c)中所示。對比圖7 (a)中和圖7 (c)中剖面可以看出在人工缺失道位置處二者差別很小，在能看到同相軸區(qū)域，補全道能較好的延續(xù)同相軸走勢，且從圖中能直觀看出振幅能量較強，圖像的一致性較好。針對連續(xù)缺失的情況，如第70-75道,該方法也能較好的補全缺失道集，保持同相軸的連續(xù)性。

圖7 人工缺失道集剖面補全效果Fig. 7 Real data interpolation result

圖8 人工缺失道補全波形與真實波形對比圖Fig. 8 Single channel amplitude contrast diagram

圖9 缺失各道波形真實幅度與預測幅度對比分析圖Fig. 9 Comparison of real amplitude and predictive amplitude

為了測試該方法的保幅性，本文抽取了10、70、72三道進行單道對比。在圖8中將這三道的真實波形(紅色)和預測補全波形(藍色)進行對比，并以三道數據原始波形振幅為X軸、預測波形振幅為Y軸繪制散點圖(圖9)。從圖9中可以看出，由于受真實數據中噪音和波形的復雜性影響，真實波形和預測波形間的一致性略遜于正演剖面數據，但二者之間的波形相似性依舊很高。無論是反射較強的區(qū)域還是反射較弱區(qū)域，補全道的振幅能量與真實資料較為一致，振幅大小也較為相似。對于單道缺失跟多道缺失的第一道來說，本方法預測的振幅值在50左右，而真實振幅值在40左右，誤差在20%左右。對于多道缺失的最后一道來說，預測值與真實值誤差變大，大約在40%左右。但是振幅形態(tài)分布、波峰波谷位置保持一致，有效的證明了本方法的實用性。

從圖9中可以看出各點基本處于Y=X的對角線附近，以相關系數來定量評價二者相似性，原始波形振幅和預測波形振幅之間的整體相關系數R2可達0.899，已達到誤差可接受范圍內，說明本文所提出方法可應用于r1的實際地震資料插值。為了驗證本文方法在插值方面的優(yōu)越性，同時選用快速傅里葉變換的插值方法進行對比。圖10為快速傅里葉變換方法的插值結果對比圖。從圖10中可以看出，快速傅里葉在單道缺失中效果較好，與隨機森林方法類似，可以補全缺失道，并保證同相軸的延續(xù)性。但是連續(xù)道缺失情況下，該方法插值效果一般，同相軸連續(xù)性較差，缺失道異常現象明顯。圖11為單道振幅對比圖，從圖中可以明顯看出，在第10道，70道時紅色線與藍色線吻合性較好，證明該方法對于單道缺失效果較為理想。第72道為連續(xù)缺失道的中間道，從圖中可以看出，對于這種連續(xù)缺失道，快速傅里葉插值方法與理論值差別較大，波形相似性較低。單道缺失的振幅誤差還能保證在20%以內，而多道缺失波形基本沒有相似性，沒有誤差對比的必要。圖12為預測振幅與真實振幅的散點圖，從圖中可以明顯看出，真實振幅與預測振幅相差較大，散點圖的趨勢沒有沿著對角線方向。通過與快速傅里葉變換插值的對比證明，本文提出的插值方法精確度更高。特別是對于連續(xù)缺失道插值，該方法能很好的保持同相軸趨勢的連續(xù)性，較好的補全缺失道集。

圖10 快速傅里葉方法插值結果Fig. 10 Fouries interpolation result

圖11 快速傅里葉法缺失道補全波形與真實波形對比圖Fig. 11 Single channel amplitude contrast diagram

圖12 缺失各道波形真實幅度與預測幅度對比分析圖Fig. 12 Comparison of real amplitude and predictive amplitude

3 結論與展望

目前針對地震插值的主要方法是將原始地震數據變換到其他域進行計算，隨后反變換到時空域輸出結果。不同于這一常用的方法，本文從利用機器學習進行地震插值的角度進行了研究。首先將無缺失道作為機器學習的樣本集進行訓練，學習各道各點之間的振幅關系。隨后引入隨機森林回歸方法，預測缺失道的振幅時間關系，從而補全道集，得到一個較好的地震插值效果。本文采用了高隨機性的多維隨機森林回歸預測方法，具有較好的抗噪性，而且能有效的避免過擬合現象。由于地震插值主要利用周圍幾個點的振幅值，所以本文引入了局部學習的方法，結果表明，該方法能夠較好的補全缺失的地震道集，而且振幅準確，差異性較小。對于模型資料來說，基本可以完整補全缺失地震道，抽取的單道振幅表明，除了最強的波峰波谷處可能存在一定的誤差，剩余波形基本能保持一致，且對噪音的壓制作用較好。實際資料試算表明，該方法能夠較好的補全缺失道，能保證同相軸的連續(xù)性，振幅的一致性，尤其對于多道缺失情況，該方法效果較好。相關函數表明除去波峰波谷，剩余波形相關性較高，證明該方法有較好的實用性。

但是該方法依然存在一定的局限性，主要表現為：(1)三維插值計算量太大，難以大規(guī)模應用。(2)無法與真實地下介質信息結合。所以本文下一步研究方向主要集中于以下兩個方面：(1)三維資料插值需要使用124維數據。如何進行算法優(yōu)化，利用先驗條件(如上覆地層信息等)來約束插值過程，減少計算量是我們下一步研究的重點與難點。(2)由于不同地質條件對應的道集會存在一定的差異，所以本文方法針對不同地質條件得到更為精確的插值結果也是需要探索的內容。

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